備戰(zhàn)2021高考黃金30題系列之?dāng)?shù)學(xué)填空題壓軸題【上海版】

專題1函數(shù)

1.(2021上海閔行區(qū)?高三一模)已知函數(shù)/(x)=X+J,給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)

y=〃x)+/(x—a)為奇函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)。，均存在實(shí)數(shù)山，使得函數(shù)g(x)="x)+/(x-a)關(guān)于

x=m對(duì)稱；③若對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a,/(x)+/(x—都成立，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為(—8,4］；④

存在實(shí)數(shù)左，使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)-Z對(duì)任意非零實(shí)數(shù)”均存在6個(gè)零點(diǎn).其中的真命題是

.(寫出所有真命題的序號(hào))

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判斷①不正確；驗(yàn)證g(a—x)=g(x),可判定②正確；利用基本不等式可判定③

正確：當(dāng)a>0時(shí)，分析出函數(shù)g(x)在3,田)上現(xiàn)遞減再遞增，即g(x)1n^=8小)，可得出

44

Z>max{a+—,g(x())},利用女Na+—不恒成立，可判定④錯(cuò)誤，同理可得，當(dāng)avO時(shí)，命題④也不成

aa

立，從而得到④為假命題.

【解析】由題意，令g(x)=/(x)+/(x-a),

函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧幻xw0},則/(-%)=|-X--Hx+-\=/(%),

XX

函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

對(duì)于①，若a=0,則g(x)=2x+4，則g⑴=2=g(-l),此時(shí)函數(shù)g(x)不是奇函數(shù);

X

a2+4

若。。()，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閧xlxxo且XX。},g^)=2嗎)>0,

Id

/a、a23。2八a

8(一5)=5+/》+豆皿顯然8(一產(chǎn)田井

綜上所述，對(duì)任意的aeR，函數(shù)g(x)=/(x)+/(x—a)都不是奇函數(shù);

對(duì)于②，g(a-％)=于(a-x)+/(-%)=于(x-ci)+/(x)=g(x),

.,.函數(shù)g(x)=/(x)+/(x-a)關(guān)于直線x對(duì)稱.

因此，對(duì)任意實(shí)數(shù)。，均存在實(shí)數(shù)加，使得函數(shù)g(x)=/(x)+/(x—a)關(guān)于x=m對(duì)稱，.?.②正確;

對(duì)于③,當(dāng)且僅當(dāng)工=±1時(shí)，等號(hào)成立,

當(dāng)且僅當(dāng)x=a±l時(shí)，等號(hào)成立,

?4-g(x)=/(x)+/(x-a)“,

Va^O,當(dāng)％=9時(shí)，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)成立，.?.上《4.

因此，實(shí)數(shù)A的取值范圍是(一8,4],③正確；

對(duì)于④，假設(shè)存在實(shí)數(shù)上，使得直線丁=左與函數(shù)g(無)的圖象有6個(gè)交點(diǎn),

若。>0,當(dāng)()VX<Q時(shí),

g(x)=x+—+Q-九+----=Q+-------

xa-xx{a-x)

此時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,微)單調(diào)遞減，在區(qū)間(￡,a)上單調(diào)遞增,

當(dāng)0<xva時(shí)',

當(dāng)時(shí)，任取西￡(。，+8),且即須＞工2＞。，

則g(%)—g(工2)=(^---1■尤]—。+-----)-(X2H---F工2一。+------)

%]x]-ax2x2-a

-2(百-x)+(------)+(-------------)-2(%-%)+~2\/1r

2x~+7

%2xx-ax2-axtx2(Xj-ci)[x2-a)

=ar)[2-直飛7；七田],

?/x1>x2>a隨著冷々的增大而增大,

rc11

當(dāng)且時(shí)，[2-瓦飛一磯y)]-—00,

當(dāng)X1f+8且々->+8時(shí)，[2------------------；]—2,

xtx2(x,-a)[x2-a)

：.x0>a,使得當(dāng)a<無2<%/時(shí)，12-------------:-----;1<0,

X^2(X]—Cl~Cl]

則g(%)<g(巧)，，函數(shù)g(x)在區(qū)間(a,x())上單調(diào)遞減；

當(dāng)…2>/時(shí)，[2-'一(…上一產(chǎn),則g(%)>g(w)，

二函數(shù)g(x)在區(qū)間(4,+8)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x>a時(shí)，g(x)n.n=.g(x0).

