2021中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點提分訓(xùn)練一一平行四邊形

1.如圖，在△建中，ADLBC于D,點。，E,尸分別是8GAB,ZC的中點.求證：四邊形

AEDF是菱形.

2.如圖，正方形的笫內(nèi)一點七△?!/應(yīng)繞點4順時針旋轉(zhuǎn)能與△板重合，若〃=3.

(1)求/的1的度數(shù);

(2)求郎的長.

3.已知：如圖，四邊形被力是平行四邊形，E,尸是對角線4C上的兩點，AE=CF.

(1)求證：四邊形應(yīng)郎是平行四邊形；

(2)如果AE=EF=FC,請直接寫出圖中所有面積等于四邊形應(yīng)郎的面積的三角形.

（圖2）

4.如圖，四邊形物比'中，點0為直角坐標系的原點，4、B、C的坐標分別為(16,0)、

(16,6)、(8,6).點只0同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，點尸沿以以每秒1個

單位向終點Z運動，點0沿比1、應(yīng)以每秒2個單位向終點8運動.當這兩點中有一點到達

自己的終點時，另一點也停止運動.設(shè)運動時間為t秒.

(1)請用t(t>5)表示點0的坐標為；

(2)是否存在某個時間t,使得只0兩點和四邊形&4充中的任意兩個頂點為頂點的四邊

形為平行四邊形？若存在，請求出1的值；若不存在，請說明理由.

5.如圖，點及F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于熱0.

(1)求證：也與應(yīng)互相平分；

(2)若奶_LZC,AC=BF,BE=8,FC=2,求犯的長.

D

6.如圖，在。被力中，E,尸是對角線加上的兩點，且滿足龐一朗連接眼CE,CF,

AF.

(1)求證：AE//CF\

(2)若血幽ZEFC=58°,N9=12。，求/"火的度數(shù).

7.如圖，在平面直角坐標系中，將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使

得它們的斜邊重合于曲，直角邊不重合，已知4(6,0),AB=OC,AC與OB交于氤D,連

接紀

(1)填空，如圖1,。點坐標是.

(2)若將△購繞曲的中點尸逆時針轉(zhuǎn)90°到△QG4的位置，則G的坐標為.

(3)在(2)的條件下，求△。奶與△QG4的重疊部分的面積.

8.如圖，矩形班第的頂點屬G分別在菱形被切的邊協(xié)，比'上，頂點凡H在菱形ABCD

的對角線切上.

(1)求證：BG=DE；

(2)若￡為初中點，F(xiàn)H=2,求菱形被券的周長.

BG

9.如圖，四邊形應(yīng)即是平行四邊形，4、C在直線印上且瑟?密

(1)求證：四邊形屈笫是平行四邊形；

(2)在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖中所有與△加r面積相等的三角形.

10.如圖，4。是△胸的中線，點￡是生?的中點，力尸〃初交工的延長線于點凡連接加

(1)求證：四邊形⑷沏是平行四邊形.

(2)在不添加任何線段的情況下，請直接寫出圖中面積是△吸面積2倍的三角形.

IE

B'D

11.如圖，平行四邊形儂刀中，//>=108°,西=7厘米，/=6厘米，￡是死邊的中點,

連接典尸為龍邊上一點，且滿足/加=2/用傷1

(1)若/晰=32。.求/川￡的度數(shù)；

(2)求證：AF=CD^CF.

12.已知：在矩形地力中，物是對角線，血助于點￡,CFLBD于點F.

(1)如圖1,求證：AE=CF-,

(2)如圖2,當/4厲=30°時，連接冊CE,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形被Q面積的

O

圖1圖2

13.在活動課上我們曾經(jīng)探究過三角形內(nèi)角和等于180°,四邊形內(nèi)角和等于360°,五邊

形內(nèi)角和等于540。，…，請同學(xué)們仔細讀題，看圖，解決下面的問題：

(1)如圖①，△Q46、△?的頂點0重合，且/出,則/加附/砌

=(直接寫出結(jié)果).

(2)連接曲、BC,若40、BO、CO、加分別是四邊形被力的四個內(nèi)角的平分線.

