第04講整式乘法（10種題型）考點考向考點考向整式的乘法法則：一：單項式與單項式相乘1、單項式與單項式相乘的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘的積作為積的因式，其余字母連同它的指數不變，也作為積的因式．注：單項式乘法中若有乘方、乘法等混合運算，應按“先乘方、再乘法”的順序進行．例如：．二：單項式與多項式相乘1、單項式與多項式相乘法則：單項式與多項式相乘，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加．例如：=．三：多項式與多項式相乘1、多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．用公式表示為：．考點精講考點精講題型一：單項式與單項式相乘一、單選題1．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據單項式乘以單項式法則，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項正確，符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了單項式乘以單項式，熟練掌握單項式乘以單項式法則是解題的關鍵．2．（2021·上海市民辦新復興初級中學七年級期末）下列運算不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】A選項：利用單項式相乘的法則即可作出判斷；B選項：利用同底數冪乘法計算，再化簡即可；C選項：利用同底數冪乘法計算，再化簡即可；D選項：利用同底數冪乘法計算即可．【詳解】解：A選項：，故A錯誤；B選項：，故B正確；C選項：，故C正確；D選項：，故D正確．故選A．【點睛】此題主要考查了整式的計算，對于各種整式的運算法則要求學生應該都比較熟練．3．（2021·上海·七年級期中）下列算式中，計算正確的是（）A．3a?4a2＝7a2 B．3a?4a2＝12a2C．3a?4a2＝7a3 D．3a?4a2＝12a3【答案】D【分析】直接利用單項式乘單項式計算得出答案．【詳解】解：3a?4a2＝3×4a?a2＝12a3，A.選項A3a?4a2＝7a2系數與指數都不對，故不正確；

B.3a?4a2＝12a2指數不對，故不正確；C.3a?4a2＝7a3系數不對，故不正確；

D.3a?4a2＝12a3正確．故選：D．【點睛】本題考查單項式與單項式乘法，掌握單項式乘法法則是解題關鍵．二、解答題4．計算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【總結】本題主要考查單項式乘法法則．系數、同底數冪分別相乘作為積的因式，多個式子相乘與兩個式子相乘法則相同．5．計算：（1）； （2）；（3）（把作為整體看作一個因式的底數）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=【總結】本題主要考查冪的運算和單項式乘法法則，注意計算過程中整體思想的應用．6．（2022·上海·七年級專題練習）【答案】0【分析】先算乘方，再算乘法，最后合并同類項即可求解．【詳解】解：原式＝＝＝＝0【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，解題關鍵是注意運算順序，有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加減與合并同類項．7．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：．【答案】【分析】根據單項式乘單項式的運算法則進行計算．【詳解】解：．【點睛】本題考查單項式乘單項式的運算．理解單項式乘單項式的運算法則，掌握同底數冪的乘法運算法則是解題關鍵．8．計算：（1）； （2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．【總結】本題主要考查單項式乘法法則．系數、同底數冪分別相乘作為積的因式，多個式子相乘與兩個式子相乘法則相同．9．計算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）原式=； （2）原式=．【總結】本題主要考查冪的運算和單項式乘法法則，先按法則進行計算，再做合并同類項的運算．10．計算：（把作為整體看作一個因式的底數）．【答案】．【解析】原式=．【總結】本題主要考查單項式乘法的運算法則，計算過程中注意整體思想的應用．題型二：利用單項式乘法求字母或代數式的值1．已知：，求的值．【答案】5【解析】原式=，由此可得，可解得，【總結】單項式相等，對應字母的次數相同．2．先化簡，后求值：．【答案】化簡結果是，代入求值結果是【解析】原式=，代入求值得【總結】本題主要考查代數式的化簡和求值計算．題型三：計算單項式乘多項式及求值一、填空題1．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）（________）（________）．【答案】