若存在實(shí)數(shù)左，使得函數(shù)8(力=/(力+/(%-/-左對(duì)任意非零實(shí)數(shù)。均存在6個(gè)零點(diǎn)，

即直線y=々與函數(shù)g(x)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，

由于函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=^對(duì)稱，

則直線V=左與函數(shù)g(力在直線x=5右側(cè)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

44

k>max{ad--,g(x())}■一?

aa

4

由于人為定值，當(dāng)且當(dāng)々逐漸增大時(shí)，。+一也在逐漸增大，

a

4

???%>。+—不可能恒成立，

a

...當(dāng)a>0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)女，使得函數(shù)g(%)=/(x)+/(x—。)—左對(duì)任意非零實(shí)數(shù)。均存在6個(gè)零點(diǎn)；

同理可知，當(dāng)a<0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)&,使得函數(shù)g(x)=〃x)+/(x—a)一左對(duì)任意非零實(shí)數(shù)。均存在6

個(gè)零點(diǎn)，故命題④錯(cuò)誤.故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】己知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的常用方法：

1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/(x)中分

離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，從而確定參數(shù)的取

值范圍；

2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的

參數(shù)的各校范圍并在一起，即為所求的范圍.

2.(2021上海奉賢區(qū).高三一模)已知y=/(x)是奇函數(shù)，定義域?yàn)椋跿1］,當(dāng)x>0時(shí)，

/*)=--X”-1(e>0,aeQ),當(dāng)函數(shù)g(x)=/(x)T有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是

【答案】口一；U{o}U

【分析】首先根據(jù)函數(shù)y=-x“xe(O］］的單調(diào)性和端點(diǎn)值畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)

畫出函數(shù)y=/(x)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求t的取值范圍.

(1、2XT

【解析】當(dāng)X￡(0,l］時(shí)，易知函數(shù)丁=-單調(diào)遞減，且x30時(shí)，yf2,工=1時(shí)?，y=--f

\2J

其大致圖象如下,

V

V

又函數(shù)/(X)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)，故函數(shù)/(X)的圖象如下,

要使函數(shù)g(x)=/(X)—，有3個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=，有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，

由圖象可知，U｛o｝U故答案為：(―L—gU｛O｝U

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般可采用1.直接法：直接求解

方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域

問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察

求解，此時(shí)需要根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)合理尋找“臨界”情況，特別注意邊界值的取舍.

3.(2021上海虹口區(qū)?高三一模)已知數(shù)列｛4｝滿足6=-2,且5.(其中S“為數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)

和)，/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x),則/(出021)=.

【答案】0

【分析】首先求出函數(shù)的周期性，再利用構(gòu)造法求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，即可得到生=1-32°2i,再根

據(jù)二項(xiàng)式定理判斷32°21被4除的余數(shù)，即可計(jì)算可得；

【解析】，/。)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(2-x)=/(x),

/(-x)=/(x+2)=-/(x),/(x+4)=-〃x+2)=/(x),二/(x)的最小正周期為4,

又?jǐn)?shù)列｛%｝滿足％=-2,且s〃=為+n①；

3

當(dāng)〃22時(shí)，=耳。〃_]+"一1②；

33

①減②得一耳。"_1+1，，=3?！╛]一2,-1=3(?！?1-1)

.?.{%—1}以一3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，???“”一1=一3",即。"=1一3",=1-32021

又32⑼=(4一1產(chǎn)=42021+…+G⑼?(—1>423一1,32M被4除余3,

???/(。2021)=/(1_3202)=_/(32⑼_1)=_/(_1_1)=/(2)=/(0)=0,故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，若存在非零常數(shù)T，若對(duì)定義域內(nèi)任意的X都有了(X+T)=/(%),

則T為函數(shù)的周期.

4.(2021上海市奉賢區(qū)曙光中學(xué)高三期中)已知函數(shù)/(x)定義在H上的偶函數(shù)，在［0,+c。)是增函數(shù)，且

f(x2+ax+b)<f(2x2+4x+l)恒成立，則不等式/嗚*2后一乜的解集為

【答案】{1}

【分析】由題意可得出+ar+^|<|2x2+4x+l］,可知方程f+以+/,=()與方程2/+4》+1=0同解,

可解得。=2,b=~,進(jìn)而由所求不等式得出爐-2%+245出？工，再由V一2%+2=(%—+121,

22v'

-2x+2=1

TTY

-l<sin—<1,可得出《nx，即可得出原不等式的解集.

