專題23.11圖形的變換與坐標一、單選題1．已知在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別為，，，以點為位似中心，按縮小，則點的對應點的坐標為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．【詳解】∵以O為位似中心，按1：2縮小△AOB，即把△OAB縮小為原來的，∴點A的對應點的坐標為()或，即(1，2)或(-1，-2)，故選：C．【點睛】本題考查相似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．2．在平面直角坐標系中，，，若把線段擴大倍得線段，若，則的坐標可以是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)點A的對應點的坐標為（2，4），得到位似中心為坐標原點O，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：把線段AB擴大2倍得線段，點A的坐標為（1，2），點A的對應點的坐標為（2，4），∴位似中心為坐標原點O，∵點B的坐標為（4，6），∴點B的對應點的坐標可以是（4×2，6×2），即（8，12），故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．3．在平面直角坐標系中，已知點E（-4，2），F(xiàn)（-2，-2），以原點O為位似中心，將EFO放大為原來的2倍，則點E的對應點E1的坐標是（）A．（-2，1） B．（-8，4） C．（-8，4）或（8，-4） D．（-2，1）或（2，-1）【答案】C【分析】若位似比是k，則原圖形上的點（x，y），經(jīng)過位似變化得到的對應點的坐標是或,從而可得答案．【詳解】解：∵點E（-4，2），F(xiàn)（-2，-2），以原點O為位似中心，位似比為1：2將擴大，∴點E的對應點E′的坐標是：（-8，4）或（8，-4）．故選C．【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，注意在平面直角坐標系中，若位似比是k，則原圖形上的點（x，y），經(jīng)過位似變化得到的對應點的坐標是或．4．如圖，以點為位似中心，作的位似圖形，若點的橫坐標是，點的對應點的橫坐標是2，則與的周長之比為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進而得出對應線段長進而得出相似比，即可得出周長比．【詳解】解：過點B作BE⊥x軸于點E，過點B′作B′F⊥x軸于點F，

