高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如東縣2024屆高三上學(xué)期期初學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且，所?故選：C2.已知向量，滿足，，，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得：，解得，所以.故選：A.3.已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出函數(shù)圖象，如下圖所示：易知，；若時(shí)的值域是，由圖可知.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，.故選：C5.設(shè)，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，又由，解得，所以，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以集合真包含于，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，滿足題意；時(shí)，，滿足題意；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A.6.已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意方程成立，故，所以，故，所以切線方程為，即.故選：B7.已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，將它沿中線折起得四面體，使得此時(shí)，則四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榈冗吶切?，且為中線，則，即，且平面，可得平面，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，因?yàn)?，由余弦定理可得，且，則，所以，將四面體轉(zhuǎn)化為直三棱柱，四面體的外接球即為直三棱柱的外接球，設(shè)四面體的外接球的球心為，半徑為，則，則，所以四面體的外接球表面積為.故選：D.8.若，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，恒成立，所以在上恒成立，令，，則，所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以.故選：A.二、選擇題9.已知是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A.B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.將函數(shù)的圖像向右平移單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，故，解得，又，故，解得，又，故，所以，A正確；B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，由于的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，由于在的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故在區(qū)間的最小值是，D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)A，因?yàn)?，則，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故B正確；對(duì)C，，即，當(dāng)時(shí)顯然不合題意，故，則，則或（舍去），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，此時(shí)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，令，由A知，則，則當(dāng)，，此時(shí)，故D正確.故選：BD.11.已知銳角的三邊長(zhǎng)分別是，，，若，則可以取到（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，又因?yàn)?，則，整理得，則，由，則，所以，即，則，由題意可得，解得，令，則，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞增，且，所以，且，即A錯(cuò)誤，B、C、D正確.故選：BCD.12.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為，則（）A.點(diǎn)可以是側(cè)面的中心 B.是菱形C.線段的最大值為 D.的面積是〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，所以，設(shè)，則，對(duì)于A中，當(dāng)點(diǎn)可以是側(cè)面的中心，可得，此時(shí)，可得，所以，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，取，連接，則，所以四邊形為矩形，則，即，又和為平面中的兩條相交直線，所以平面，又由，即，所以為的中點(diǎn)，則平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，又由，所以，則點(diǎn)的軌跡為矩形，不是菱形，所以B錯(cuò)誤；所以矩形的面積，所以D正確，因?yàn)?，所以的最大值為，所以C正確.故選：ACD.三、填空題13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件的函數(shù)〖解析〗式______.①；②.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由①；②知，該函數(shù)為周期是8的偶函數(shù)，取，所以，又，滿足②，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.14.中，，，，的角平分線交于，則______.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，，由角平分線可知：，在中，由正弦定理，所以，所以.故〖答案〗為：.15.一個(gè)動(dòng)力船拖動(dòng)載重量相等的小船若干只，在兩個(gè)港口之間來(lái)回運(yùn)貨.若拖4只小船，則每天能往返16次；若拖7只小船，則每天能往返10次.已知增加的小船只數(shù)與相應(yīng)減少的往返次數(shù)成正比例.為使得每天運(yùn)貨總量最大，則每次拖______只小船.〖答案〗6〖解析〗設(shè)每日每次拖只小船，每日來(lái)回次，每只小船的載重量為，每日的運(yùn)貨總重量為，由題意設(shè)，則，解得，所以，所以每日運(yùn)貨總重量為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即每次拖6只小船，故〖答案〗為：6.16.如圖，在四面體中，，，，分別是的中點(diǎn)若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為______.〖答案〗〖解析〗如圖所示，將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)寬高分別為、、的長(zhǎng)方體，由于平面，故截面為平行四邊形，由平面幾何的平行線段成比例可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，解得，所以平行四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào)，故〖答案〗為．四、解答題17.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，求.解：（1）在中，由正弦定理，得.因?yàn)?，所以，所以，?又因?yàn)椋?，所?又因，所以.（2）因?yàn)?，，所?又因?yàn)椋裕?所以.18.在正四棱錐中，已知，，，.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.（1）證明：連接交于，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，可得，，，，則，，，所以，，方法一：設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，則，因?yàn)椋?，又因平面，所以平?方法二：因?yàn)?，，則.可得，所以，，共面，且平面，所以平面.（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，則平面平面，所以二面角的大小是.19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，.令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，所以.設(shè)，則，令得，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以命題得證.20.勞動(dòng)教育是中國(guó)特色社會(huì)主義教育制度的重要內(nèi)容，對(duì)于培養(yǎng)社會(huì)主義建設(shè)者和接班人具有重要戰(zhàn)略意義.為了使學(xué)生熟練掌握一定勞動(dòng)技能，理解勞動(dòng)創(chuàng)造價(jià)值，某普通高中組織學(xué)生到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某學(xué)生欲將一個(gè)底面半徑為20cm，高為40cm的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).（1）求該圓柱的側(cè)面積的最大值；（2）求該圓柱的體積的最大值.解：（1）設(shè)該圓柱的底面半徑為，高為.由平面幾何知識(shí)知，所以，即.因?yàn)?，所?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該圓柱的側(cè)面積的最大值是.（2）設(shè)圓柱的體積為，因?yàn)?，所以，令得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.21.內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，其面積為，為的中點(diǎn)，且.（1）若，求；（2）若，求的周長(zhǎng).解：（1）在中，作邊上的高.因，，所以，.因?yàn)槊娣e為，所以，所以.在中，，，所以.在中，，，所以因?yàn)?，，所以，?）因?yàn)?，，，所?因?yàn)?，所以，即，所?又因?yàn)槊娣e為，所以，所以.因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，，所以的周長(zhǎng)是.22.已知是函數(shù)的極值點(diǎn).（1）求的極值；（2）證明：過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線.（1）解：因?yàn)椋?因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以.即，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，