2sin——=1

2

【解析】由于函數(shù)/(力定義在R上的偶函數(shù)，在［O,y)是增函數(shù)，

由+ax+b^<f(2x2+4x+l)可得+辦+〃|)〈川2x?+4x+l|j,

-2+V2-2-V2

：.\x2+ca+b\<\2x2+4x+}\,解方程2f+4x+l=0可得%=

22

'2+&、2—VT

令g(x)=%2+"+匕，則g

-2-40，gI2)<0,

\/

x,="+,%=----是方程f+辦+人=0的兩根,

'22

—ci=須+/=-2a=2

由韋達(dá)定理可得L1,解得L1

b=xxx2=-b=—

2

由丁吟&〃**一2可得2?喙2犬2-2X+2，，x-2x+2<sin胃,

[x2-2x+2=1

:丁—2x+2=(x—+121,-1<sin--1?*冗x?解得了=1.故答案為：{1}.

2sin^=l

I2

【點(diǎn)睛】對(duì)于求值或求解函數(shù)不等式的問題，?般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單

調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“/"，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，若"X)為偶函數(shù)，則〃—x)=/(x)=/(|x|).

5.(2021.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開學(xué)考試)已知4、生與白、4是4個(gè)不同的實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程

\x-al\+\x-a2\=\x-b[\+|x-的解集A不是無限集，則集合A中元素的個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為

【答案】{1}

【分析】將該題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，為了簡(jiǎn)化問題，特殊化成研究關(guān)于了的方程

|x|+|x-l|=\x-a\+\x-b\,也即是函數(shù)7(x)=|x|+|x-l|和g(x)=|x-a|+|x-切的的交點(diǎn)問題.畫

出分段函數(shù)的，通過取特殊值可以判斷出有1個(gè)交點(diǎn)，而0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)都是不可能的，需要用反證

法去證明.設(shè)點(diǎn)40,1),8(1,1),C(a,b-a),D(b,h-a),借助斜率公式、絕對(duì)值三角不等式以及不等式

的性質(zhì)，導(dǎo)出矛盾，從而說明0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)是不可能的，最終得出集合A只能有1個(gè)元素.

【解析】轉(zhuǎn)化為/(x)=|x-q|+|x-%|和g(x)=|x-6||+|x-包|交點(diǎn)，

為了簡(jiǎn)化問題，我們可以研究|x|+|x-l|=\x-a\+\x-b\,

—2.x+1,x<0

/(x)=|x|+|x-l|-<1,0<x<1,

2x-l,x>1

-lx+a+b,x<a

設(shè)a<Z?,^(x)=|x-a|+|x-^|=<b-a,a<x<b,

2x-a-b,x>b

設(shè)A(0,l),8(1,1),C(a,b-a),D(b,b-a),

153

①由易知，1個(gè)交點(diǎn)容易得到，如a=5，>=2時(shí)，可求得唯一一個(gè)交點(diǎn)為(彳,：

J'

而0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)都是不可能的.

②假設(shè)有0個(gè)交點(diǎn),

,,.\b-a—11\b-d—11l?l」1^-11,1

由題思I心cl=f->2'7‘2,------------<—,-------------<—

\b-a-\\2\b-a-\\2

1口?18-1|〈］|4|?附-1|II

而由三角不等式,

\b-a-\|\b-a-\\\b-a-\\\b-a-\\\b-a-\\

故矛盾，.??不可能有0個(gè)交點(diǎn);

③假設(shè)有2個(gè)交點(diǎn),

b_a_1b_ci_1—a1h-11

k=----------e(-2,0),k=—~—G(0,2),----------〉一

ACciBDb-\b-a-l2b-a-l2

b~Cl~X>\,明顯矛盾，...不可能有2個(gè)交點(diǎn).

b-a-\

其他0個(gè)交點(diǎn)和2個(gè)交點(diǎn)的情況均可化歸為以上兩類.

綜上所述，解集A不是無限集時(shí)，集合A的元素個(gè)數(shù)只有1個(gè)，故答案為：{1}.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將方程的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中兩個(gè)分段函數(shù)可

以用特值法固定一個(gè)，再討論另一個(gè)函數(shù)的情況.

2

6.（2021上海市洋涇中學(xué)高三期中）已知/（力=口?-卜-4在（-1』）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則4的取值

范圍為.

【答案】（一8,0）°{2夜—l}u[2,y）

【分析】令/（尤）=0得，-=-^=\x-a\,令弘=喜，%=k一4,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，

分a的范圍分別作出圖象可得范圍.