【分析】單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．去括號法則：如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反．據此解答即可．【詳解】解：．故答案為：；．【點睛】本題考查單項式乘多項式以及去括號法則．掌握相關運算法則是解答本題的關鍵．2．（2019·上海市涇南中學七年級期中）計算：_________．【答案】【分析】根據單項式乘以多項式的法則,將單項式與多項式的每一項相乘,再把各項乘積求和.【詳解】,故答案為:.【點睛】本題主要考查單項式乘以多項式的運算法則,解決本題的關鍵是要熟練掌握單項式乘以多項式的運算法則.3．（2019·上海外國語大學附屬大境初級中學七年級期中）計算__________________________【答案】【分析】利用成分分配律進行計算即可解答.【詳解】==【點睛】本題考查單項式乘多項式，熟練掌握計算法則是解題關鍵.4．（2019·上海市育鷹學校七年級期中）計算：2x（x-y）-3y（y-x）=___________.【答案】2x2-3y2+yx【分析】先根據單項式乘多項式法則得到，再合并同類項即可得到答案.【詳解】2x（x-y）-3y（y-x）=2x2-2xy-3y2+3yx=2x2-3y2+xy.【點睛】本題考查單項式乘多項式、合并同類項，解題的關鍵是掌握單項式乘多項式、合并同類項.5．（2019·上海市西南模范中學七年級階段練習）計算：_______.【答案】【分析】根據單項式與多項式的乘法法則計算即可.【詳解】原式==.故答案為.【點睛】本題考查了單項式與多項式的乘法運算，單項式與多項式相乘，用單項式與多項式中的每個項分別相乘，再把得到的積相加.二、解答題6．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：．【答案】【分析】先根據單項式乘多項式法則算乘法，再合并同類項即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查整式的混合運算：先進行整式的乘方運算，再進行整式的乘除運算，然后進行整式的加減運算；涉及到合并同類項，單項式乘多項式法則等知識點．能正確運用知識點進行計算是解此題的關鍵．7．先化簡，再求值：，其中．【答案】化簡結果是，代入求值結果是．【解析】原式=將代入計算得：．【總結】本題主要考查代數式的化簡，先利用單項式乘以多項式的運算法則進行計算，然后 合并同類項進行化簡，最后代值計算．8．先化簡，后求值：，其中 ．【答案】化簡結果是，代入求值結果是1．【解析】原式． 將代入計算得：原式=．【總結】本題主要考查代數式的化簡，先利用單項式乘多項式的運算法則進行計算，然后合 并同類項進行化簡，最后代值計算．9．已知，求的值．【答案】174．【解析】原式．【總結】本題主要考查整體思想的應用，以及積的乘方運算法則的逆用．題型四：單項式乘多項式的應用一、填空題1．（2019·上海市松江九峰實驗學校七年級階段練習）一個長方體的長、寬、高分別是3x-4，2x和x，它的體積等于________【答案】6x3-8x2【分析】根據長方體的計算公式長×寬×高，列出算式，再進行計算即可．【詳解】解：根據題意得：（3x-4）?2x?x=6x3-8x2；故答案為：6x3-8x2．【點睛】此題考查了單項式乘多項式，解題的關鍵是根據長方體的體積公式列出算式，再根據單項式乘多項式的法則進行計算即可．二、解答題2．解關于的方程：．【答案】．【解析】【總結】本題主要考查對單項式乘多項式乘法法則的應用以及解方程的復習回顧．3．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）一塊長方形硬紙片，長為米、寬為米，在它的四個角上分別剪去一個邊長為米的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子．(1)這個盒子的長為，寬為，高為；(2)求這個無蓋盒子的外表面積．【答案】(1)米；米；米(2)平方米【分析】（1）盒子的長＝長方形的長－小正方形邊長的倍，盒子的寬＝長方形的寬－小正方形邊長的倍，盒子的高＝小正方形邊長；（2）利用紙片的面積減去剪去的個小正方形的面積就是盒子的表面積．（1）解：盒子的長為：（米）；盒子的寬為：（米）；盒子的高為：a2（米）．故答案為：米；米；米．（2）∵紙片的面積是：（平方米），小正方形的面積是：（平方米），∴無蓋盒子的外表面積是：（平方米）．∴這個無蓋盒子的外表面積為平方米．【點睛】本題考查整式的運算，涉及整式的減法，單項式乘多項式，積的乘方，合并同類項等知識．理解紙片的面積減去剪去的個小正方形的面積就是盒子的表面積是解題的關鍵．4．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）請閱讀以下材料：[材料]若，，試比較，的大小．解：設，那么，．因為，所以．我們把這種方法叫做換元法．請仿照例題比較下列兩數大小：，．【答案】【分析】令，，分別根據，的式子列出關于，的整式，然后相減并化簡即可．【詳解】解：令，，∴，，∵，∴．【點睛】本題考查單項式乘多項式，整式的加減，有理數的大小比較．理解例題的解題思路是解題的關鍵．題型五：計算多項式乘多項式一、填空題1．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）己知，，且，則__________【答案】1【分析】先將和變形為和，求出，再根據多項式乘多項式和來求解．【詳解】解：∵，，∴，，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，代數式求值，理解多項式乘多項式的運算法則是解答關鍵．2．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）已知x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3），則a＋b＋c＝________．