①如圖②，如果N&?=110°,那么/物的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果).

②如圖③，若NAOD=NBOC,AB與CD平行嗎?請寫出理由.

14.如圖，￡為。儂》中加邊的延長線上的一點，且3因連接血交況于點凡連接

AC、BE.

(1)如圖1,求證：AF=EF；

(2)連接物交/C于點0,連接如并延長交應(yīng)于點G,直接寫出圖中所有長度是加二倍

的線段.

圖1圖2

15.如圖(1),平行四邊形儂力的三個頂點4(〃，0),B(a,0),D(0,2")(m>n

>0),平行四邊形陰笫關(guān)于直線龍的對稱圖形陽G。，比'交x軸于點兒連接典，CC、.

(1)求證：XC\D(運X&AB；

(2)如圖(2),若點合，恰好落在y軸上，求工的值.

m

2021中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點提分訓(xùn)練——平行四邊形參考答案

1.如圖，在△板中，AD工BC于D,點。，E,尸分別是灰；AB,的中點.求證：四邊形

AEDF是菱形.

【答案】證明：?.?點。E,尸分別是灰；AB,47的中點，

J.DE//AC,DF//AB,

：.四邊形血力是平行四邊形，

又,：ADLBC,BD=CD,

：.AB=AC,

：.AE=AF,

.?.平行四邊形瑟如是菱形.

2.如圖，正方形ABCD內(nèi)一點E,44近繞點4順時針旋轉(zhuǎn)能與△之重合，若〃=3.

(1)求N瓦伊的度數(shù)；

(2)求跖的長.

【答案】解：(1)..,△坦應(yīng)繞點4順時針旋轉(zhuǎn)能與△火重合,

:.NDAB=NEAF^9Q°；

(2)?.?△31繞點/順時針旋轉(zhuǎn)能與△板重合,

：.AE=AF=3,/用/-90°,

:.EF=^[^=3?

3.已知：如圖，四邊形被力是平行四邊形，E,尸是對角線4C上的兩點，AE=CF.

(1)求證：四邊形龐郎是平行四邊形;

(2)如果A￡=EF=FC,請直接寫出圖中所有面積等于四邊形應(yīng)郎的面積的三角形.

(圖2)

【答案】(1)證明：連接物，交AC于點0,如圖所示:

?.,四邊形極，是平行四邊形，

：.OA=OC,OB^OD,

'：AE=CF,

：.0A-AE=OC-CF,

即OE=OF,

...四邊形比即是平行四邊形;

(2)-：AE=EF=FC,

"?S^AOe=S&DEF=&<W=S&BCF,

圖中所有面積等于四邊形無斷的面積的三角形為△及XCDE,XABF,△鹿.

4.如圖，四邊形。仍C中，點0為直角坐標系的原點，A,B、C的坐標分別為(16,0)、

(16,6)、(8,6).點尸、。同時從原點出發(fā)，分別作勻速運動，點P沿物以每秒1個

單位向終點月運動，點0沿況；應(yīng)以每秒2個單位向終點8運動.當這兩點中有一點到達

自己的終點時，另一點也停止運動.設(shè)運動時間為1秒.

(1)請用t(t>5)表示點0的坐標為;

(2)是否存在某個時間t,使得尸、0兩點和四邊形Q4兄中的任意兩個頂點為頂點的四邊

形為平行四邊形？若存在，請求出力的值；若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)過。作aa處于。，如圖所示：

?；/、B、C的坐標分別為(16,0)、(16,6),(8,6),

：.OA=16,勿=8,36,BC=AD=OA-OD=8,OA//BC,

，OC=Ng2+62=10,

：.0&BC=18,

由題意得：總時間t=184-2=9(s),

當t>5時，2t>10,此時點0在%上，

貝UCQ=2t~10,

:.Q(2t-2,6),

故答案為：(2t-2,6)；

(2)分三種情況：

①只。與0、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則陣C0,

'：OP=t,CQ=2t-10,

At=2t-10,

解得t=lQ9與矛盾(舍去)，

②只。與46為頂點的四邊形為平行四邊形時，則為=困

V/^=16-t,QB=18-2t,

A16-t=18-219

解得￡=2,此時0在比上，矛盾；

③只Q馬0、6為頂點的四邊形為平行四邊形時，則8=困

?：OP=t,QB=18-2t,

???￡=18-23

解得t=6,符合題意；

④只Q與C、力為頂點的四邊形為平行四邊形時，則Rf=0,

V/M=16-t,CQ=2t~10,

/.16-t=2t-10,

解得t片，符合題意；

綜上所述，t的值為6或孕.

