專題2.23二次函數(shù)與一元二次方程（知識講解1）【學(xué)習(xí)目標】會用圖像法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；會求拋物線與x軸交點的坐標，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；經(jīng)歷探索驗證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會用函數(shù)的觀點去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．【要點梳理】要點一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖像與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況

求二次函數(shù)(a≠0)的圖像與x軸的交點坐標，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個數(shù)決定了拋物線與x軸的交點的個數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖像與x軸的交點坐標根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點，且，此時稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點，此時稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點，此時稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實數(shù)根）特別說明：

二次函數(shù)圖像與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定的.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸沒有交點時，，方程沒有實根.

2.拋物線與直線的交點問題拋物線與x軸的兩個交點的問題實質(zhì)就是拋物線與直線的交點問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點個數(shù)由方程組的解的個數(shù)決定．當(dāng)方程組有兩組不同的解時兩函數(shù)圖像有兩個交點；當(dāng)方程組有兩組相同的解時兩函數(shù)圖像只有一個交點；當(dāng)方程組無解時兩函數(shù)圖像沒有交點．總之，探究直線與拋物線的交點的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．特別說明：求兩函數(shù)圖像交點的問題主要運用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點問題．要點二、利用二次函數(shù)圖像求一元二次方程的近似解

用圖像法解一元二次方程的步驟：

1.作二次函數(shù)的圖像，由圖像確定交點個數(shù)，即方程解的個數(shù)；

2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點的橫坐標的大致范圍；

3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計算器進行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．

4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．

特別說明：

求一元二次方程的近似解的方法（圖像法）：

(1)直接作出函數(shù)的圖像，則圖像與x軸交點的橫坐標就是方程的根；

(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺讼抵挟嫵鰭佄锞€和直線圖像交點的橫坐標就是方程的根；