【答案】﹣9【分析】先根據多項式乘以多項式法則將已知等式右邊展開，再根據兩多項式相等，則對應項系數相等，求出a、b、c的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵x3＋ax2＋bx＋c＝（x＋1）（x﹣2）（x＋3）=(x2-x-2)(x+3)=x3+2x2-5x-6∴a=2，b=-5，c=-5，∴a+b+c=2-5-6=-9．故答案為：-9．【點睛】本題考查多項法乘以多項式，熟練掌握多項法乘以多項式法則以用兩多式相等，則對應在項系數相等是解題的關鍵．3．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝________．【答案】x3﹣27【分析】根據多項式乘以多項式的運算法則計算即可．【詳解】解：（x﹣3）（x2＋3x＋9）＝x3＋3x2＋9x﹣3x2﹣9x﹣27＝x3﹣27．【點睛】此題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．4．（2022·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖篲_______．【答案】【分析】根據多項式乘以多項式法則進行計算即可得到答案．【詳解】=，故答案為：．【點睛】此題考查多項式乘以多項式法則：用一個多項式的每一項乘以另一個多項式中的每一項，再將結果合并同類項，熟記乘法法則是解題的關鍵．二、解答題5．（2022·上海宋慶齡學校七年級階段練習）計算：（1﹣2a）（1＋2a）（a﹣3）．【答案】a﹣3﹣4a3＋12a2【分析】先根據平方差公式展開，再根據多項式乘多項式的運算法則計算即可．【詳解】解：原式＝[﹣（2a）2]（a﹣3）＝（1﹣4a2）（a﹣3）＝a﹣3﹣4a3＋12a2．【點睛】本題考查了多項式乘多項式，能熟練地運用公式和法則進行計算是解此題的關鍵．6．（2022·上?！て吣昙壠谥校┙獠坏仁剑骸敬鸢浮俊痉治觥肯热ダㄌ?，再移項合并同類項，最后化系數為1．【詳解】去括號得：移項合并得：系數化為1得：．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，特別要注意的是最后化系數為1時，兩邊同除負數，不等號需改變方向．7．（2022·上海·七年級期末）已知：；，求【答案】【分析】先變成am×am+1的形式，再代入，最后把整式化簡即可．【詳解】∵；，∴===.【點睛】本題考查多項式乘多項式和同底數冪的乘法的逆運用，能利用同底數冪的乘法將化成是解決本題的關鍵，本題多項式與多項式相乘展開式較長，一定要細心，在合并同類項時不能出現(xiàn)遺漏.題型六：（x+P）（x+P）型多項式乘法一、單選題1．（2020·上海市浦東新區(qū)建平中學南校七年級階段練習）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是(

)A．p=5，q=6 B．p=1，q=6 C．p=5，q=-6 D．p=1，q=-6【答案】D【分析】先根據多項式乘以多項式的法則，將（x-2）（x+3）展開，再根據兩個多項式相等的條件即可確定p、q的值．【詳解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6，又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q，∴x2+px+q=x2+x-6，∴p=1，q=-6．故選：D．【點睛】本題主要考查多項式乘以多項式的法則及兩個多項式相等的條件．多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．兩個多項式相等時，它們同類項的系數對應相等．二、填空題2．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤簦▁+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m＝____．【答案】﹣3【分析】根據多項式乘以多項式，進而令含x的一次項系數為0，即可求得的值．【詳解】∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，又∵乘積中不含x的一次項，∴3+m＝0，解得m＝﹣3．故答案為：﹣3．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，整式乘法中無關類型，掌握多項式乘以多項式運算法則是解題的關鍵．3．（2021·上海楊浦·七年級期中）計算：（x2﹣3）（x2＋5）＝___．【答案】【分析】根據多項式乘以多項式進行計算即可．【詳解】（x2﹣3）（x2＋5）故答案為：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，正確的計算是解題的關鍵．4．（2021·上海黃浦·七年級期中）計算：（x﹣1）（5＋x）＝___．【答案】【分析】根據多項式乘以多項式的運算法則進行計算即可．【詳解】原式【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．5．（2021·上?！て吣昙壠谀┯嬎悖海▁－2y）（x＋5y）＝______．【答案】【分析】根據整式的乘法法則即可得．【詳解】原式，，故答案為：．【點睛】本題考查了整式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．6．