專題2.19等邊三角形的軸對(duì)稱性（直通中考）【要點(diǎn)回顧】【知識(shí)點(diǎn)一】等邊三角形的定義三邊都相等的三角形叫等邊三角形.【知識(shí)點(diǎn)二】等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.【知識(shí)點(diǎn)三】等邊三角形的判定（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．【知識(shí)點(diǎn)三】含30°的直角三角形

在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.一、單選題1．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為，則底邊上的高是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在和中，．已知，則（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（

）

A． B． C． D．4．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，，則等于（

）A． B． C． D．5．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，為等邊三角形，則等于（

）A． B． C． D．6．（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（

）A．1 B． C． D．7．（2018·福建·中考真題）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．9．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，等邊三角形的頂點(diǎn)在直線上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（2017·湖南常德·中考真題）如圖，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是線段AE上的一動(dòng)點(diǎn)，過D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，則CD長度的取值范圍是．二、填空題11．（2020·遼寧阜新·中考真題）如圖，直線a，b過等邊三角形頂點(diǎn)A和C，且，，則的度數(shù)為．12．（2020·遼寧·中考真題）如圖，以為邊，在的同側(cè)分別作正五邊形和等邊，連接，則的度數(shù)是．13．（2020·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為．14．（2020·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若是等邊三角形，則°．15．（2016·廣西賀州·中考真題）如圖，在△ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為．16．（2013·廣西貴港·中考真題）如圖，△ABC和△FPQ均是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB邊上，連接EF、QE．若AB=6，PB=1，則QE=．17．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．點(diǎn)，分別在邊，上，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)剛好落在邊上，，則的長為．

三、解答題18．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，△是等邊三角形，在直線上，．求證：．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的中線，以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于，連接．求證：．

20．（2021·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知和都為正三角形，點(diǎn)B，C，D在同一直線上，請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，作的中線；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，作的中線．21．（2012·貴州遵義·中考真題）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請(qǐng)說明理由．22．（2020·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．

（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．23．（2020·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．24．（2022·青?！そy(tǒng)考中考真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；

圖1（2）解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖2參考答案1．B【分析】作于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)D，

中,，，，，，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．2．C【分析】過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過A作于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，∵，∴，當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，∴，∴；當(dāng)在點(diǎn)D的兩側(cè)，在點(diǎn)的同側(cè)時(shí)，如圖，

∵，，∴，∴，即；綜上，的值為或．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，∵∴∵∴∵∴∵∴

故選：C．

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可得．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，解得，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB=BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根據(jù)角的和差關(guān)系可得出∠FBC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BFC的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解】∵是正五邊形，∴∠ABC==108°，AB=BC，∵為等邊三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，∴∠BFC==66°，∴=∠AFB+∠BFC=126°，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查多邊形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個(gè)小三角形是全等三角形,即可判斷一個(gè)的面積是．【詳解】∵分別是，，的中點(diǎn),且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等,關(guān)鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì)．7．A【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進(jìn)而求出∠ECB=45°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分線，∵點(diǎn)E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，故選A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出∠ECB是解本題的關(guān)鍵．8．C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：∵是等邊的邊上的高，∴，∵，∴，故選C【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．A【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠3＝80°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°?40°?60°＝80°，∵，∴∠1＝∠3＝80°．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．也考查了平行線的性質(zhì)．10．0＜CD≤5．【分析】分點(diǎn)D與點(diǎn)E重合、點(diǎn)D與點(diǎn)A重合兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)E重合時(shí)，CD=0，此時(shí)∠CDE=30°不成立，(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠E=30°，∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B，∴CE=CD，CD=CB，∴CD=BE=5，∴0＜CD≤5，故答案為：0＜CD≤5．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．11．102°【分析】根據(jù)題意可求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出答案．【詳解】三角形ABC為等邊三角形故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．66°【分析】由是正五邊形可得AB=AE以及∠EAB的度數(shù)，由△ABF是等邊三角形可得AB=AF以及∠FAB的度數(shù)，進(jìn)而可得AE=AF以及∠EAF的度數(shù)，進(jìn)一步即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出答案．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴AB=AE，∠EAB=108°，∵△ABF是等邊三角形，∴AB=AF，∠FAB=60°，∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，∴∠EFA=．故答案為：66°．【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形的內(nèi)角問題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．14．30【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC=60°，從而可得∠B.【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案為：30.【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF.15．120°【分析】先證明△DCB≌△ACE，再利用“8字型”證明∠AOH=∠DCH=60°即可解決問題．【詳解】解：如圖：AC與BD交于點(diǎn)H．∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案為：120°【點(diǎn)撥】本題考查（1）全等三角形的判定與性質(zhì)；（2）等邊三角形的性質(zhì).16．2【詳解】解：如圖，連接FD，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=6，∠A=60°．∵點(diǎn)D、E、F分別是等邊△ABC三邊的中點(diǎn)，AB=6，PB=1，∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF為△ABC的中位線．∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF為等邊三角形．∴∠FDA=60°，∴∠1+∠3=60°．∵△PQF為等邊三角形，∴∠2+∠3=60°，F(xiàn)P=FQ．∴∠1=∠2．∵在△FDP和△FEQ中，F(xiàn)P=FQ，∠1=∠2，F(xiàn)D=FE，∴△FDP≌△FEQ（SAS）．∴DF=QE．∵DF=2，∴QE=2故答案為：2．17．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．詳見解析【分析】由等邊三角形的性質(zhì)以及題設(shè)條件，可證△ADB≌△AEC，由全等三角形的性質(zhì)可得．【詳解】證明：∵△是等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、補(bǔ)角的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，但是整體難度不大．19．見解析【分析】利用三線合一和等腰三角形的性質(zhì)，證出，再利用等邊對(duì)等角即可．【詳解】證明：為等邊的中線，

，，，【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解記憶相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）圖見解析；（2）圖見解析．【分析】（1）連接，交于點(diǎn)即可；（2）先延長，相交于點(diǎn)，再連接，相交于點(diǎn)，然后連接，交于點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，則即為所求．（2）分以下三步：①延長，相交于點(diǎn)，②連接，相交于點(diǎn)，③連接，交于點(diǎn)，則即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了利用等邊三角形的性質(zhì)作圖、利用線段垂直平分線的判定與性質(zhì)作圖等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（1）2（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．理由見解析【詳解】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°．∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°．設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x．∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2．∴當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，AP=2．（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．理由如下：作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF．∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°．∵點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°．∴在△APE和△BQF中，∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）．∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF．∴四邊形PEQF是平行四邊形．∴DE=EF．∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB．又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE=3．∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可．（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．22．（1）證明見解析；（2）不變；60°；（3）不變；120°．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，可得BQ=AP，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMP的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得的度數(shù)；（3）先證出，可得∠Q=∠P，再由對(duì)頂角相等，進(jìn)而得出∠QMC=∠CBP=120°．【詳解】解：（1）證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，∴BQ=AP，在△ABQ與△CAB中，∴．（2）角度不變，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為60°．（3）角度不變，120°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為120°．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）FC＝CD+CE，見解析【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易證△CEH是等邊三角形，得出EH＝EC＝CH，證明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出結(jié)論；（2）過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)易證∠GDC＝∠DGC＝60°