(3)將方程化為，移項后得，設(shè)和，在同一坐標系中畫出拋物線和直線的圖像，圖像交點的橫坐標即為方程的根.要點三、拋物線與x軸的兩個交點之間的距離公式當(dāng)△＞0時，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，．∴即（△＞0）要點四、拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解注：a＜0的情況請同學(xué)們自己完成．特別說明：拋物線在x軸上方的部分點的縱坐標都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標都為負，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果帶有等號，其解集也相應(yīng)帶有等號．【典型例題】 1．已知二次函數(shù)y=﹣2x2+5x﹣2．（1）寫出該函數(shù)的對稱軸，頂點坐標；（2）求該函數(shù)與坐標軸的交點坐標．【答案】（1）拋物線的對稱軸x=，頂點坐標為（，）；（2）拋物線交y軸于（0，﹣2），交x軸于（2，0）或（，0）．【分析】（1）把二次函數(shù)y=-2x2+5x-2化為頂點式的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出答案即可；（2）令x=0可求圖像與y軸的交點坐標，令y=0可求圖像與x軸的交點坐標；解：（1）∵y=﹣2（x2﹣x+﹣）﹣2=﹣2（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸x=，頂點坐標為（，）．（2）對于拋物線y=﹣2x2+5x﹣2，令x=0，得到y(tǒng)=﹣2，令y=0，得到﹣2x2+5x﹣2=0，解得x=2或，∴拋物線交y軸于（0，﹣2），交x軸于（2，0）或（，0）．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)的圖像以為頂點，且過點．（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖像與軸的交點坐標．【答案】(1);(2),【分析】（1）由頂點,可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為.根據(jù)二次函數(shù)的圖像過點,利用頂點式即可求解；（2））令,解方程,問題得解.解：（1）由頂點,可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為.二次函數(shù)的圖像過點,點滿足二次函數(shù)關(guān)系式,,解得.二次函數(shù)的關(guān)系式是.（2）令,則,解得:,,此圖像與軸的交點坐標是,.【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求拋物線與x軸的交點坐標，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】已知二次函數(shù)的圖像以A（﹣1，4）為頂點，且過點B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關(guān)系式；（2）求該函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖像向右平移，當(dāng)圖像經(jīng)過原點時，A、B兩點隨圖像移至A′、B′，求△OA′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線與y軸的交點為：（0，3）；與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）；（3）15.【分析】（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將B點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；令y=0，可求得拋物線與x軸交點坐標；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．解：（1）設(shè)拋物線頂點式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點為：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）；（3）設(shè)拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側(cè)），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），當(dāng)函數(shù)圖像向右平移經(jīng)過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【點撥】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖像與坐標軸交點、圖形面積的求法等知識．熟練掌握待定系數(shù)法、函數(shù)圖像與坐標軸的交點的求解方法、不規(guī)則圖形的面積的求解方法等是解題的關(guān)鍵.【變式3】如圖，拋物線y=﹣x2﹣x+4與x軸交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A，點B的坐標；（2）P為第二象限拋物線上的一個動點，求△ACP面積的最大值．【答案】(1)A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面積是4.【分析】（1）令y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程﹣x2﹣x+4=0，解此方程即可求得結(jié)果；（2）先求出直線AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，設(shè)P（t，﹣t2﹣t+4），可表示出D點坐標，于是線段PD可用含t的代數(shù)式表示，所以S△ACP=PD×OA=PD×4=2PD，可得S△ACP關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，繼而可求出△ACP面積的最大值．(1)解：設(shè)y=0，則0=﹣x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D設(shè)AC解析式y(tǒng)=kx+b∴解得：∴AC解析式為y=x+4.設(shè)P（t，﹣t2﹣t+4）則D（t，t+4）∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4∴當(dāng)t=﹣2時，△ACP最大面積4.【點撥】本題是二次函數(shù)的綜合題，重在基礎(chǔ)知識的考查，其中第（2）題是一個常見的二次函數(shù)模型，解決此類題的思路（以本題為例）是作PD⊥AO交AC于D，△ACP的面積可以表示成PD×OA，其中OA是定值，P、D兩點有相同的橫坐標，所以PD的長可用它們的橫坐標的關(guān)系式來表示，這樣△ACP的面積就表示成了P點橫坐標的二次函數(shù)，再用二次函數(shù)求最值的方法求解即可.2．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖像如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）．（1）求出b，c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖像，寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍．【答案】（1）b=2，c=3，y=-x+2x+3；（2）【分析】（1）把拋物線上的兩點代入解析式，解方程組可求b、c的值；（2）令y=0，求拋物線與x軸的兩交點坐標，觀察圖像，求y＞0時，x的取值范圍．解：（1）將點（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得解得．∴（2）當(dāng)y=0時，解方程，得，又∵拋物線開口向下，∴當(dāng)-1＜x＜3時，y＞0．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線與x軸的交點，開口方向，可求y＞0時，自變量x的取值范圍．舉一反三：【變式1】（1）已知是y關(guān)于x的二次函數(shù)．求m的值；（2）如圖，二次函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像交于點及點①求二次函數(shù)的解析式及B的坐標②根據(jù)圖像，直按寫出滿足的x的取值范圍【答案】（1）；（2）①二次函數(shù)的解析式是，點B的坐標是（4，3）；②【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義可得，進一步即可求出結(jié)果；（2）①把點代入即可求出m，進而可得二次函數(shù)的解析式，把點B坐標代入拋物線的解析式可得關(guān)于n的方程，解方程即可求出n，進一步可得點B坐標；②所求結(jié)果即為直線比拋物線高的部分圖像對應(yīng)的x的取值范圍，據(jù)此解答即可．解：（1）由題意得：，解得：；（2）①把點代入，得，解得：，∴二次函數(shù)的解析式是，當(dāng)y=3時，，解得：n=0（舍去）或n=4，∴點B的坐標是（4，3）；②由圖像可得：滿足的x的取值范圍是：．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、兩個函數(shù)的交點、一元二次方程的解法和二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知函數(shù).（1）該函數(shù)圖像與x軸有幾個交點？請作圖驗證；（2）試說明一元二次方程的根與函數(shù)的圖像的關(guān)系，并把方程的根在圖像上表示出來；（3）x為何值時，函數(shù)y的值為9？【答案】（1）只有一個交點；（2）方程的根是二次函數(shù)的圖像與直線的兩個交點的橫坐標；（3）當(dāng)或時，函數(shù)y的值為9.【分析】（1）令y=0，求出△，解方程即可；