（2020·上海市澧溪中學七年級階段練習）如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值為_____．【答案】-2【分析】把(x-2)(x-n)展開，之后利用恒等變形得到方程，即可求解m、n的值，之后可計算m+n的值．【詳解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案為﹣2．【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，我們可以直接套用公式即可求解.題型七：已知多項式乘積不含某項求字母的值一、單選題1．（2021·上海浦東新·七年級期中）如果（x+1）（3x+a）的乘積中不含x的一次項，則a為（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【分析】先對（x+1）（3x+a）進行化簡，然后再根據乘積中不含x的一次項建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得：，∵乘積中不含x的一次項，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查多項式乘多項式，熟練掌握多項式乘多項式是解題的關鍵．2．（2020·上海市七寶實驗中學七年級期中）如果多項式與多項式相乘，乘積不含一次項以及二次項，那么,的值分別是（

）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根據多項式乘法法則，先將兩個多項式相乘得出結果，再根據結果不含一次項和二次項，說明一次項系數和二次項系數為0，從而建立關于a、b的方程，即可求解.【詳解】==∵乘積不含一次項以及二次項∴，解得，故選B.【點睛】本題考查多項式乘法，除了掌握多項式乘法公式外，本題還需要掌握乘積不含一次項以及二次項即一次項系數和二次項系數為0.二、填空題3．（2021·上海市南洋模范初級中學七年級期中）若二項式3x+a與x+2相乘，化簡后結果中不出現(xiàn)一次項，則a的值是___．【答案】-6【分析】利用多項式乘以多項式法則將已知多項式化簡，合并同類項后令一次項系數等于0，即可求出a的值．【詳解】解：（3x+a）（x+2）=3x2+6x+ax+2a=3x2+（a+6）x+2a，∵此多項式不含x的一次項，∴a+6=0，即a=-6．故答案為：-6．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式法則，解決這類問題的方法是：不含哪一項，就合并同類項后讓這一項的系數等于0．4．（2021·上?！て吣昙壠谥校┮阎P于的兩個多項式與的差中不含項，則代數式的值為___________．【答案】1【分析】要求的值就必須知道的值，而的值通過兩個多項式與作差合并后不含的項意味著系數為0而求得.【詳解】∵不含項∴∴代入中，得【點睛】本題主要考查合并同類項、去括號以及代數式求值，利用兩個多項式的差不含項得出的系數為0是解題關鍵.三、解答題5．（2021·上海奉賢·七年級期中）小紅準備完成題目：計算（x2x+2）（x2﹣x）．她發(fā)現(xiàn)第一個因式的一次項系數被墨水遮擋住了．（1）她把被遮住的一次項系數猜成3，請你完成計算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老師說：“你猜錯了，這個題目的正確答案是不含三次項的．”請通過計算說明原題中被遮住的一次項系數是多少？【答案】（1）；（2）1【分析】（1）根據多項式的乘法進行計算即可；（2）設一次項系數為，計算，根據其結果不含三次項，則結果的三次項系數為0，據此即可求得的值，即原題中被遮住的一次項系數．【詳解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）（2）設一次項系數為，答案是不含三次項的【點睛】本題考查了多項式的乘法運算，正確的計算是解題的關鍵．6．（2021·上?！て吣昙壠谥校┒囗検健ⅲc的乘積中不含有和項．（1）試確定和的值；（2）求．【答案】（1），；（2）【分析】（1）直接利用多項式乘法計算進而得出，的值；（2）利用（2）中所求，進而代入得出答案．【詳解】解：（1），∵多項式、，與的乘積中不含有和項，∴，，解得：，；（2）由（1）得：．【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，整式的化簡求值，整式的加減運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行化簡．7．（2019·上海市嘉定區(qū)震川中學七年級階段練習）小明在做多項式乘法的時候發(fā)現(xiàn)，兩個多項式相乘在合并同類項后的結果存在缺項的可能．比如x+2和x-2相乘的結果為,x的一次項沒有了．（1）請計算與x-2相乘后的結果，并觀察x的幾次項沒有了?（2）請想一下，與x+a相乘后的結果可不可能讓一次項消失，如果可能，那么a應該是多少呢?【答案】（1）x的二次項沒有了；（2）可能，a=-時，一次項消失.【分析】（1）根據多項式乘多項式的運算法則計算后觀察即可；（2）根據多項式乘多項式的運算法則計算后，合并關于x的同類項，然后令一次項的系數為零即可求解.【詳解】（1）∵()(x-2)=x3-2x2+2x2-4x+3x-6=x3-x-6，∴x的二次項沒有了；（2）可能.∵()(x+a)=x3+ax2+2x2+2ax+3x+3a=x3+(a+2)x2+(2a+3)x+3a，∴當2a+3=0，即a=-時，一次項消失.