92

【解析】令f（x）=。得,----=|x-d,令凹=-----，y2Tx一

x+1X+1

2

當(dāng)a=0時(shí)，乂=卜|，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y=-^（T<X<1），%=|x-a|的圖象（如下圖

1所示），從圖象看出，當(dāng)。<0時(shí)，y1=-（-1<X<1）,y2Tx—a|兩個(gè)圖象在（T，l）上有且只有一個(gè)

2

交點(diǎn)，即函數(shù)/（力=在一,一4在（T』）上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故a<0滿足題意；

9

當(dāng)。>0時(shí)，當(dāng)x=——（-1<X<1）,%=卜一4兩圖象相切時(shí)，兩函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)（如下圖

X+1

V.=^—（-1<X<1）9\八

2所示），又XVQ時(shí)，y2=a-x,由彳x+1'，,得工+（1—。）1+2—〃=。，

y2=a-x

△=（l—a）2_4（2—a）=/+2a_7=0,解得a=2夜-1（負(fù)值舍去），

當(dāng)a>0時(shí)，且%=0一％過點(diǎn)（U）時(shí)，兩函數(shù)y=m（T<x<l），%=k一4的圖象有且只有一個(gè)交

點(diǎn)（如圖3所示），此時(shí)l=a-l,解得。=2,

當(dāng)以>2時(shí)，由圖4所示，由圖象得出，此時(shí)兩函數(shù)y=n（-1<X<1）,%=卜一”|的圖象有且只有一

個(gè)交點(diǎn)，綜上可得0的取值范圍為（—,0）D{2拒一1}D[2,+8），

故答案為：（―OO,0）D{2\Z^—1}D[2,+OO）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為方程的根，繼而轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的

思想是常采用的方法.

7.（2021寶山區(qū)?上海交大附中高三月考）函數(shù)y=」一的與函數(shù)y=2sin乃x（xe]—左一2,%+4],左eZ）的

1-x

所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2020,則滿足條件的所有整數(shù)k的值是.

【答案】1006或1007.

【分析】由題意可得函數(shù)y=-的與函數(shù)y=2sin心（一3<x<5）的所有交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，

且每一對(duì)關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，結(jié)合所有橫坐標(biāo)之和等于2020即可得到k的值.

【解析】函數(shù)y=—!—的關(guān)于點(diǎn)（以））對(duì)稱，函數(shù)y=2sin7Lx（-Z:-2<x<k+4）的也關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱,

1-x

?.?兩個(gè)的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于2020,當(dāng)彳>1時(shí)，它們共有1010對(duì)交點(diǎn)，,&+4=1010或

出+4=1011,解得&=1006或1007.故答案為：1006或1007.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

8.（2021上海黃浦區(qū)?格致中學(xué)高三月考）若函數(shù)-1|-|x|+l恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，”的取

值范圍是

【答案】（—3+2立,0）U（0,D

【分析】???f（o）*o，/（1）=0時(shí)，...X=1是函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)XH0且時(shí)，令

—,x>1—,A>1

XX

f(x)=mx|x-l|—|x|+l=0^,m=<--,0<x<\,令〃(x)=<--,0<x<l,y=/z(x)與y=m

XX

X+lAX+ln

(1yx<o(2%<0

x[x-l)x(x-l)

有兩個(gè)交點(diǎn)即可，先研究0<x<l和x>l部分交點(diǎn)情況，再討論相=—二（x<0）部分根的情況，轉(zhuǎn)化

x（x-l）

成二次方程研究根的分布即可，最終結(jié)合這兩部分求解陽(yáng)的取值范圍.

【解析】由函數(shù)的解析式得，/(0)#0,而/(l)=o，，x=l是函數(shù)/(X)的一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)X工0且X。1時(shí)，只需/(X)=〃四IX-1I一IXI+1=0有兩個(gè)零點(diǎn)即可,分離參數(shù)得,

一,X>1

X

有兩個(gè)根,令/?(?￥)=?—,0<x<1則y=〃(x)與y=m有兩個(gè)交點(diǎn).先作圖

X

X+ln

x(x—1)

0<x<l和x>l部分，如下:

易見，mw(YQ,—l)U(O,l)時(shí)，y=/z(x)的0<x<l和x>l部分與y=加有有一個(gè)交點(diǎn)，

me[-l,0]U[l,+oo),沒有交點(diǎn).

下面研究相=—=(》<0)根的情況，化簡(jiǎn)得見2一(m+1?-1=0(》>0),易見，相=o,無解.

