小題壓軸考法(一)——函數(shù)的圖象與性質(zhì)12目錄命題點(diǎn)一函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題點(diǎn)二

函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用[典例導(dǎo)析]考法1

函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性[例1]

(2023·九江二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝0，則關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集為

(

)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞)[答案]

A命題點(diǎn)一函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用[解析]

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(0)＝0，f(1)＝0，可畫出其大致圖象，如圖所示．因?yàn)閤f(x)<0，所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，解得0<x<1，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，解得－1<x<0.當(dāng)x＝0時(shí)，顯然不合題意．所以不等式xf(x)<0的解集為(－1,0)∪(0,1)，故選A.[答案]

D[解析]因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，所以f(0)＝0，且f′(x)≥0.又因?yàn)間(x)＝xf(x)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，g(0)＝0.所以g(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)間′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．[思維建模]奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用比較函數(shù)值的大小先利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小求解抽象函數(shù)不等式對(duì)于抽象函數(shù)不等式，應(yīng)先變形為f(x1)＞f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，如x1＞x2(或x1＜x2)求解．如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則由f(x1)＞f(x2)可得|x1|＞|x2|(或|x1|＜|x2|)考法2

函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性[例3]已知函數(shù)f(x)與g(x)的定義域均為R，f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(3－x)＋g(x)＝1，f(x)－g(1－x)＝1，則下面判斷錯(cuò)誤的是

(

)A．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)中心對(duì)稱B．f(x)與g(x)均為周期為4的周期函數(shù)[關(guān)鍵點(diǎn)撥][答案]

C[解析]

因?yàn)閒(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)

①，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1軸對(duì)稱．因?yàn)閒(x)－g(1－x)＝1等價(jià)于f(1－x)－g(x)＝1

②，又f(3－x)＋g(x)＝1

③，②＋③得f(1－x)＋f(3－x)＝2

④，即f(1＋x)＋f(3＋x)＝2，即f(2＋x)＝2－f(x)，所以f(4＋x)＝2－f(2＋x)＝f(x)，故f(x)的周期為4.又g(x)＝1－f(3－x)，所以g(x)的周期也為4，故B正確；①代入④得f(1＋x)＋f(3－x)＝2，故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)中心對(duì)稱，且f(2)＝1，故A正確；[思維建模]解決抽象函數(shù)問題常用的結(jié)論結(jié)論2函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱

f(a＋x)＋f(a－x)＝2b

f(2a＋x)＋f(－x)＝2b特例①函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱

f(a＋x)＋f(a－x)＝0

f(2a＋x)＋f(－x)＝0；②函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))結(jié)論3①y＝f(x＋a)是偶函數(shù)

函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；②y＝f(x＋a)是奇函數(shù)

函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(a,0)對(duì)稱續(xù)表[針對(duì)訓(xùn)練]1．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)＝y(tǒng)2f(x)＋x2f(y)，則

(

)A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函數(shù)D．x＝0為f(x)的極小值點(diǎn)答案：ABC

解析：取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故C正確；由于f(0)＝0，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以x＝0可能為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也可能為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故D不正確．故選A、B、C.2．[多選]已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，f(x＋1)是奇函數(shù)，g(x)＝(1－x)f(x)，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是

(

)A．f(－x－1)＝－f(x＋1)B．函數(shù)g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減C．若a<2－b<1，則g(1)<g(b)<g(a)答案：BCD

解析：因?yàn)閒(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閒(x＋1)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)·f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)．所以y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，故B正確；因?yàn)閍<2－b<1，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正確；調(diào)遞增，則f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(x)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增．由f(2x－1)＋f(2－x)>0，可得f(2x－1)>f(x－2)，則2x－1>x－2，解得x>－1，即x的取值范圍為(－1，＋∞)．命題點(diǎn)二

函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用由方程f2(x)－f(x)－6＝0，得f(x)＝3或f(x)＝－2，所以方程f2(x)－f(x)－6＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為3.[思維建模]

已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法直接法直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍分離參數(shù)法將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決數(shù)形結(jié)合法先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解答案：B

顯然，f(x)在(0,1)和(1,2)上各存在一個(gè)零