【點睛】本題考查了利用多項式的不含問題求字母的值，先按照多項式與多項式的乘法法則乘開，再合并關于x的同類項，然后令不含項的系數等于零，列方程求解即可.8．（2020·上?！の膩韺嶒瀸W校七年級期中）若關于的多項式與的乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，求這兩個多項式的乘積【答案】【分析】先計算與的乘積，然后根據乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，可求出a，b，最后計算這兩個多項式的乘積即可．【詳解】解：，∵乘積展開式中沒有二次項，且常數項為10，∴a?2b＝0，?2a＝10，解得：a＝?5，b＝?2.5，∴，故這兩個多項式的乘積是：．【點睛】本題主要考查了多項式乘多項式，解題的關鍵是熟練掌握運算法則．題型八：多項式乘多項式-化簡求值一、解答題1．（2019·上海市長寧中學七年級階段練習）先化簡，再求值：（x﹣1）（x2﹣x）+2（x2+2）﹣（3x2+6x﹣1）．其中x＝﹣3．【答案】﹣2x2+x+4，﹣18．【分析】原式利用多項式乘以多項式，單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+x+2x2+4﹣x3﹣2x2+＝﹣2x2++4，當x＝﹣3時，原式＝﹣18﹣4+4＝﹣18．【點睛】此題考查了整式的混合運算——化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．（2019·上海華東師范大學附屬進華中學七年級期中）先化簡，再求值：，其中【答案】；【分析】根據整式的混合運算法則進行化簡，再代入即可求解.【詳解】===把代入得==【點睛】此題主要考查化簡求值，解題的關鍵是熟知整式的乘方法則.3．（2019·上海市閔行區(qū)龍茗中學七年級階段練習）先化簡,再求值:,其中x=1，y=2.【答案】；5【分析】利用平方差公式、完全平方公式以及整式的混合運算將原式化簡，再將x=1，y=2代入化簡后的式子，求值即可.【詳解】解：原式當x=1，y=2時，原式【點睛】本題考查整式的混合運算和化簡求值，熟練掌握整式的混合運算法則以及平方差公式、完全平方公式是解題關鍵.4．（2019·上海市田林第三中學七年級期中）先化簡，再求值：已知，求代數式的值.【答案】3（x2-2x）-5，1【分析】原式第一項利用完全平方公式展開，第二項利用平方差公式化簡，最后一項利用多項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，將已知等式代入計算即可求值.【詳解】解：（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=x2-2x+1+x2-9+x2-4x+3=3x2-6x-5=3（x2-2x）-5，把x2-2x=2代入，得（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）=3×2-5=1．【點睛】此題考查了整式的混合運算，化簡求值，熟練掌握運算法則是解決本題的關鍵.5．（2021·上海市傅雷中學七年級期中）先化簡后求值其中【答案】；-4.【分析】先運用多項式乘以多項式的法則計算，然后合并同類項，再把代入原式求解即可.【詳解】原式=

=當時，原式=故答案為；-4.【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，熟練掌握運算順序與運算法則是解題的關鍵.題型九：多項式乘多項式與圖形面積一、單選題1．（2021·上海黃浦·七年級期中）如圖所示的圖形面積為（

）A．（x＋1）2﹣12 B．（x＋1）2﹣x2 C．x（x＋1） D．（x＋1）2﹣2x【答案】A【分析】先將原圖形的右上角補全，進而根據原圖的面積＝大正方形的面積－小正方形的面積列式即可求得答案．【詳解】解：如圖，由圖可知：原圖形的面積＝大正方形的面積－小正方形的面積＝（x＋1）2﹣12，故選：A．【點睛】本題考查了用割補法表示不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握割補法是解決本題的關鍵．二、填空題2．（2019·上海浦東新區(qū)民辦欣竹中學七年級階段練習）有若干張如圖所示的正方形和長方形卡片.如果要拼一個長為，寬為的長方形，則需要A類卡片，B類卡片，C類卡片分別是________張.【答案】2、1、3【分析】根據拼成的長方形的面積等于各小卡片面積之和解答即可.【詳解】∵=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2，∴需要A類卡片，B類卡片，C類卡片分別是2張、1張、3張.故答案為2、1、3.【點睛】本題考查了多項式與多項式的乘法運算的應用，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.3．（2021·上海市川沙中學南校七年級期中）如圖，一個邊長為、的長方形被平行于邊的兩條直線所分割，其中長方形的左上角是一個邊長為的正方形，將圖中陰影部分的面積表示為=__________；【答案】【分析】圖中的陰影部分，由正方形與矩形組成，利用面積公式即可得到結論．【詳解】解：由題意，S=x2+（ax）（bx）=；故答案為：．【點睛】本題考查列代數式，考查面積的計算，屬于基礎題．4．