A=(m+1)2+46>0

，乳+1

若該二次方程有兩個(gè)不同負(fù)根，貝1卜<°，解得一3+26<根<0，此時(shí)0<%vl和x>l

m

—>0

m

部分沒交點(diǎn)，故符合題意y=A(x)與y=加仃兩個(gè)交點(diǎn);

若該二次方程只有一個(gè)負(fù)根，則根的情況是兩個(gè)相等的負(fù)根或者一正一負(fù)根，則

22

△=(〃z+l)~+4m-0△=(/72+1)~+4m>0

m+1八或'即機(jī)=一3+2百或桃>0，此時(shí)0<x<l和x>l部分

----<0—<0

m、m

需要有一個(gè)交點(diǎn)，即we(-8,-i)U(0,i)，故0(加＜1時(shí)y=/?(x)與丁=機(jī)有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上，要使函數(shù)y=/(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是—3+2&＜加＜0或0(加＜1.

故答案為：(-3+20,O)U(O,l).

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍，難度較大，解題關(guān)鍵在于先數(shù)形結(jié)合解決0＜x＜l

和x＞1部分的交點(diǎn)情況，再利用方程思想研究m=x高產(chǎn)＜0)部分根的情況，轉(zhuǎn)化成二次方程研究根

的分布問題，即突破難點(diǎn).

9.(2021上海浦東新區(qū)?華師大二附中高三月考)已知x,ye[l,3],x+y=4,則“無+1—Jy+的最

大值為________

,令，=◎=宜4-x）,/w[3,4],結(jié)合函

數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.

令r=D=x（4—x）je[3,4],則（*）式=4+&—2、|+1+2,其在/e[3,4]上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)/=3時(shí),即x=l,y=3或x=3,y=l時(shí)，(*)式取得最大值,

的最大值為2-竽，故答案為：2-半.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用整體代換思想是解題的關(guān)鍵.

x2+（4。-3）x+3a,x<0

10.(2021上海市建平中學(xué)高三月考)已知函數(shù)=＜八（。>0且awl）在7?

log”（x+1）+1,x.O

上單調(diào)遞減，且關(guān)于X的方程=2-尤恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則。的取值范圍是

【答案心泅T

【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出4的大致范圍，再根據(jù)/（“為減函數(shù)，得到不

等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個(gè)數(shù)，推出。的范圍.

x2+(4a-3)x+3a,x<0

【解析】函數(shù)〃x）=<(。>0且。wl),

log?(x+l)+l,x..O

』0

2

I3

在R上單調(diào)遞減，則：〈0<a<l，解得，一領(lǐng)h—.

34

02+(4a-3)0+3?>log?(0+l)+l

由圖象可知，在［0,+°。）上，|/（x）|=2—x有且僅有一個(gè)解,

故在（-8,0）上，|/（x）|=2-x同樣有且僅有一個(gè)解，

-'-13a>2即a>大時(shí)，聯(lián)立|x2+（4。一3）x+34=2—x,

93

則△=（4a—2）——4（3〃-2）=0,解得。二^或1（舍去），

當(dāng)143。<2時(shí)，由圖象可知，符合條件，

綜上:a的取值范圍為大行卜

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和方程的零點(diǎn)，對(duì)于分段函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，除了每一段都是減函

數(shù)以外，還要注意右段在左段的下方，經(jīng)常會(huì)被忽略，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)；復(fù)雜方程的解通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零

點(diǎn)，或兩函數(shù)的交點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合思想，屬于難題.

11.(2021華東師范大學(xué)附屬天山學(xué)校高三開學(xué)考試)若直角坐標(biāo)系內(nèi)AB兩點(diǎn)滿足：(1)點(diǎn)48都在f(x)

的上；(2)點(diǎn)A3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)(A3)是函數(shù)/(x)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)(A,B)與(8,4)可

X2+2x(A:<0)

看作一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)已知函數(shù)/。)={2，則/(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有個(gè).

尸。)

【答案】2

2

【解析】根據(jù)題意，作出函數(shù)>=%2+2%(%<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，以及函數(shù)y=/(x?o)的，

如下圖，

觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)：即/(x)的“姊妹點(diǎn)對(duì)''有2個(gè).

點(diǎn)睛：根據(jù)題意：“姊妹點(diǎn)”，可知，欲求/(x)的“姊妹點(diǎn)”，只須作出函數(shù)ynf+ZMxvO)的圖象關(guān)于

2

原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)y=?(xNO)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

12.(2021上海高三模擬)函數(shù)y=J—的圖象與函數(shù))'=2sin2心4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等

于.