（2）方程的根是二次函數(shù)的圖像與直線的兩個交點的橫坐標；

（3）令y=9，解方程即可．解：（1）只有一個交點，如圖.（2）方程的根是二次函數(shù)的圖像與直線的兩個交點的橫坐標，如圖所示.（3）解方程，得，.故當(dāng)或時，函數(shù)y的值為9.【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，正確理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式3】已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖像如圖所示，它與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3）．（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖像，直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時，自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)﹣1≤x≤2時，求y的取值范圍．【答案】（1）b＝2，c＝3，y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣1＜x＜3；（3）0≤y≤4【分析】（1）由二次函數(shù)圖像與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3），分別把橫坐標和縱坐標代入二次函數(shù)解析式，得到關(guān)于b與c的方程組，求出方程組的解得到b與c的值，進而確定出二次函數(shù)的解析式；（2）令二次函數(shù)解析式中的y＝0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即為二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，根據(jù)圖像可得出y大于0時x的范圍；（3）當(dāng)﹣1≤x≤2時，y在x＝﹣1和頂點處取得最小和最大值，即可求解．解：（1）∵二次函數(shù)圖像與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），與y軸的交點坐標為（0，3），∴x＝﹣1，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得：﹣1﹣b+c＝0①，把x＝0，y＝3代入y＝﹣x2+bx+c得：c＝3，把c＝3代入①，解得b＝2，則二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）令二次函數(shù)解析式中的y＝0得：﹣x2+2x+3＝0，可化為：（x﹣3）（x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，由函數(shù)圖像可知：當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0；（3）由拋物線的表達式知，拋物線的對稱軸為直線x＝1，當(dāng)﹣1≤x≤2時，y在x＝﹣1和頂點處取得最小和最大值，當(dāng)x＝﹣1時，y＝0，當(dāng)x＝1時，y＝﹣x2+2x+3＝4，故當(dāng)﹣1≤x≤2時，求y的取值范圍0≤y≤4．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及到拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的圖像；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3、已知二次函數(shù)y＝x2－6x+8.求：（1）拋物線與x軸和y軸相交的交點坐標；（2）拋物線的頂點坐標；（3）畫出此拋物線圖像，利用圖像回答下列問題：①方程x2－6x＋8＝0的解是什么？②x取什么值時，函數(shù)值大于0？③x取什么值時，函數(shù)值小于0？【答案】（1）（2,0），（4,0），（0，8）（2）（3，－1）（3）①x1＝2，x2＝4②x＜2或x＞4③2＜x＜4【分析】（1）分別令x=0，y=0即可求得交點坐標．（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點坐標形勢，即可得頂點坐標．（3）①根據(jù)圖像與x軸交點可知方程的解；②③根據(jù)圖像即可得知x的范圍．解：（1）由題意，令y=0，得x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4．所以拋物線與x軸交點為（2，0）和（4，0），令x=0，y=8．所以拋物線與y軸交點為（0，8），（2）拋物線解析式可化為：y=x2-6x+8=（x-3）2-1，所以拋物線的頂點坐標為（3，-1），（3）如圖所示．①由圖像知，x2-6x+8=0的解為x1=2，x2=4．②當(dāng)x＜2或x＞4時，函數(shù)值大于0；③當(dāng)2＜x＜4時，函數(shù)值小于0；【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征及函數(shù)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題型．舉一反三：【變式1】可以用如下方法估計方程的解：當(dāng)x=2時，=-2<0，當(dāng)x=-5時，=5>0，所以方程有一個根在-5和2之間．（1）參考上面的方法，找到方程的另一個根在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間；（2）若方程有一個根在0和1之間，求c的取值范圍．【答案】（1）方程另一個根在2和3之間；（2）-3<c<0.【解析】【分析】（1）分別計算出x=2和x=3時x2+2x-10的值即可得出答案；（2）根據(jù)方程x2+2x+c=0有一個根在0和1之間知或，解之可得．解：（1）∵當(dāng)x=2時，=-2<0，當(dāng)x=3時，=5>0，∴方程另一個根在2和3之間．∵方程有一個根在0和1之間，∴或解得．【點撥】本題主要考查估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是理解題意，并熟練掌握近似解的估算辦法．【變式2】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣10123…y…﹣1﹣﹣2﹣…根據(jù)表格中的信息，完成下列各題：（1）當(dāng)x=3時，y=________

