第2課時極坐標和直角坐標的互化高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-4課件：1.2極坐標系課時.22021/5/91【自主預(yù)習(xí)】極坐標與直角坐標的互化公式如圖所示,把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,且長度單位相同,設(shè)任意一點M的直角坐標與極坐標分別為(x,y),(ρ,θ).2021/5/92ρcosθρsinθx2+y22021/5/93【即時小測】1.極坐標系中,點(1,π)的直角坐標為(

)A.(1,0)

B.(-1,0)C.(0,1) D.(0,-1)2021/5/94【解析】選B.由公式得所以點(1,π)對應(yīng)的點的直角坐標為(-1,0).2021/5/952.在直角坐標系中,點(2016,-2016)的極坐標為________(ρ>0,0≤θ<2π).2021/5/96【解析】在直角坐標系中,點(2016,-2016)到原點(極點)的距離為2016,極角θ=+2kπ,k∈Z,因為0≤θ<2π,所以θ=.所以點(2016,-2016)的極坐標為.答案:2021/5/97【知識探究】探究點極坐標和直角坐標的互化1.點與極坐標是一一對應(yīng)的嗎?2021/5/98提示:在直角坐標系和極坐標系中,點M與直角坐標(x,y)是一一對應(yīng)的,點M與極坐標(ρ,θ)不是一一對應(yīng)的,即點M的極坐標不唯一.2021/5/992.將點的直角坐標化為極坐標的關(guān)鍵是什么?2021/5/910提示:將點的直角坐標化為極坐標的關(guān)鍵是運用公式分別計算極徑和極角,求極角時先計算[0,2π)內(nèi)的角θ0,再表示為θ0+2kπ,k∈Z.2021/5/911【歸納總結(jié)】1.直角坐標與極坐標的關(guān)系三角函數(shù)是點的直角坐標與極坐標的聯(lián)系紐帶,根據(jù)三角函數(shù)定義,角θ的頂點在原點O(極點),始邊為橫軸的正半軸,M(x,y)為角θ終邊上的一點,|OM|=則sinθ=,cosθ=,所以y=ρsinθ,x=ρcosθ.2021/5/9122.特殊角的三角函數(shù)值θ

sinθ

1cosθ

0tanθ

1

不存在2021/5/9133.由點的直角坐標確定極角當點不在y軸上時,由tanθ=求出[0,2π)上的θ;當點在y軸正半軸上時,θ=;當點在y軸負半軸上時,θ=.2021/5/914類型一點的極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化【典例】在平面直角坐標系中,以原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,ρ≥0,θ∈R完成下列各題:(1)將極坐標M化為直角坐標.(2)將直角坐標N(-2016,2016)化為極坐標.2021/5/915【解題探究】將點的極坐標化為直角坐標的公式是什么?將點的直角坐標化為極坐標的公式是什么?2021/5/916提示:由公式將點的極坐標化為直角坐標,由公式將點的直角坐標化為極坐標.2021/5/917【解析】(1)將點M的極坐標代入公式

所以點的直角坐標為(-3,-3).2021/5/918(2)由點的直角坐標N(-2016,2016)與公式

且θ的終邊經(jīng)過點N(-2016,2016),所以θ=,所以點N的極坐標為,k∈Z.2021/5/919【方法技巧】極坐標與直角坐標互化的策略(1)點的直角坐標化為極坐標的注意事項.化點的直角坐標為極坐標時,一般取ρ≥0,θ∈[0,2π),即θ取最小正角,由tanθ=(x≠0)求θ時,必須根據(jù)角θ的終邊經(jīng)過點(x,y)所在的象限來確定θ的值.2021/5/920(2)掌握特殊角的三角函數(shù)值,還需要掌握一些常用的三角變換公式,如半角公式2021/5/921【變式訓(xùn)練】1.(2016·綿陽高二檢測)將點M的極坐標化成直角坐標是(

)A.(-1,-1) B.(1,1)C.(1,) D.(,1)2021/5/922【解析】選C.由公式所以(1,)即為所求.2021/5/9232.若已知極坐標平面內(nèi)的點P,求點P關(guān)于極點對稱的點的極坐標及直角坐標.2021/5/924【解析】點P關(guān)于極點的對稱點P′到極點的距離仍為2,即ρ=2.又P與P′的極角間相差π+2kπ,k∈Z,故θ=-+π+2kπ,k∈Z,故P′的極坐標可以為,2021/5/925由x=2cos=-1,y=2sin=-,故點P′的直角坐標為(-1,-).2021/5/926類型二極坐標與直角坐標轉(zhuǎn)化的應(yīng)用【典例】已知A,B兩點的極坐標為求線段AB中點的直角坐標.2021/5/927【解題探究】怎樣求線段中點的直角坐標?提示:先求出端點的直角坐標,再利用中點坐標公式求中點的直角坐標.2021/5/928【解析】因為A點的極坐標為所以所以A(3,),同理可得B(-4,).設(shè)線段AB的中點為M(m,n),由線段的中點坐標公式可得2021/5/929所以線段AB中點的直角坐標為2021/5/930【延伸探究】1.試求線段AB中點的極坐標.2021/5/931【解析】方法一:因為A,B兩點的極坐標為故A,B兩點在一條直線上,且到極點的距離分別為6,8,故AB中點到極點的距離為1,且在線段OB上,故AB中點的極坐標為2021/5/932方法二:因為線段AB中點的直角坐標為故因為AB中點在第三象限,故故中點的極坐標為2021/5/9332.試求直線AB的方程.2021/5/934【解析】因為A點的極坐標為所以所以A(3,),又因為直線AB的傾斜角為故斜率故直線AB的方程為即2021/5/935【方法技巧】應(yīng)用點的極坐標與直角坐標互化的策略在解決極坐標平面內(nèi)較為復(fù)雜的圖形問題時,若不方便利用極坐標直接解決,可先將極坐標化為直角坐標,利用直角坐標系中的公式、性質(zhì)解決,再轉(zhuǎn)化成極坐標系中的問題即可.2021/5/936【變式訓(xùn)練】1.若點M的極坐標為則點M關(guān)于y軸對稱點的極坐標為________.2021/5/937【解析】點M的極坐標為所以點M的直角坐標為所以點M關(guān)于y軸對稱點的直角坐標為由

又點(-3,-3)位于第三象限.2021/5/938故則所求點的極坐標為答案:2021/5/9392.在極坐標系中,已知求|AB|.2021/5/940【解析】由點A的極坐標為可得點A的直角坐標為同理點B的直角坐標為(2,-2),則|AB|=2021/5/941自我糾錯點的極坐標及其表示【典例】(2016·合肥高二檢測)在極坐標系中,點P(ρ,θ)關(guān)于極點對稱的點的坐標可以是()①(ρ,-θ);②(-ρ,-θ);③(-ρ,θ);④(ρ,π+θ).A.④ B.①②C.①③ D.③④2021/5/942【失誤案例】2021/5/943分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:出錯的根本原因是忽視了ρ∈R的情形,即點P(ρ,θ)關(guān)于極點對稱的點的坐標也可以是(-ρ,θ).事實上,當ρ>0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊上,|OP|=ρ;當ρ<0時,點P(ρ,θ)在極角θ的終邊的反向延長線上,|OP|=-ρ.正確解答過程如下:2021/5/944【解析】選D.方法一:點P(ρ,θ)關(guān)于極點對稱的點的坐標