因式分解的應(yīng)用對一個數(shù)學問題，改變它的形式，換一種表達方式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是解題的一個重要原那么。———玻利亞知識縱橫在一定的條件下，把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱為代數(shù)式的恒等變形，是研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的根底．因式分解是代數(shù)變形的重要工具，在后續(xù)的學習中，因式分解是學習分式、一元二次方程等知識的根底，現(xiàn)階段，因式分解在數(shù)值計算、代數(shù)式的化簡求值、不定方程(組)、代數(shù)等式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用．同時，通過因式分解的訓練和應(yīng)用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高,因此，有人說因式分解是學好代數(shù)的根底之一．許多多項式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：1．；2．；3．；4．；5．；6．．例題求解【例1】假設(shè)，那么x+y的值為______(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)思路點撥:恰當處理兩個等式，分解關(guān)于x+y的二次三項式．【例2】a、b、c是一個三角形的三邊，那么的值()．A．恒正B．恒負C．可正可負D．非負(太原市競賽題)思路點撥：從變形給定的代數(shù)式人手，解題的關(guān)鍵是由式子的特點聯(lián)想到熟悉的結(jié)果，注意幾何定理的約束．【例3】計算以下各題：(1)(2)(3)(第9屆“華杯賽〞試題)思路點撥：觀察分子、分母數(shù)字間的特點，用字母表示數(shù)，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復雜數(shù)值下隱含的規(guī)律．對于(3)，運用的結(jié)果．【例4】n是正整數(shù)，且是質(zhì)數(shù)，求n的值·(第13屆“希望杯〞邀請賽試題)思路點撥：從因數(shù)分解的角度看，質(zhì)數(shù)只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進行恰當?shù)姆纸庾冃?，是解本例的最自然的思路·【?】(1)求方程6xy+4x-9y-7=0的整數(shù)解；(上海市競賽題)(2)設(shè)x、y為正整數(shù)，且，求xy的值·(第14屆“希望杯〞邀請賽試題)思路點撥:觀察方程的特點，利用整數(shù)解這個特殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口。根底夯實1．多項式可分解為兩個一次因式的積，整數(shù)P的值是______(寫出一個即可)．(2005年湖北省荊門市中考題)2．在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼有一種用“因式分解〞法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對于多項式，因式分解的結(jié)果是，假設(shè)取x=9，y=9時，那么各個因式的值是：(x-y)=0，(x+y)=18，，于是就可以把“018162’’作為一個六位數(shù)的密碼．對于多項式，取x=10,y=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：__________(寫出一個即可)．(2005年浙江省中考題)3．a(chǎn)、b、c、d為非負整數(shù)，且ac+bd+ad+bc=1997,那么a+b+c+d=___________.4．對一切大于2的正整數(shù)n，數(shù)的最大公約數(shù)是__________.(四川省競賽題)5．，那么的值為()·A．0B．1C．-1D．2004(2004年重慶市競賽題)6．假設(shè)a、b、c為三角形的三邊，那么以下關(guān)系式中正確的選項是()．A．B．C．D．7．a(chǎn)、b、c是正整數(shù)，a>b，且，那么a-c等于()·A．一lB．一1或7C．1D．1或7(第17屆江蘇省競賽題)8．設(shè),那么a、b的大小關(guān)系是()．A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)=bC．a(chǎn)<bD．無法確定．(中學生智能通訊賽試題)9．(1)求證：能被45整除；(2)證明：當n為自然數(shù)時，2(2n+1)形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差;(3)計算：、(江蘇省競賽題)1()．假設(shè)a是自然數(shù)，那么是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？給出你的證明〔“五城市〞聯(lián)賽題)能力拓展11．a(chǎn)、b、c為△ABC的三邊，且,那么△ABC的形狀為_________.13．對于一個正整數(shù)n，如果能找到正整數(shù)a、b，使得n=a+b+ab，那么稱n為一個“好數(shù)〞，例如3=1+1+1×1，3就是一個“好數(shù)〞，那么，在1～20這20個正整數(shù)中，好數(shù)有______個。13．整數(shù)a、b滿足6ab=9a－10b＋303，那么a＋b=________，〔“祖沖之杯〞邀請賽試題)14．，且2a－3b=1，那么的值等于_______.〔第十四屆“希望杯〞邀請賽試題〕15．假設(shè)能被整除，那么a：b的值是()A．-2B．－12C．6D．16．假設(shè)，那么的值等于〔〕A．0B．－1C．1D．3(第14屆“希望杯〞l7．兩個不同的質(zhì)數(shù)p、q滿足以下關(guān)系：，m是適當?shù)恼麛?shù)，那么p2＋q2的數(shù)值是()A．4004006B．3996005C．3996003D18．，那么與A最接近的正整數(shù)是()．A．18B．20C．24D．〔2005年“CASIO杯〞全國初中數(shù)學競賽題)19．求證：存在無窮多個自然數(shù)k，使得不是質(zhì)數(shù)。20．某校在向“希望工程〞捐款活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數(shù)與乙班的9個男生和n個女生的捐款總數(shù)相等，都是〔mn+9m+11n+145〕元，每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)，求每人的捐款數(shù)。(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)綜合創(chuàng)新21．證明：1999×2000×2001×2003×2004×2005+36是一個完全平方數(shù)．(2005年俄羅斯薩溫市競賽題)22．按下面規(guī)那么擴充新數(shù)：已有兩數(shù)a、b，可按規(guī)那么c=ab+a+b擴充一個新數(shù)，