2022-2023學年第二學期六校聯(lián)合體第二次聯(lián)合調(diào)研高一數(shù)學一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．1.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標加減及數(shù)乘運算即可.【詳解】，，.故選：C.2.若，i是虛數(shù)單位，是z的共軛復數(shù)，則（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】A【解析】【分析】首先求復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)的特征，即可求解.【詳解】由題可知，，，所以.故選：A3.下列說法中正確的是（）A.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點．B.若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行．C.若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行．D.若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線線，線面平行的定義和關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】根據(jù)線面平行的定義，可知A正確；若直線上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則直線l與平面平行或相交，故B錯誤；若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行或異面，故C錯誤；若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線與這個平面平行或在平面內(nèi)，故D錯誤.故選：A4.已知角，滿足，，則（）A. B.1 C.－3 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，即可求解.【詳解】.故選：C5.已知m，n，l為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.m

⊥l，n⊥l，則mn B.α⊥γ，β⊥γ，則α⊥βC.mα，nα，則mn D.αγ，βγ，則αβ【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各選項中線線、線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷各項正誤即可.【詳解】A：m

⊥l，n⊥l，則相交、平行、異面均有可能，錯；B：α⊥γ，β⊥γ，則平行、相交都有可能，錯；C：mα，nα，則相交、平行、異面均有可能，錯；D：αγ，βγ，根據(jù)面面平行的傳遞性，則αβ，對.故選：D6.已知，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正弦公式、輔助角公式化簡作答.【詳解】由，得，即，所以.故選：B7.如圖，小明欲測校內(nèi)某旗桿高MN，選擇地面A處和他所在教學樓四樓C處為測量觀測點（其中A處、他所在的教學樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及，從C點測得．已知C處距地面10m，則旗桿高（）A.12m B.15m C.16m D.18m【答案】B【解析】【分析】首先求，在中，根據(jù)正弦定理求，最后在中求.【詳解】由題意可知，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可知，，即，解得：，在直角三角形中，，，則.故選：B8.在中，點是上一點，點滿足，與的交點為．有下列四個命題：甲：乙：丙：?。喝绻挥幸粋€是假命題，則該命題為（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】首先由甲命題為真命題開始，由點是的中點，結(jié)合平面向量基本定理的推論，結(jié)合三點共線的向量表示，即可判斷.【詳解】若甲為真命題，，則點為的中點，由可得，，因三點共線，故可得，即，由三點共線，可得，所以，得，即，所以，故乙為真命題；故，可知命題丙為真命題；由共線，故可設，即,因為三點共線，故可設，所以，得，即，故命題丁為假命題.綜上，甲乙丙為真命題，丁為假命題.故選：D二、選擇題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上．全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯的得0分．9.已知復數(shù)z，，，是z的共軛復數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合復數(shù)的四則運算，共軛復數(shù)的定義及復數(shù)模長的公式可判斷A；結(jié)合特殊值法可判斷B；結(jié)合復數(shù)模長的性質(zhì)可判斷C；結(jié)合復數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對于A，設，則，故A正確；對于B，令，滿足，故B錯誤；對于C，設，，則，所以，故C正確；對于D，設，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：ACD10.若向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.當時，，的夾角為銳角D.當時，在上的投影向量為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，平行，投影向量的定義，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，得，A正確；B.若，則,得，B正確；C.由B知，當時，，此時夾角不是銳角，C錯誤；D.當時，，，在上的投影向量為，D正確.11.已知中，，，，D在AC上，BD為∠ABC的角平分線，E為BC中點，下列結(jié)論正確的是（）A.的面積為 B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對于A，利用余弦定理求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果，對于B，由中線的性質(zhì)可得，平方化簡可得答案，對于C，在中利用余弦定理求解，對于D，利用兩個三角形面積比分析判斷.【詳解】對于A，在中，，，，則，因，所以，所以，所以A錯誤，對于B，因為E為BC中點，所以，所以，所以，所以B正確，對于D，因為BD為∠ABC的角平分線，所以，所以，所以D錯誤，對于C，因為，所以，在中由余弦定理得，所以，所以C正確，故選：BC12.已知正四棱錐的所有棱長均為，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則以下結(jié)論正確的是（）A.直線平面APDB.異面直線EF、PD所成角的大小為C.直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為D.存在點M使得平面MEF【答案】AC【解析】【分析】利用線面平行的判定定理進行證明可判斷選項A；利用異面直線夾角的定義進行求解可判斷選項B；利用線面角的定義進行求解可判斷選項C；要使存在點M使得平面MEF，需滿足，用反證法說明不成立，即可判斷選項D.【詳解】對于選項A，取PD中點N，連接EN，AN，因為E是PC中點，所以且，又因為四邊形是正方形，F(xiàn)是AB的中點，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于選項B，因為，所以就是異面直線EF、PD所成的角（或其補角）.因為是邊長為的正三角形，點N是PD中點，所以，所以異面直線EF、PD所成角的大小為，故B錯誤；對于選項C，連接交于點，連接，則為四棱錐的高，取中點，連接.又因為點N是PD中點，所以,且，即平面，又因為，所以就是直線EF與平面ABCD所成的角，，所以，在中，，所以.又，所以在中，，即直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為，故C正確；對于選項D，要使存在點M使得平面MEF，需滿足，但與不垂直，所以不存在點M使得平面MEF，下面用反證法證明與不垂直.假設，則，又因為，，，平面，所以平面.又平面，所以，又，平面，所以平面.又平面，所以，而在中，點分別是的中點，所以，矛盾，所以假設不成立，故D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題綜合考查空間中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系和空間角，理解并熟練應用平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及空間角的定義和求法是解決題目的關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填涂在答題卡相應位置．13.______．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式及逆用正弦差角公式得到答案.【詳解】由誘導公式得，所以.故答案為：14.在中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知三角形三邊的關(guān)系判斷三角形為直角三角形，得到向量夾角的余弦值，然后利用向量的數(shù)量積的定義求值即可．【詳解】由的三邊分別為，，，則，所以，得，則，，所以．故答案為：．15.如圖，在棱長為4的正方體中，的中點是P，過直線作與平面平行的截面，則該截面的面積為______．【答案】【解析】【分析】取，的中點分別為，連接，先證明四邊形是平行四邊形，再利用面面平行的判斷定理證明平面平面，可得平行四邊形即為所求的截面，再計算其面積即可.【詳解】取，的中點分別為，連接，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，因為，平面，平面，所以平面，同理可證平面，因為，平面，所以平面平面，因此過點作與平面平行截面，即是平行四邊形，連接，作于點，由，，可得，所以，所以平行四邊形的面積為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是找出過與平面平行的截面，所以想到作平行線，利用面面平行的判斷定理證明所求的截面即是平行四邊形，先求四邊形一半的面積，乘以即可得所求平行四邊形的面積，也可以直接求菱形的面積.16.天文學家設計了一種方案可以測定流星的高度．如圖，將地球看成一個球，半徑為，兩個觀察者在地球上，兩地同時觀察到一顆流星，仰角分別是和（，表示當?shù)氐牡仄骄€），由平面幾何相關(guān)知識，，，，設弧長為，，，則流星高度為______．（流星高度為減去地球半徑，結(jié)果用表示）【答案】【解析】【分析】由扇形的弧長公式求出，解得，在中由正弦定理求出，在中由余弦定理求出即可.【詳解】由題意知，的弧長，所以，因為，所以為等腰直角三角形，所以，所以，在中，，，所以，由正弦定理：，得：，在中，，由余弦定理：，所以，所以流星的高度為：，故答案為：.四、解答題：本大題共6個小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知是復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位）．（1）求復數(shù)；（2）復數(shù)在復平面對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)結(jié)合實數(shù)、純虛數(shù)的概念即可求解.（2）由（1）可知，從而可以化簡，結(jié)合已知即可求出實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】設復數(shù)，實數(shù)，所以，則，所以，因為為純虛數(shù)，所以且，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，,在復平面上對應的點為，又已知在復平面上對應的點在第二象限，所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.18.已知向量，滿足，，且．（1）若，求實數(shù)k的值；（2）求與的夾角．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的垂直的數(shù)量積表示，即可求解；（2）利用向量的數(shù)量積運算律和夾角公式，即可求解.【小問1詳解】因為，，即，解得：，解得：【小問2詳解】，，∴∵，∴19.已知．（1）求的周期；（2）若，其中，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再求函數(shù)的周期；（2）由（1）知，再根據(jù)三角恒等變換，即可化簡求值.【小問1詳解】