【答案】8

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩函數(shù)的圖象，觀察圖象的特點(diǎn)，根據(jù)圖象中心對(duì)稱的特點(diǎn)可求得交點(diǎn)橫坐

標(biāo)的和.

【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩函數(shù)的圖象，如下圖所示，

由圖象可得，兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)（1,0）成中心對(duì)稱，在［—2,4J上共8個(gè)公共點(diǎn)，且每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)橫

坐標(biāo)之和為2,故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)及函數(shù)的對(duì)稱性問題，解題的關(guān)鍵是畫出圖象、然后

根據(jù)圖象的對(duì)稱性得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和.

13.（2021上海浦東新區(qū)?華師大二附中高三月考）設(shè)/T（X）為/（x）=：—?cosx+.,xe［0,句的反

函數(shù)，則y=/（x）+/T（x）的最大值為.

【答案】』乃

4

【分析】由函數(shù)/（X）是［0,句上的遞增函數(shù)，得到尸（力的單調(diào)性相同，得出曠=/（%）+尸（力的定義

JT

域?yàn)?,y,進(jìn)而可得y=/（x）+尸（X）的最大值，即可求解.

【解析】由題意，函數(shù)/（無）=（一.cosx+t是［0,句上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且廣（x）為/（無）=2-色cosx+工，xe［0,%］的反函數(shù)，

488

...函數(shù)/（X）與廣（X）的單調(diào)性相同，

當(dāng)X=7時(shí)，函數(shù)”X）取得最大值/⑺=（［cos萬+:=',

ITTT

一當(dāng)x=0時(shí)，f（0）——cosOH—=0,

88

Wn小￡小/p>

當(dāng)天=一時(shí)，f（一）=—X-----COS--1=—,

22428284

..?函數(shù)y=/（x）+廣（x）的定義域?yàn)閛，g,且當(dāng)時(shí)，尸弓）=乃，

???y=/（x）+/T（x）的最大值為/（9+廠'（9=7+%=多，故答案為：苧.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的定義域與值域，著重考查分析問題和解答問題的能力.

14.（2021上海青浦區(qū)?高三二模）定義函數(shù)/（%）={%{%}}，其中{耳表示不小于x的最小整數(shù)，如{1.4}=2,

{-2.3)=-2,當(dāng)xe(O,〃](〃wN")時(shí)，函數(shù)〃x)的值域?yàn)锳“，記集合A“中元素的個(gè)數(shù)為4,則%=

[答案]———-

2

【分析】根據(jù){X}的定義，依次求出數(shù)列{為}的前5項(xiàng)，再歸納出％=a,i+〃，利用累加法求出凡即可

【解析】由題意得，當(dāng)〃=1時(shí)，由于xe(O,l],，{x}=l,.?.{X{X}}=1,則4={1}，4=1，

當(dāng)〃=2時(shí)，由于xe(l,2],{尤}=2,；.{x{x}}e(2,4],則4={1,3,4},g=3,

當(dāng)〃=3時(shí)，由于xw(2,3],；.{尤}=3,二{x{x}}e(6,9],則4={1,3,47,8,9},%=6,

當(dāng)〃=4時(shí)，由于尤e(3,4],{x}=4,二{x{x}}G(12,16],則4={1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},%=10.

以此類推，得a“=a,i+〃，利用累加法得，/=四羅，故答案為：如詈.

【點(diǎn)睛】此題考查了新定義，遞推關(guān)系，累加求和的方法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題.

15.(2019?上海楊浦區(qū)?高三二模)定義域?yàn)榧峡?2,3,…,12}上的函數(shù)/(X)滿足：①/⑴=1；②

|/(x+l)-/(x)|=l(x=l,2,…,11)；③/⑴、/⑹、/(12)成等比數(shù)列；這樣的不同函數(shù)/(X)的個(gè)數(shù)

為________

【答案】155

【分析】分析出f(x)的所有可能的取值，得到使/(x)中/(l)、/(6)、f(12)成等比數(shù)列時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，

再運(yùn)用計(jì)數(shù)原理求出這樣的不同函數(shù)/(%)的個(gè)數(shù)即可.

【解析】經(jīng)分析，/(X)的取值的最大值為x,最小值為2-左并且成以2為公差的等差數(shù)列，故，(6)的

取值為6,4,2,0,-2,-4.

