二、無界函數(shù)的反常積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分反常積分()§5-4反常積分中學數(shù)學5-4反常積分一、無窮限的反常積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為中學數(shù)學5-4反常積分定義1.設若存在,則稱此極限為

f(x)的無窮限反常積分,記作這時稱反常積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散

.類似地,若則定義中學數(shù)學5-4反常積分則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)它表明該反常積分發(fā)散.中學數(shù)學5-4反常積分引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:中學數(shù)學5-4反常積分例1.計算反常積分解:思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質,否則會出現(xiàn)錯誤.中學數(shù)學5-4反常積分例2.證明第一類p積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1時發(fā)散.因此,當p>1

時,反常積分收斂,其值為當p≤1

時,反常積分發(fā)散.中學數(shù)學5-4反常積分例3.計算反常積分解:中學數(shù)學5-4反常積分二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為中學數(shù)學5-4反常積分定義2.設而在點a

的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在[a,b]上的反常積分,則定義則稱此極限為函記作中學數(shù)學5-4反常積分若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類說明:而在點

c

的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點(奇點).例如,間斷點,而不是反常積分.則本質上是常義積分,則定義中學數(shù)學5-4反常積分注意:若瑕點計算表達式:則也有類似牛–萊公式的若

b

為瑕點,則若a

為瑕點,則若a,b

都為瑕點,則則可相消嗎?中學數(shù)學5-4反常積分下述解法是否正確:,∴積分收斂例4.計算反常積分解:顯然瑕點為

a,所以原式例5.討論反常積分的收斂性.解:所以反常積分發(fā)散.中學數(shù)學5-4反常積分例6.證明反常積分證:當

q=1時,當

q<1時收斂;q≥1時發(fā)散.當

q≠1時所以當

q<1

時,該廣義積分收斂,其值為當

q≥1

時,該廣義積分發(fā)散.中學數(shù)學5-4反常積分內(nèi)容小結

1.反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限

2.兩個重要的反常積分中學數(shù)學5-4反常積分說明:(1)

有時通過換元,反常積分和常義積分可以互相轉化.例如,(2)當一題同時含兩類反常積分時,應劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分.中學數(shù)學5-4反常積分P2601(4),(5),(6),(9),(10);2;3提示:P260題2求其最大值.作業(yè)中學數(shù)學5-