所以的周期為.【小問2詳解】，∴，由得，由，得，∴，∴

.20.如圖，在中，，，，P為內(nèi)一點，．（1）若，求PA的長；（2）若，求PA的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，，中由余弦定理即可求得；（2）設，利用正弦定理表示出，即可化簡求.【小問1詳解】由已知得，，，∴，在中，由余弦定理得，∴；【小問2詳解】設，由已知得，，在中，由正弦定理得，化簡得，，又由，，得所以.21.如圖，四棱錐中，底面，底面為菱形，且有，，，為中點．（1）證明：面；（2）求二面角的平面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)，可判斷，結(jié)合線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)二面角的定義，找出二面角的平面角，利用三角形的邊角關(guān)系進行求解即可.【小問1詳解】證明：設與交于點，連接，因為，分別為，的中點，所以，又因為底面，且、底面，所以，，又因為，所以，，，所以底面，又四邊形為菱形，所以，則，，且，，平面，所以平面；【小問2詳解】過作于，連接，由（1）知底面，且、底面，所以，，又，、平面，所以平面，又平面，所以，即為二面角的平面角，因為底面為菱形，，，所以是邊長為1的等邊三角形，則，，又，則，在直角三角形中，，則，所以，故所求二面角的正弦值為．22.如圖，已知是邊長為2的正三角形，點在邊上，且，點為線段上一點．（1）若，求實數(shù)的值；（2）求的最小值；（3）求周長的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形，利用平面向量基本定理，以及向量的線性運算，即可求解；（2）首先用基底向量表示向量和，再結(jié)合數(shù)量積的運算律表示為函數(shù)求最值問題，即可求解；（3）首先在△QPC中，設，，，再根據(jù)正弦定理，利用三角函數(shù)表示的周長，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換以及函數(shù)