∵以點C（-1，0）為位似中心，作△ABC的位似圖形△A'B'C，點B的橫坐標是-2，

∴EC=1，

∵點B的對應點B'的橫坐標是2，

∴CF=3，

∵BE//B'F∴，

∴△ABC與△A'B'C的周長之比為：1：3．

故選：B．【點睛】本題考查了位似變換，正確得出位似比是解題的關(guān)鍵．5．如圖，是以點為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，若與的周長比是，則它們的面積比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用位似是相似的特殊形式，利用相似的性質(zhì)可知對應邊A′B′與AB之比等于△A′B′C′的周長與△ABC的周長之比為2：3，再根據(jù)面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：∵△A'B'C'是△ABC以點O為位似中心經(jīng)過位似變換得到的，△A'B'C'的周長與△ABC的周長比是2：3，∴∽，，∴．故選：D．【點睛】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形的對應邊平行、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知矩形與矩形是位似圖形，是位似中心，若點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四邊形OABC是矩形與四邊形ODEF是矩形，可得BC⊥y軸于C，DE⊥y軸于D，可求C（0，4），D（0，2），由矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，M是位似中心，可得直線BD與直線CE交于M，待定系數(shù)法求BD解析式為，CE解析式為，聯(lián)立方程組，求解即可．【詳解】解：∵四邊形OABC是矩形與四邊形ODEF是矩形，∴BC⊥y軸于C，DE⊥y軸于D，∵點B的坐標為（-2，4），點E的坐標為（1，2），∴C（0，4），D（0，2），∵矩形OABC與矩形ODEF是位似圖形，M是位似中心，∴直線BD與直線CE交于M，設BD解析式為代入點的坐標得，，解得，∴BD解析式為，設CE解析式為代入點的坐標得，，解得，∴CE解析式為，∴，解得，∴M點坐標為（2，0）．故選：D．【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，求對應點所在直線解析式，解方程組，熟記兩個圖形位似必須是相似形；對應點的連線都經(jīng)過同一點；對應邊平行是解題關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF關(guān)于原點O成位似關(guān)系，且相似比k＝．若B（2，1），則點E的坐標是_____．【答案】（6，3）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：△ABC與△DEF關(guān)于原點O成位似關(guān)系，相似比k＝，∵點E是點B的對應點，點B的坐標為（2，1），∴點E的坐標為（2×3，1×3），即（6，3），故答案為：（6，3）．【點睛】本題考查位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．8．如圖，在直角坐標系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（6，3），B（6，6），以點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，點C在線段OA上，則點C的坐標為___．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)關(guān)于原點為位似中心的對應點的坐標的關(guān)系，把A點的橫縱坐標分別乘以，得到C點坐標．【詳解】解：∵點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△OAB的位似比為的位似圖形△OCD，且A（6，3），∴C點坐標為，即（2，1），故答案為：（2，1）．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．9．在平面直角坐標系中，已知點，以原點為位似中心，相似比為．把縮小，則點的對應點的坐標分別是_____，_____．【答案】(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）【分析】利用以原點為位似中心，相似比為k，位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k，分別把A,B點的橫縱坐標分別乘以或?即可得到點B′的坐標．【詳解】∵以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴的對應點A′的坐標是(-1，2)或（1，-2），點B（?9，?3）的對應點B′的坐標是（?3，?1）或（3，1），故答案為：(-1，2)或（1，-2）；（-3，-1）或（3，1）．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或?k．10．如圖，在平面直角坐標系中有兩點和，以原點為位似中心，相似比為，把線段縮短為線段，其中點與點對應，點與點對應，且在y軸右側(cè)，則點的坐標為________.【答案】【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【詳解】∵以原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮短為線段CD，B（6，3），∴點D的坐標為：，即，故答案為：．【點睛】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．11．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，點B，E在第一象限，若點A的坐標為（6，0），則點E的坐標是___________．【答案】（9，9）．【分析】根據(jù)位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3，∴，，解得，OD＝9，OF＝9，則點E的坐標為（9，9），故答案為：（9，9）．【點睛】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握位似變換的兩個圖形相似是解題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，，以原點為位似中心，把縮小為原來的，得到，則點的對應點的坐標為__________．【答案】或【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，即可求得答案．【詳解】解：∵△ABC的三個頂點坐標分別為A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，得到△A'B'C′，∴點A的對應點A'的坐標為：（-2×，4×）或[-2×（-），4×（-）]，即（1，-2）或（-1，2）．故答案為：（1，-2）或（-1，2）．【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．如圖，在直角坐標系中，正方形ABCD的邊BC在x軸上，其中點A的坐標為（1，2），正方形EFGH的邊FG在x軸上，且H的坐標為（9，4），則正方形ABCD與正方形EFGH的位似中心的坐標是_____．【答案】（﹣3，0）或（，）【分析】連接HD并延長交x軸于點P，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點D的坐標為（3，2），證明△PCD∽△PGH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OP，另一種情況，連接CE、DF交于點P，根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線DF解析式和直線CE解析式，求出兩直線交點，得到答案．【詳解】解：連接HD并延長交x軸于點P，則點P為位似中心，∵四邊形ABCD為正方形，點A的坐標為（1，2），∴點D的坐標為（3，2），∵DC//HG，∴△PCD∽△PGH，∴，即，解得，OP＝3，∴正方形ABCD與正方形EFGH的位似中心的坐標是（﹣3，0），連接CE、DF交于點P，由題意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F(xiàn)（5，0），求出直線DF解析式為：y＝﹣x+5，直線CE解析式為：y＝2x﹣6，解得直線DF，CE的交點P為（，），所以正方形ABCD與正方形EFGH的位似中心的坐標是（，），故答案為：（﹣3，0）或（，）．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．14．如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，在軸上，延長交射線與點，以為邊作正方形；延長交射線與點，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，若，則正方形的面積為________．【答案】【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出OA2，根據(jù)正方形的面積公式計算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴，∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，∵A3B3⊥x軸，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，……則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為42021-1=42020=24040，故答案為：24040．【點睛】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)、圖形的變化規(guī)律，掌握位似圖形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，的三個頂點都在平面直角坐標系的格點上，，請按要求在方格紙內(nèi)作圖．（1）在圖1中以為位似中心，作的位似圖形，使與的位似比為；（2）在圖2的格點中標出點，使得與的面積相等，并直接寫出點的坐標．【答案】（1）見解析；（2）見解析，E1(－1，7)，E2(5，5)．【分析】（1）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出對應點坐標進而畫出圖形即可；（2）根據(jù)面積相等得到高相等，過點A作BC的平行線找格點寫出坐標即可．【詳解】解：（1）∵A(2，6)，B(0，2)，C(6，0)，且與的位似比為1：2，∴，，，如圖所示，即為所求；（2）如圖，過點A作BC的平行線，∵與的面積相等，∴的高等于的高，即等于點A到BC的距離，由平行線之間距離處處相等可知，點E1、點E2即為所求，由圖可知：E1(－1，7)，E2(5，5)．【點睛】本題考查了作圖-位似變換，平行線的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的作法及平行線間距離處處相等是解題的關(guān)鍵．16．如圖，四邊形的四個頂點的坐標分別是、、，．（1）以原點O為位似中心，相似比為2，將圖形反向放大，畫出符合要求的位似四邊形；（2）在（1）的前提下，寫出點A的對應點的坐標（______，______）；（3）在（1）的前提下，如果四邊形內(nèi)部一點M的坐標為，寫出M的對應點的坐標（_____，______）．【答案】（1）答案見詳解；（2）A′（﹣2，﹣6）；（3）M′（﹣2x，﹣2y）．【分析】（1）連接AO并延長，使OA'＝2OA，延長OB并延長，使OB'＝2OB，延長OC并延長，使OC'＝2OC，連接可得出所求的四邊形；（2）根據(jù)圖形，以及平面直角坐標系找出A'坐標即可；（3）分別找出B'，C'，D'坐標，分別與B，C，D坐標對比歸納總結(jié)得到M'坐標即可．【詳解】解：（1）做出相應的圖形，如圖所示；（2）根據(jù)題意得：A'（﹣2，﹣6）；（3）根據(jù)圖形得：B'（﹣4，﹣4），C'（﹣4，﹣2），D'（﹣6，﹣6），歸納總結(jié)得到M'（﹣2x，﹣2y）．【點睛】此題考查了作圖﹣位似變換，畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．17．如圖，在平面直角坐標系中，將△ABC進行位似變換得到△A1B1C1．（1）求△A1B1C1與△ABC的相似比；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于y軸對稱的△A2B2C2；（3）設點P為線段BC的中點，則依上述兩次變換后，點P在△A2B2C2內(nèi)的對應點P2的坐標是多少？【答案】（1）2；（2）見解析；（3）（﹣4，3）．【分析】（1）計算A1C1：AC的值可得到相似比；（2）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征寫出A2、B2、C2的坐標，然后描點即可；（3）先寫出P點坐標，再利用關(guān)于以原點為位似中心的點的坐標特征得到點P經(jīng)過位似變換后對應點的P1的坐標為（4，3），然后寫P1關(guān)于y軸的對稱點的坐標即可．【詳解】解：（1）∵A1C1＝2，AC＝1，∴A1C1：AC＝2，∴△A1B1C1與△ABC的相似比為2；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）∵C1C，A1A、B1B都經(jīng)過原點O，∴△A1B1C1與△ABC為位似圖形，位似中心為原點，∵點P為線段BC的中點，∴P（2，），∴點P經(jīng)過位似變換后對應點的P1的坐標為（4，3），∵點P1關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（﹣4，3），∴點P2的坐標是（﹣4，3）．【點睛】本題考查了作圖?位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．位似圖形與坐標．也考查了軸對稱變換．18．如圖，△ABC在坐標平面內(nèi)，三個頂點的坐標分別為A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均是1個單位長度）．（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，請畫出△A1B1C1，并寫出C1點的坐標；（2）以點B1為位似中心，將△A1B1C1放大得到△A2B1C2，放大前后的面積之比為1：4，畫出△A2B1C2，使它與△A1B1C1在位似中心同側(cè)，并寫出C2點的坐標；（3）連接AC2、CC2，判斷△ACC2的形狀并直接寫出結(jié)論．【答案】（1）圖見解析，C1（2，﹣2）；（2）圖見解析，C2（1，0）；（3）△ACC2是等腰直角三角形【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的的點坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；