（2021·上海·七年級專題練習）如圖，要設計一幅長為3xcm，寬為2ycm的長方形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫彩條的寬度為acm，豎彩條的寬度為bcm，問空白區(qū)域的面積是_____．【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2【分析】可設想將彩條平移到如圖所示的長方形的靠邊處，則該長方形的面積就是空白區(qū)域的面積，這個大長方形長（3x﹣2b）cm，寬為（2y﹣2a）cm，根據矩形的面積公式求解即可．【詳解】解：可設想將彩條平移到如圖所示的長方形的靠邊處，將9個小矩形組合成“整體”，一個大的空白長方形，則該長方形的面積就是空白區(qū)域的面積．而這個大長方形長（3x﹣2b）cm，寬為（2y﹣2a）cm．所以空白區(qū)域的面積為（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2．即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．故答案為：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．【點睛】本題考查了空白區(qū)域面積的問題，掌握平移的性質、矩形的面積公式是解題的關鍵．三、解答題5．（2019·上海市玉華中學七年級課時練習）閱讀材料并解答問題：七年級第一學期課本中有這樣一個思考題：“你能根據圖1中的圖形來說明完全平方公式嗎？”說明如下：圖1中的面積可以表示為；圖1中的面積又可以表示為；所以這個圖形說明了完全平方公式除了完全平方公式可以用圖形的面積來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示．（1）請寫出圖2所表示的代數恒等式：__________________________________；（2）請畫一個圖形，使它的面積能表示．【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1）用兩種方法表示出圖2的面積，化簡即可；（2）先畫出一個長和寬分別為的長方形，再按原式進行分割.【詳解】解：（1）圖2中的圖形長和寬分別為，所以其面積可以表示為；圖2中的面積又可以表示為，所以圖2所表示的代數恒等式為（2）如圖即為所求（圖形不唯一）【點睛】本題考查了多項式乘多項式的圖形表示，熟練運用圖形表示代數恒等式是解題的關鍵.6．（2019·上海市吳涇中學七年級階段練習）在長方形地塊上建造公共綠地（圖中陰影部分），其余的部分小路.根據圖中的設計方案，利用你所學習的有關圖形運動的知識，（1）用含有的代數式表示出公共綠地的面積；（2）當米時，計算出綠地的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）題干要求根據圖中的設計方案，利用有關圖形運動的知識，所以我們通過平移，可知綠地部分可以拼成一個矩形，其長為，寬為，繼而求出其面積；（2）將代入（1）中的代數式即可計算出綠地的面積．【詳解】解：（1）由題意得：通過平移，綠地部分可以拼成一個矩形，它的長為：；寬為：，面積為：．答：公共綠地的面積是．（2）當米時，綠地的面積．【點睛】本題考查了平移的性質及整式的混合運算，難度適中，解答本題注意平移的靈活運用．7．（2021·上海浦東新·七年級期中）某中學有一塊長30m，寬20m的長方形空地，計劃在這塊空地上劃分出部分區(qū)域種花，小明同學設計方案如圖，設花帶的寬度為x米．(1)請用含x的式子表示空白部分長方形的面積；（要化簡）(2)當花帶寬2米時，空白部分長方形面積能超過400m2嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)超過，理由見解析【分析】（1）空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分長方形的面積；（2）通過有理數的混合運算得結果與400進行比較．（1）空白部分長方形的兩條邊長分別是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分長方形的面積：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600)m2．（2）超過．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分長方形面積能超過400m2．【點睛】本題考查有代數式表示實際問題，掌握用代數式表示長方形的邊長，讀懂題意列出代數式是解決此題關鍵．8．（2021·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，用一張高為30，寬為的長方形打印紙打印文檔，如果左右的頁邊距都為，上下頁邊距比左右頁邊距多.（1）請用的代數式表示中間打印部分的面積.（2）當時，中間打印部分的面積是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分別用含x的代數式表示出中間打印部分的高和寬，利用長方形面積公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代數式，即可得答案.【詳解】（1）∵左右的頁邊距都為，上下頁邊距比左右頁邊距多，∴中間打印部分的高為30-2(x+1)=28-2x,寬為20-2x，∴中間打印部分的面積為(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中間打印部分的面積為4x2-96x+560，∴當x=2時，中間打印部分的面積為4×22-96×2+560=384(cm2).