；（2）當(dāng)x=_____時，y有最________

值為________；

（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數(shù)圖像上的兩點，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數(shù)值的大?。簓1________

y2；（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數(shù)值y的取值范圍是________．【答案】（1）﹣1；（2）1、小、﹣2；（3）＞；（4）﹣2≤y≤2【解析】【分析】（1）由表中給出的三組數(shù)據(jù)，列方程組求得二次函數(shù)的解析式，再求出x=3時，y的值；（2）實際上是求二次函數(shù)的頂點坐標；（3）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；再進行判斷即可；（4）根據(jù)拋物線的頂點，當(dāng)x=5時，y最大，當(dāng)x=1時，y最小．解：（1）由表得，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x﹣，當(dāng)x=3時，y==﹣1．（2）將y=x2﹣x﹣配方得：y=（x﹣1）2﹣2．∵a=＞0，∴函數(shù)有最小值，當(dāng)x=1時，最小值為﹣2．（3）令y=0，則x=±2+1，拋物線與x軸的兩個交點坐標為（2+1，0）（﹣2+1，0）∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距離大于x2到1的距離，∴y1＞y2．（4）∵拋物線的頂點為（1，﹣2），∴當(dāng)x=5時，y最大，即y=2；當(dāng)x=1時，y最小，即y=﹣2，∴函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y≤2．故答案為：﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．【點撥】本題考查了用圖像法求一元二次方程的近似根，是中考壓軸題，難度較大．【變式3】畫出二次函數(shù)y＝x2－2x的圖像，利用圖像回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值時，函數(shù)值大于0?(3)x取什么值時，函數(shù)值小于0?【答案】(1)x1＝0，x2＝2(2)x<0或x>2(3)0<x<2【解析】試題分析：畫出拋物線y＝x2－2x的圖像的草圖，根據(jù)圖像即可解決問題（1）（2）（3）.試題解析：二次函數(shù)y＝x2－2x的圖像如下圖所示：（1）觀察圖像可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；（2）觀察圖像可得，當(dāng)x取x<0或x>2時，函數(shù)值大于0；（3）觀察圖像可得，當(dāng)x取0<x<2時，函數(shù)值小于0.點撥：本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系以及與坐標軸的交點求法，解答此題的關(guān)鍵是求出圖像與x軸的交點，然后由圖像找出自變量x的范圍，運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法．4、如圖，二次函數(shù)y=（x﹣2）2+m的圖像與y軸交于點C，點B是點C關(guān)于該二次函數(shù)圖像的對稱軸對稱的點．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過該二次函數(shù)圖像上點A（1，0）及點B．（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖像，寫出滿足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范圍．【答案】（1）二次函數(shù)解析式為y=（x﹣2）2﹣1；一次函數(shù)解析式為y=x﹣1．（2）1≤x≤4．【分析】（1）將點A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根據(jù)點的對稱性，將y=3代入二次函數(shù)解析式求出B的橫坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式．（2）根據(jù)圖像和A、B的交點坐標可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范圍．解：（1）將點A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1．∴二次函數(shù)解析式為y=（x﹣2）2﹣1．當(dāng)x=0時，y=4﹣1=3，∴C點坐標為（0，3）．∵二次函數(shù)y=（x﹣2）2﹣1的對稱軸為x=2，C和B關(guān)于對稱軸對稱，∴B點坐標為（4，3）．將A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，，解得．∴一次函數(shù)解析式為y=x﹣1．（2）∵A、B坐標為（1，0），（4，3），∴當(dāng)kx+b≥（x﹣2）2+m時，直線y=x﹣1的圖像在二次函數(shù)y=（x﹣2）2﹣1的圖像上方或相交，此時1≤x≤4．舉一反三：【變式1】已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）過點D（0，）作x軸的平行線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，求EF的長；（3）當(dāng)y≤時，直接寫出x的取值范圍是．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）EF長為2；（3或．【分析】（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；

