專題50中考數(shù)學(xué)新定義型試題解法1.新定義問題所謂“新定義”試題指給出一個(gè)從未接觸過的新規(guī)定，要求現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，“給什么，用什么”是應(yīng)用新“定義”解題的基本思路．這類試題的特點(diǎn)：源于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容但又是學(xué)生沒有遇到過的新信息,它可以是新的概念、新的運(yùn)算、新的符號(hào)、新的圖形、新的定理或新的操作規(guī)則與程序等等.在解決它們過程中又可產(chǎn)生了許多新方法、新觀念，增強(qiáng)了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．2.新定義問題類型主要包括以下幾種類型：（1）概念的“新定義”；（2）運(yùn)算的“新定義”；（3）規(guī)則的“新定義”；（4）實(shí)驗(yàn)操作的“新定義”；（5）幾何圖形的新定義．3.新定義問題解題策略“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點(diǎn)：一是掌握問題原型的特點(diǎn)及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移?！纠}1】（2020?河南）定義運(yùn)算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．則方程1☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a的取值范圍是．（2）如果[]=3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．【例題2】（2021廣東深圳模擬）定義新運(yùn)算：a※b=，則函數(shù)y=3※x的圖象大致是()A． B．C． D．※【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020甘肅蘭州模擬）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：（1）sad60°=.（2）對(duì)于0°<A<180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是.（3）如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值.AAABCCB圖①圖②【例題3】（2020?咸寧）定義：有一組對(duì)角互余的四邊形叫做對(duì)余四邊形．理解：（1）若四邊形ABCD是對(duì)余四邊形，則∠A與∠C的度數(shù)之和為；證明：（2）如圖1，MN是⊙O的直徑，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于點(diǎn)D．求證：四邊形ABCD是對(duì)余四邊形；探究：（3）如圖2，在對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究線段AD，CD和BD之間有有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說(shuō)明理由．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020廣東佛山模擬）閱讀材料我們經(jīng)常通過認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的局部或其特殊類型，來(lái)逐步認(rèn)識(shí)這個(gè)事物；比如我們通過學(xué)習(xí)兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形（繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等）來(lái)逐步認(rèn)識(shí)四邊形；我們對(duì)課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí)，一般先學(xué)習(xí)圖形的定義，再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法，然后通過解決簡(jiǎn)單的問題鞏固所學(xué)知識(shí)；請(qǐng)解決以下問題：如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”；（1）寫出箏形的兩個(gè)性質(zhì)（定義除外）；（2）寫出箏形的兩個(gè)判定方法（定義除外），并選出一個(gè)進(jìn)行證明．一、選擇題1.（2019?湖南岳陽(yáng)?）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量x取a時(shí)，函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．如果二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1.x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是（）A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1二、填空題2.（2020山東棗莊模擬）定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，－1的差倒數(shù)是．已知a1＝－，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，依此類推，a2009＝．3.（2020畢節(jié)地區(qū)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么6*（5*4）=．4.（2020重慶江津區(qū)）我們定義，例如QUOTE=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均為整數(shù)，且滿足1＜QUOTE＜3，則x+y的值是．5．（2021浙江臺(tái)州模擬）定義一種新運(yùn)算：a※b＝，則2※3﹣4※3的值______．6．（2021湖北隨州模擬）對(duì)于定義一種新運(yùn)算“☆”，，其中是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，則的值為____．7．（2021山東樂陵模擬）對(duì)于、定義一種新運(yùn)算“*”：，其中、為常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法的運(yùn)算．已知：，，那么_______．8.（2019?湖北十堰）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，則m＝．9.定義一種新運(yùn)算：x*y=，如2*1==2，則（4*2）*（﹣1）=．10．（2019湖南常德）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標(biāo)分別為（0，1），（0，﹣1），P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，PQ垂直直線y＝﹣1于點(diǎn)Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是．（填序號(hào)）11．閱讀材料：設(shè)＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，則x1?y2＝x2?y1，根據(jù)該材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，則m＝．三、解答題12．（2021河北石家莊模擬）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，、，都有，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：（1）求，求的值；（2）若的值小于10，請(qǐng)判斷方程：的根的情況．13．（2020?遂寧）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y＝2x2﹣3x+1的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，小明是這樣思考的，由函數(shù)y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根據(jù)a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．請(qǐng)思考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y＝x2﹣4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)．（2）若函數(shù)y＝5x2+（m﹣1）x+n與y＝﹣5x2﹣nx﹣3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求（m+n）2020的值．（3）已知函數(shù)y＝2（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1、B1、C1，試求證：經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與y＝2（x﹣1）（x+3）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．14.（2020年浙江寧波）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．[來(lái)源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)Z。X。X。K][來(lái)源:Zxxk.Com][來(lái)源:Z#xx#k.Com][來(lái)源:Z|xx|k.Com][來(lái)源:學(xué)_科_網(wǎng)]15．（2020?連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y=12x2-32x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)Q是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于其對(duì)稱軸的右側(cè)．若△DPQ與△ABC相似，求其“共根拋物線”L2的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．16.（2019重慶）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了偶數(shù)、奇數(shù)、合數(shù)、質(zhì)數(shù)等.現(xiàn)在我們來(lái)研究一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”.定義：對(duì)于自然數(shù)n，在通過列豎式進(jìn)行n+(n+1)+(n+2)的運(yùn)算時(shí)各位都不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”.例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)?2+33+34在列豎式計(jì)算時(shí)各位都不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“純數(shù)”，因?yàn)?3+24+25在列豎式計(jì)算時(shí)個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位.（1）請(qǐng)直接寫出1949到2019之間的“純數(shù)”；（2）求出不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.17．（2019湖北咸寧）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）如圖1，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補(bǔ)四邊形；探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請(qǐng)說(shuō)明理由．運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CD＝10，AF＝5，求DF的長(zhǎng)．18.如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點(diǎn)P′在射線OP上，滿足OP′?OP=r2，則稱點(diǎn)P′是點(diǎn)P關(guān)于⊙O的“反演點(diǎn)”，如圖2，⊙O的半徑為4，點(diǎn)B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點(diǎn)A′、B′分別是點(diǎn)A，B關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)，求A′B′的長(zhǎng).19．（2019江蘇常熟）已知平面圖形S，點(diǎn)P、Q是S上任意兩點(diǎn)，我們把線段PQ的長(zhǎng)度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對(duì)角線的長(zhǎng)度．（1）寫出下列圖形的寬距：①半徑為1的圓：；②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．①若d＝2，用直尺和圓規(guī)畫出點(diǎn)C所在的區(qū)域并求它的面積（所在區(qū)域用陰影表示）；②若點(diǎn)C在⊙M上運(yùn)動(dòng)，⊙M的半徑為1，圓心M在過點(diǎn)（0，2）且與y軸垂直的直線上．對(duì)于⊙M上任意點(diǎn)C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．20．（2020湖北隨州模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y＝ax－a為拋物線y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系xO