5.如圖，點、B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//ED,AC//FD,AD交BE于點、0.

(1)求證：4?與應(yīng)1互相平分；

(2)若四_LZC,AC=BF,BE=8,FC=2、求"的長.

【答案】(1)證明：如圖，連接出、AE,

'：FB=CE,

：.BC=EF,

又‘：AB"ED,AC//FD,

:./ABC=/DEF,/ACB=NDFE,

在△胸和△應(yīng)尸中，

"ZBAC=ZDEF

<BC=EF，

ZACB=ZDFE

...△明屋△應(yīng)F(/SI),

：.AB=DE,

又,：AB〃DE、

二四邊形似應(yīng)是平行四邊形，

:.AD與血互相平分；

(2)解：'：FB=CE,

:.BE=2BRFC,

:"C=BX3,BC=BFi-FC=3+2=5,

'：ABLAC,

=22=4

...由勾股定理得：AB=7BC2-AC275-3-

6.如圖，在nABCD中,E,產(chǎn)是對角線加上的兩點，且滿足四=所，連接第CE,CF,

AF.

(1)求證：AE//CFi

(2)若版L"；ZEFC=58°,NFAD=12°,求/切1的度數(shù).

【答案】解：(1)如圖所示，連接4c交即于0,

?.?四邊形3Z?是平行四邊形，

：.AO=CO,BO=DO,

又?：BE=DF,

：.EO=FO,

.?.四邊形被萬是平行四邊形，

：.AE//CFx

(2)'：AELAF,

：.^EAF=W°,

又；四邊形儂尸是平行四邊形，

.?.四邊形極F是矩形，

A^AFC=2Q°,

又胡X58°,

AZ.AFE=W-58°=32°,

?；//旗是△被的外角，^FAD=\20,

A^ADF=ZAFE-AFAD=2,2°-12°=20°.

7.如圖，在平面直角坐標系中，將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使

得它們的斜邊重合于如，直角邊不重合，已知4(6,0),AB=OC,AC與OB交于*D,連

接％

(1)填空，如圖1,〃點坐標是.

(2)若將△購繞曲的中點P逆時針轉(zhuǎn)90°到△QG4的位置，則G的坐標為.

(3)在(2)的條件下，求△。仍與△QG4的重疊部分的面積.

【答案】解：(1)過。作力讓如于P,則P是614的中點;

：.OP=PA=3,即P(3,0)；

在中，OP=3,/比歸=30。，貝I：

折8?加=?,即〃(3,V3).

(2)連接CP,C\P；

由于尸是雙△〃》的中點，且/呼是60°,

那么是等邊三角形，即CP=OP=3,N80=60°；

:.NGPO=30°，而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：PC\=CP=3,

可求得G(3-歲，

(3)由(1)(2)得：A(6,0),P(3,0),4(3,3),B昌,

222

那么可得：直線80：尸寫,則〃(3,V3)；

O

直線4G：-3可求。(3-丁§,0),M(—「:T,————1);

即可求S陰影=/x3xy-/X(3-73)X晅-3=9-濘.

乙乙/N

8.如圖，矩形班第的頂點￡,G分別在菱形四切的邊初，BC上,頂點尸，H在菱形ABCD

的對角線切上.

(1)求證：BG=DE；

(2)若￡為初中點，F(xiàn)H=2,求菱形被力的周長.