（2）延長B1A1到A2使B1A2＝2B1A1，延長B1C1到C2使B1C2＝2B1C1，從而得到△A2B1C2；

（3）利用勾股定理的逆定理可證明△ACC2是等腰直角三角形．

【詳解】解：（1）由題意可得A、B、C三點關(guān)于x軸對稱的點分別為：（0，-3）、（3，-4）、（2，-2），

給三點標上字母并依次連接即可得到所求作的圖形，如下△A1B1C1為所作，由上可得C1（2，﹣2）；（2）如圖，△A2B2C2為所作，C2（1，0）．（3）∵AC2＝12+22＝5，CC22＝12+22＝5，AC22＝12+32＝10，∴AC2+CC22＝AC22，∴△ACC2是等腰直角三角形．【點睛】本題考查圖形變換條件下的作圖與推理，熟練掌握軸對稱、位似等圖形變換條件下的坐標特征及勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．19．如圖，已知ABC的三個頂點的坐標分別為A(?1，2)、B(?3，0)、C(0，0)．（1）請直接寫出點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標；（2）以C為位似中心，在x軸下方作ABC的位似圖形△A1B1C1，使放大前后位似比為1：2，請畫出圖形，并直接寫出A1B1C1的面積=；（3）請直接寫出：以A，B，C，D為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．【答案】（1）(?1，?2)；（2）見解析，12；（3）D(?2，?2)，(?4，2)，(2，2)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的坐標特征求解；

（2）根據(jù)位似圖形的意義畫出圖形，然后根據(jù)位似比與面積比的關(guān)系求出位似圖形的面積；

（3）根據(jù)平行四邊形的意義可以得解．【詳解】解：(1)根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征可得點A′的坐標為(?1，?2)；（2）如圖所示：△A1B1C1，即為所求；由題意可知△ABC的面積=0.5×3×2=3，∵三角形前后位似比為1：2，∴三角形前后面積比為1：4，∴△A1B1C1的面積=3×4=12；(3)如圖，由題意，滿足條件的平行四邊形第四個頂點有D、E、F三種情況，∵BC=3，∴上圖中D為（-1+3，2）即（2，2），上圖中E為（-1-3，2）即（-4，2），設上圖中F為（x,y），則由題意可得：，∴，解之可得：（舍去），∴F為（-2，-2），綜上所述，滿足條件的點D的坐標為(?2，?2)，(?4，2)，(2，2).【點睛】本題考查圖形變換的應用，熟練掌握軸對稱與位似變換的圖形特征和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．如圖，中任意一點經(jīng)過平移后對應點為．（1）畫出作同樣的平移后得到的，并寫出的坐標；（2）以點為位似中心，畫出的一個位似，使它與的相似比為．并寫出的坐標．【答案】（1）△A1B1C1見詳解；A1（0，1），B1（1，-2），C1（3，2）；（2）見詳解，A2（-1，2），B2（1，-4），