/(12)的取值為12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,

二能使f(x)中的f(1)、/(6),/(12)成等比數(shù)列時(shí)，/(I)、/(6)、/(12)的取值只有兩種情況：

Of(1)=Kf(6)=2、f(12)=4；(2y(1)=l、/(6)=-2、/(I2)=4.

\f(JC+1)-f(x)|=1(x=1,2,11),/(x+1)=f(x)+1,或者f(x+1)=f(x)-1,即得到后項(xiàng)

時(shí)，把前項(xiàng)加1或者把前項(xiàng)減1.

(1)當(dāng)/(I)=1、/(6)=2、/(12)=4時(shí)；將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從/(I)

變化到f(6),第二步:從/(6)變化的/(12).

從"1)變化到八6)時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到2,故應(yīng)從5次中選擇3步加I,剩余的兩次減1.對(duì)

應(yīng)的方法數(shù)為《=10種.

從/(6)變化到/(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從2變化到4,故應(yīng)從6次變化中選擇4次增加1,剩余兩

次減少1,對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為C；=15種.

根據(jù)分步乘法原理，共有10x15=150種方法.

(2)當(dāng)f(l)=1、f⑹=-2,/(12)=4時(shí)，將要構(gòu)造滿足條件的等比數(shù)列分為兩步，第一步：從/

(1)變化到/(6),第二步：從/(6)變化的/(12).

從/(1)變化到/(6)時(shí)有5次變化，函數(shù)值從1變化到-2,故應(yīng)從5次中選擇1步加1,剩余的4次減

1.對(duì)應(yīng)的方法數(shù)為C；=5種.

從/(6)變化到/(12)時(shí)有6次變化，函數(shù)值從-2變化到4,故應(yīng)從6次變化中選擇6次增加1,對(duì)應(yīng)的

方法數(shù)為C：=l種.根據(jù)分步乘法原理，共有5x1=5種方法.

綜上，滿足條件的/(x)共有：150+5=155種.故填：155.

【點(diǎn)睛】解決本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)f(x)的取值規(guī)律，并找到使/(I)、/(6)、f(12)成等比數(shù)列所對(duì)應(yīng)

的三項(xiàng).然后用計(jì)數(shù)原理計(jì)算種類.本題屬于難題.

a

16.(2021上海松江區(qū)?高三模擬)已知函數(shù)/(x)=Jx(aeR且“為常數(shù))和g(x)=A

|log2(-x)|x<0

(EeR且%為常數(shù))，有以下命題：①當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)E(x)=/(x)—g(x)沒有零點(diǎn)；②當(dāng)x<0時(shí)，若

/11)=/。)+6/*)+。恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)為,X2，七，則玉?々?馬=一1；③對(duì)任意的%>0,總存在

實(shí)數(shù)a，使得"x)=/(x)-g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)內(nèi)〈工2<工3</，且數(shù)11,1%|,|x4I」/I成等比數(shù)列.其

中的真命題是(寫出所有真命題的序號(hào))

【答案】②

【分析】①根據(jù)題意，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，分別判斷尤<0,x>0兩

種情況下，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

②根據(jù)題意，先令，=/(無)，畫出函數(shù)y=|log2(-x)|的，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)，判斷方程

產(chǎn)+4+c=0根的分布情況，以及方程f=/(x)根的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

③根據(jù)題意，只需判斷出x>0時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定是2個(gè)，即可得出結(jié)果.

XH--X>0

【解析】①；/(x)TX,g(x)=A,由F(x)=/(x)-g(x)=C^,函數(shù)F(x)的零點(diǎn),

|log2(-x)|x<0

即是函數(shù)f(x)與直線g(x)=k交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=gg2(-x)|20恒成立，；k<0，...%<()時(shí)，函數(shù)尸(的=/(》)一(幻=0顯然沒有

零點(diǎn);

當(dāng)x>0時(shí)，由8(幻=%得%+@=%,即X?一奴+。=0，即V一日=一々，

x

???k<0,二/一區(qū)>0恒成立，若一。>0時(shí)，函數(shù)/(%)=/(幻一8。)=0可能有零點(diǎn)；若一。<0,函

數(shù)F(x)=f\x)-g(x)=0沒有零點(diǎn)；故①錯(cuò)；

②當(dāng)尤<0時(shí)，:?〃&)=r(》)+6/*)+。恰有3個(gè)不同零點(diǎn)，令f=/(x),則關(guān)于7的方程

/+初+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記作片冉，不妨令：<：；

做出函數(shù)y=|log2(f)|的如下:

由可得:當(dāng)，=0時(shí)，y=|log2(-x)|與y=f有I個(gè)交點(diǎn);

當(dāng)，>0時(shí)，y=|log2(-x)|與'=￡有2個(gè)交點(diǎn)；

?.?函數(shù)加x)=f\x)+b-f(x)+c恰有3個(gè)不同零點(diǎn),

則『(x)=6有1個(gè)根,記作尤|；/。)=?2有2個(gè)根，記作“2，%(不妨令工2>%3)；

二只需4=0,12>°，因此|10g2(F)|=0，|10g2(F)|=|10g2(T3)|=，2，

2

/.X,=1；-X2=2'-,-X3=2~',因此X,-x2-x3=-l；故②正確；

③由尸(x)=/(%)—g(x)=o,得〃x)=g(x)；

，函數(shù)y=/(x)與g(x)=上交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

由②中可知:當(dāng)攵>0時(shí)，y=/(x)與g(x)=A在(-oo,0)上有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)司(力=/(￡)一g(x)在

(YO,0)上有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)尤>0時(shí)，若.40,則函數(shù)/(x)=x+@在(0,")上單調(diào)遞增，因此函數(shù)y=/(x)與8(力=%在

(0,+。)上最多只有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)/(力="》)一8(可在(0,+8)上最多只有1個(gè)零點(diǎn)；不滿足存在實(shí)

數(shù)。，使得尸(x)=/(x)-g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn):

若a>0,由基本不等式可得：f(x)=x+->2^,即x>0時(shí)，

X

若0〈人26，則函數(shù)y=/(力與g(X)=人在(0,+8)上最多只有1個(gè)交點(diǎn)，也不滿足對(duì)任意的后>0，

總存在實(shí)數(shù)“，使得/卜)=〃力-8(無)有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).故答案為：②.

【點(diǎn)睛】本題主要考查判斷命題的真假，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

的思想，即可求解，屬于?？碱}型.

17.(2021上海市建平中學(xué)高三期中)設(shè)函數(shù)/(x)為定義在集合。上的偶函數(shù)，對(duì)任意xe。都有

〃/(x))=x，若方程〃x)+x=。有解/，則與=.

【答案】0

【分析】由題意可得關(guān)于不和丁(玉))的方程組，求解方程組可得X。的值.

【解析】若方程〃x)+x=0有解%，則/伍)+/=0,即/(蒞)=一與①，

則=/(To),：對(duì)任意xe。都有/(7(x))=x,

，/(/(七))=~),.?./(—&)=毛，?.?函數(shù)/(x)為定義在集合O上的偶函數(shù)，，/(%)=毛②，

聯(lián)立①②聯(lián)立可得與=0，故答案為：0。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由/(x)+x=0有解與可得/(拓)=一叫)，,/(/(/))=/(一%)，對(duì)任意

都有/(〃x))=x,可得/(/(%))=玉)，因此/(一%)=/，山偶函數(shù)知/(%)=/，，一/=/，從而

求得與的值.

.、|2'_|-2I-X,x<l

18.(2021上海市建平中學(xué)高三期中)已知函數(shù)/(x)=(7,,,則關(guān)于x的不等式

[|x-2|-l,x>\

/(x-l)+/(x)WO的解集為.

【答案】卜8,(

【分析】對(duì)自變量分情況討論，即xWl,l<x<2,2<x<3,x>3,然后對(duì)各種情況分別解不等式，

最后取并集。

【解析】當(dāng)xKl時(shí)，x-l<0,T-'<1.2'-v>l..,./(x)=2v-|-2'-x<0,

由22-22，/(x—1)=2"2—22-、<0,此時(shí)不等式/(X)+/(X-1)K0恒成立；

當(dāng)1<xW2時(shí)，/(x)=|x-211=2-x-1=1-x<0,

0<x-l<l,則/(X_1)=2'-2_22-)由2，-24I，22Tz1，則/(x_l)W0,

此時(shí)不等式+/(%-1)<0恒成立：

當(dāng)2<x<3時(shí)，/(x)+/(x-l)=|x-2|-l+|x-3|-l=x-2-l+3-x-l=-l<0,符合題意；

77

當(dāng)xN3時(shí)，/(%)+/(%—1)=x—2—1+%—3—l=2x—7<0,解得了工耳，.??3<了<萬.

綜上可得，不等式〃x)+/(x—1)<0的解集為(一8,(.故答案為：