【答案】解：(1)：四邊形班第是矩形,

：.EH=FG,EH//FG,

:?/GFH=/EHF,

VZBFG=18Q°-/GFH,/頗=180°-4EHF,

：./BFG=/DHE,

??,四邊形儂力是菱形，

:?AD〃BC,

：.4GBF=/EDH,

：.i\BGF^/\DEH(AAS),

：.BG=DEx

(2)連接￡G,

??,四邊形儂刀是菱形，

：.AD=BC,AD//BC,

???￡為47中點，

:?AE=ED,

■:BG=DE,

:?AE=BG,AE//BG,

：.四邊形松毋是平行四邊形，

**?AB=EG,

■:EG=FH=2,

:?AB=2,

.菱形極力的周長=8.

D

rH

/><t//

BGC

9.如圖，四邊形應(yīng)即是平行四邊形，4、C在直線印上且公1=成

（1）求證：四邊形幽笫是平行四邊形；

（2）在不添加任何輔助線的條件下，請直接寫出圖中所有與面積相等的三角形.

（圖1）（圖2）

【答案】（1）證明：連接劭交〃'于0,如圖1所示：

：四邊形瓦如是平行四邊形，

：.OE=OF,OB=OD,

'：AE=CF,

：.QA=OC,

.?.四邊形的龍是平行四邊形；

（2）解：圖中所有與△際面積相等的三角形為△3、ABEA,ACBF,理由如下:

'：AE=CF,

二△被的面積=的面積，△3'的面積=/\弼的面積，

由（1）得：四邊形加力是平行四邊形，

：.AD//CB,AD=CB,

:"DAE=/BCF,

'AD=CB

在△板和△煙'中，，ZDAE=ZBCF,

AE=CF

:.XAD瞄ACBF(SAS),

.?.△3的面積=2\吸的面積，

.?.△兒后的面積=2\"仁的面積='的面積=2\弼的面積.

(圖D

10.如圖，4?是△上的中線，點￡是血的中點，相〃紀交"的延長線于點七連接跖.

(1)求證：四邊形〃物是平行四邊形.

(2)在不添加任何線段的情況下，請直接寫出圖中面積是△口應(yīng)面積2倍的三角形.

【答案】（1）證明：：后是助的中點,

：.AE=DE,

'：AF//BC,

：.^AFE=ZDCE,

，ZAFE=ZDCE

在△曲'和△龍C中，，ZAEF=ZDEC

AE=DE

:.△AEF^ADEC（AA9,

：.AF=DC,

：4?是△松7的中線,

：.BD=DC,

：.AF=BD,

又

二四邊形"HO是平行四邊形；

(2)解：圖中面積是△鹿面積2倍的三角形為5、XABD、AABF、XACF、理由如下:

?.?點￡是曲的中點，

...△/5的面積=2△頌"的面積，

?.?也是△胸的中線，

二△腕的面積=△/5的面積=2△頗1的面積，

由(1)得：△為叫電△龍C,四邊形加沏是平行四邊形，

：.EF=EC,△腑'的面積=2X3的面積應(yīng)的面積，

...△4聲的面積=2/\4龍的面積=22\。應(yīng)的面積.

11.如圖，平行四邊形被力中，NA108°,四=7厘米，4=6厘米，￡是比1邊的中點,

連接典尸為切邊上一點，且滿足/眄=2N員區(qū)

(1)若/以個=32。.求N月傷的度數(shù)；

(2)求證：AF=C1ACF.

【答案】（1）解：*.?/。=108°,N血432°,

:.NM4=180°-ND-NDAF=40°.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD.

：.ZDFA=ZFAB=40°,

V/DFA=2/BAE,

：.4FAB=24BAE.

即/FA拱NBAE=2NBAE.

：.NFAE=/BAE：

：.2ZFAE=4Q°,

???N用￡=20°；

(2)證明：在"'上截取芥=的連接酩CG.

■:/FAE=NBAE,AE=AE,

:.△AEMXAEB.

：.EG=BE,NB=NAGE；

又??,￡為無中點，

：.CE=BE.

：.EG=EC,

：./EGC=4ECG、

AB//CD.

?,?N*N比。=180°.