（2）把點D的y坐標代入y=-x2+2x+3，即可求解；

（3）直線EF下側(cè)的圖像符合要求．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解得：a＝﹣1，b＝2，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）把點D的y坐標y＝，代入y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝或，則EF；（3）由題意得：當(dāng)y≤時，直接寫出x的取值范圍是：或，故答案為或．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一元二次方程，利用圖像解不等式及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道基本題，難度不大．【變式2】已知函數(shù)（1）在下面的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖像.（2）使成立的的值有個.（3）使成立的的值恰好有個，則的取值范圍為；（4）使成立的的值恰好有個，則的取值范圍為；【答案】（1）圖像見解析；（2）；（3）；（4），.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可；（2）通過（1）圖像觀察求解即可；（3）通過（1）圖像觀察求解即可；（4）通過（1）圖像觀察求解即可.解：（1）圖像如下：（2）通過（1）圖像觀察知，當(dāng)時，函數(shù)圖像與有三個交點，即的值有3個；（3）通過（1）圖像觀察知，當(dāng)成立的的值恰好有個，此時；（4）通過（1）圖像觀察知，當(dāng)成立的的值恰好有2個，此時或.【點撥】本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.【變式3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3).(1)求該二次函數(shù)的解析式.(2)利用圖像的特點填空.①當(dāng)x=___時方程ax2+bx+c=-3.當(dāng)x=___時方程ax2+bx+c=-4.②不等式ax2+bx+c>0的解集為不等式-4<ax2+bx+c<0的解集為.【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)①0或2；1；②x<-1或x>3；-1<x<3.【分析】（1）將A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三點的坐標分別代入y=ax2+bx+c，然后解方程組即可解決；（2）①令x2-2x-3=-3，解方程即可求出x的解；令x2-2x-3=-4，解方程即可求出x的解；②從題中圖像中找出y>0的函數(shù)值即可；從題中圖像中找出-4<y<0的函數(shù)值即可.解：（1）解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)三點，∴，解得∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x-3；（2）①由（1）知y=x2-2x-3∴x2-2x-3=-3時解得x=0或2x2-2x-3=-4時解得x=1；②從題中圖像可知y>0時，x的取值為x<-1或x>3-4<y<0時，x的取值為-1<x<3.【點撥】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及通過函數(shù)圖像解函數(shù)值。讀懂函數(shù)圖像中包含的條件以及題目的條件是解題的關(guān)鍵.在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．5、二次函數(shù)的圖像如圖所示，根據(jù)圖像解答下列問題：（1）寫出方程的兩個根；（2）寫出不等式的解集；（3）寫出隨的增大而增大的自變量的取值范圍；（4）若方程沒有實數(shù)根，求取值范圍．【答案】（1）x1=1,x2=3；（2）x<1或x>3；（3）x＜2；（4）k>2；【分析】（1）找到拋物線與x軸的交點即可得出方程ax2+bx+c=0的兩個根；（2）找出拋物線在x軸下方時x的取值范圍即可；（3）結(jié)合圖形可寫出y隨x的增大而增大的自變量x的取值范圍；（4）根據(jù)圖像可以看出k取值范圍．解：(1)由圖像可得：x1=1,x2=3；(2)結(jié)合圖像可得：x<1或x>3時，y<0，即當(dāng)x<1或x>3時,ax2+bx+c<0；(3)根據(jù)圖像可得當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大；(4)根據(jù)圖像可得,k>2時,方程ax2+bx+c=k沒有實數(shù)根.【點撥】此題考查二次函數(shù)與不等式（組），解題關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖像進行解答.舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點求二次函數(shù)的解析式；求二次函數(shù)的頂點坐標；當(dāng)時，求的取值范圍（直接寫出答案）．【答案】；；或【分析】（1