答：當x=2時，中間打印部分的面積是384cm2.【點睛】本題考查了列代數式，正確理解題意，根據圖示表示出中間打印部分的高和寬是解題關鍵.9．（2021·上海黃浦·七年級期中）有7張如圖1規(guī)格相同的小長方形紙片，長為a，寬為b（a＞b），按如圖2、3的方式不重疊無縫隙地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．（1）如圖2，點E、Q、P在同一直線上，點F、Q、G在同一直線上，右下角陰影部分矩形QPCG的面積為（用含a、b的代數式表示），左上角陰影部分矩形AFQE的面積為（用含a、b的代數式表示），矩形ABCD的面積為．（用含a、b的代數式表示）（2）如圖3，點F、H、Q、G在同一直線上，設右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．①用a、b、x的代數式表示AE②當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，如果S的值始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？【答案】（1），，（2）①；②【分析】(1)右下角的圖形為邊長為a的正方形，左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b，分別計算面積，找到矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b計算面積即可.(2)①AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，從而得到AE；②把S表示出來，令與相乘的因式為零，即可得到S與BC長度無關.【詳解】(1)右下角的圖形為邊長為a的正方形，面積為.左上角圖形為長方形，其長寬分別為4b，3b，面積為.矩形ABCD的長寬分別為a+4b，a+3b，面積為故答案為：，，(2)①∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG∴AE=PC+FH-QG即AE=x+4b-a②圖2中，右下角的矩形長寬分別為x，a，則面積為xa.左上角矩形長寬分別為x+4b-a，3b，則面積為3b（x+4b-a）.則整理得到，當BC的長度變化時，S始終保持不變，則時成立.【點睛】本題考查了列代數式，多項式的乘法，找準各部分圖形的邊長與邊長之間的關系，準確表示出面積的代數式是解題的關鍵．10．（2022·上海·七年級期末）在長方形中，，現(xiàn)將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置(的對應點為，其它類似)．當時，請畫出平移后的長方形，并求出長方形與長方形的重疊部分的面積．當滿足什么條件時，長方形與長方形有重疊部分(邊與邊疊合不算在內)，請用的代數式表示重疊部分的面積．在平移的過程中，總會形成一個六邊形，試用來表示六邊形的面積．【答案】（1）長方形見詳解，重疊部分的面積=；（2）重疊部分的面積=，；（3）．【分析】（1）根據題意，畫出長方形，進而可得重疊部分的面積；（2）根據題意得長方形與長方形的重疊部分的長為，寬為，從而得重疊部分的面積，由重疊部分的長與寬的實際意義，列出關于x的不等式組，進而即可求解；（3）延長A1D1，CD交于點M，延長A1B1，CB交于點N，根據割補法，求出六邊形的面積，即可．【詳解】（1）長方形，如圖所示：∵在長方形中，，將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置，∴長方形與長方形的重疊部分的面積=；（2）∵，將長方形向上平移，再向左平移后到長方形的位置，∴長方形與長方形的重疊部分的長為，寬為，∴重疊部分的面積=，∵且且，∴；（3）延長A1D1，CD交于點M，延長A1B1，CB交于點N，六邊形的面積===．【點睛】本題主要考查圖形的平移變換以及用代數式表示幾何圖形的數量關系，掌握平移變換的性質，是解題的關鍵．題型十：規(guī)律問題一、解答題1．（2021·上海市川沙中學南校七年級期中）我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出右表，此表揭示了（為非負數）展開式的各項系數的規(guī)律，通常稱它為“楊輝三角”，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早四百多年，它與勾股定理、圓周率的計算等其他中國古代數學成就一起，顯示了我國古代勞動人民的卓越智慧與才能．例如：規(guī)定：那么，，它只有一項，系數為1；，它有兩項，系數分別為1，1；，它有三項，系數分別1，2，1；，它有四項，系數分別為1，3，3，1；根據以上規(guī)律，展開式共有________項，系數分別為________……根據以上規(guī)律，寫出的展開式：=________【答案】五；1，4，6，4，1；【分析】由圖可知，從第三行開始，除去首項和最后一項，其余項應該等于上一行與其列數相同的數+上一行前一列的數．那么第五行的五個數就應該是1，4，6，4，1．即可得到答案．【詳解】解：（a+b）0=1，它只有一項，系數為1；（a+b）1=a+b，它有兩項，系數分別為1，1；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三項，系數分別為1，2，1；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項，系數分別為1，3，3，1；所以（a+b）4的展開式有五項，系數分別為：1，4，6，4，1．