又「NAG*NEGF=18Q。,/AGE=/B,

：.NBCF=/EGR

八?：NEGC=NECG,

：./FGC=4FCG,

:.FG=FC；

文,：AG=AB,AB=CD,

：.AF=AG^GF=AB^FC=OFC.

12.已知：在矩形屈力中，切是對角線，AELBD于熱E,成L初于點?

(1)如圖1,求證：AE=CF；

(2)如圖2,當N"厲=30°時，連接〃'、CE,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形被力面積的春.

O

【答案】(1)證明：?.?四邊形被力是矩形,

：.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

：.^ABE=ACDF,

■:AELBD干熱E,CFLBD于AF,

:.NAEB=NCFD=90",

"ZABE=ZCDF

在△夜和△妍中，?ZAEB=ZCFD,

AB=CD

:AAB昭4CDF(AA9,

:.AE=CF；

(2)解：△板的面積=△物的面積=2\頗的面積=△4*的面積=矩形儂力面積的

、??理由如下：

O

'：ADHBC、

：.ZCBD=ZADB=3Q°,

VZABC=9Q0,

AZABE=60°,

■:AELBD,

：.ZBAE=30°,

:?BE=^AB,AE=￡AD,

???△鹿的面積=［幽XX得相X得4?=］矩形極力的面積，

2222g8

■:XAB昭XCDF、

...△物的面積T■矩形楹》的面積；

O

作曲_L優(yōu)于G,如圖所示：

'：NCBD=30°,

Z.EG=士BE=《X^-AB=—AB,

2224

2BCE的面積%'XEG=^-BC^=3比//1^=3矩形ABCD的面積，

22488

同理：aw的面積=［矩形的?的面積.

O

圖2

13.在活動課上我們曾經(jīng)探究過三角形內(nèi)角和等于180°,四邊形內(nèi)角和等于360°,五邊

形內(nèi)角和等于540。，…，請同學(xué)們仔細讀題，看圖，解決下面的問題：

（1）如圖①，XOAB、△打》的頂點0重合，且N汆/用N6Ngl80°,則/4例■/砌

=（直接寫出結(jié)果）.

（2）連接曲、BC,若40、BO、CO、R分別是四邊形被力的四個內(nèi)角的平分線.

①如圖②，如果NZ如=110°,那么NC如的度數(shù)為（直接寫出結(jié)果）.

②如圖③，若NAOD=NBOC,AB與CD平行嗎?請寫出理由.

【答案】解：（1）研/協(xié)*N/Ngl80°X2=360°,N汆/班N/N

A180°,

.?.NZ妙NCW=360°-180°=180°.

故答案為180°；

(2)①?.10、BO、CO、R分別是四邊形被力的四個內(nèi)角的平分線，

:.NOAB=^4DAB,N0BA='N煙，4OCD=三乙BCD,NODC=^/ADC,

:.NOAB^OB肚NOC訃4ODC=^X360。=180°,

在△的中，NOLmNOS4=180°-Z.AOB,

在△毆中，NOC濟NOF180°-/COD,

：.180°-4刎80°-/加=180°,

：.ZAOB^ZCOD=180°；

'：ZAOB=11Q°,

：.ZCOD=180°-110°=70°.

故答案為：70。；

②)AB"CD、理由如下：

'：AO.BO、CO、R分別是四邊形儂刀的四個內(nèi)角的平分線，

???ZOAB=yZDAB.N0BA=^■/煙，Z0CD=yZBCD.Z0DC=yZADC.

:.NOABMOBA+NOC世NODC=^X360。=180。，

在△胸中，/物加/煙=180°-NAOB,

在△況》中，NOC/NODC=180°-ZCOD,

：.1800-4明180°-ZCOD=180°,

：.ZAO^-ZCOD=180°；

:.NADO^/B0D=36Q°-QAOB^/COm=360°-180°=180°,

?：NAOD=2BOC,

：.ZAOD=ZBOC=90°.

在N/勿中，ZDAO=ZADO=180°-N&?=180°-90°=90°,

VZDA0=yZDAB,ZAD0=|