故答案為：五；1，4，6，4，1．∴；故答案為：．【點睛】本題考查完全平方公式的推廣，讀懂題目信息，準確找出規(guī)律是解題的關鍵，這類題型在中考中經常出現(xiàn)．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．2．（2021·上海·七年級期中）先觀察下列各式的規(guī)律：根據你的發(fā)現(xiàn)，試求：（1）的值；（2）的值【答案】（1）127；（2）【分析】（1）先由題意得出，當x=2時，上式變?yōu)?，進一步即可求出結果；（2）同（1）題的思路可得：，當x=2時，上式變?yōu)椋M而可得結果．【詳解】解：（1）由題意可得：，當x=2時，上式變?yōu)椋?；（2）同理可得：，當x=2時，上式變?yōu)椋裕军c睛】本題考查了多項式乘法的拓展和數字類規(guī)律探求，正確理解題意、明確求解的方法是解題關鍵．3．（2021·上海·七年級期中）尋找公式，求代數式的值：從2開始，連續(xù)的的偶數相加，它們的和的情況如下表：（1）根據上面的等式，你能發(fā)現(xiàn)當n個連續(xù)的的偶數相加時，它們的和S=2+4+6+8+……+2n=.（2）并按照此規(guī)律計算：①2+4+6+……300的值；②162+164+166+……+400的值.【答案】（1）n（n＋1）；（2）①22650；②33720．【分析】（1）觀察所給的算式，找出其中的規(guī)律，用含n的式子表示其中的規(guī)律；（2）依據規(guī)律進行計算即可．【詳解】（1）∵1個最小的連續(xù)偶數相加時，S＝1×（1＋1），2個最小的連續(xù)偶數相加時，S＝2×（2＋1），3個最小的連續(xù)偶數相加時，S＝3×（3＋1），…∴n個最小的連續(xù)偶數相加時，S＝n（n＋1）；（2）①2＋4＋6＋…＋300＝150×（150＋1）＝22650；②162＋164＋166＋…＋400，＝（2＋4＋6＋…＋400）?（2＋4＋6＋…＋160），＝200×201?80×81，＝40200?6480，＝33720．【點睛】本題主要考查的是規(guī)律探究，找出其中的規(guī)律是解題的關鍵．4．（2021·上?！て吣昙壠谥校╅喿x下文，回答問題：已知：（1-x）（1+x）=1-x2．（1-x）（1+x+x2）=_______;（1-x）（1+x+x2+x3）=_______;（1）計算上式并填空；（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=

；（3）你能計算399+398+397…+32+3+1的結果嗎？請寫出計算過程（結果用含有3冪的式子表示）.【答案】（1）（2）（3）【分析】(1)根據多項式乘以多項式的法則進行計算即可；(2)觀察式子特點可得規(guī)律（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；(3)根據（2）中的規(guī)律先計算(1-3)(399+398+397…+32+3+1)的值，即可求得結果.【詳解】解：（1）（1-x）（1+x+x2）=1+x+x2-x-x2-x3=;（1-x）（1+x+x2+x3）=;（2）猜想：（1-x）（1+x+x2+…+xn）=；（3）∵(1-3)(399+398+397…+32+3+1)=∴399+398+397…+32+3+1=【點睛】本題考查了有特定規(guī)律的整式乘法，按法則進行計算并觀察得到規(guī)律是解題的關鍵.鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2020·上海市七寶實驗中學七年級期中）如果多項式與多項式相乘，乘積不含一次項以及二次項，那么,的值分別是（）A．1,1; B．1,-1; C．-1,-1; D．-1,1;【答案】B【分析】根據多項式乘法法則，先將兩個多項式相乘得出結果，再根據結果不含一次項和二次項，說明一次項系數和二次項系數為0，從而建立關于a、b的方程，即可求解.【詳解】==∵乘積不含一次項以及二次項∴，解得，故選B.【點睛】本題考查多項式乘法，除了掌握多項式乘法公式外，本題還需要掌握乘積不含一次項以及二次項即一次項系數和二次項系數為0.2．（2020·上海文來實驗學校）若關于的多項式與多項式的積中不含一次項，則常數的值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把兩多項式相乘，再令一次項的系數等于0即可得出a的值．【詳解】解：∵多項式與多項式的積中不含一次項則即故選A.【點睛】本題考查了多項式的系數，多項式的乘法，根據多項式的積中不含一次項列出關于x的方程是解答此題的關鍵．3．（2020·上海復旦二附中七年級月考）如圖，從邊長為()cm的正方形紙片中剪去一個邊長為（）cm的正方形（），剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙)，則矩形的面積為()

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，注意完全平方公式的計算．【詳解】矩形的面積為：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．故選D．二、填空題4．（2020·上海南洋中學七年級期中）