2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷03一、單選題1．已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用列方程，即可求解.【解析】因為向量，，且，所以，解得：.故選：C2．拋物線的焦點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點坐標(biāo)求解即可【解析】由題意，拋物線的焦點坐標(biāo)為故選：C3．圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到圓心在直線上，即，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【解析】圓關(guān)于直線對稱，則圓心在直線上，即，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選：C4．若函數(shù)的圖象與直線有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．． C． D．【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當(dāng)直線過點A（-1，0）時，m=1；當(dāng)直線與半圓相切時：，解得或（舍去）；因為函數(shù)的圖象與直線有公共點，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：A5．已知是雙曲線的上、下焦點，點M是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點M，則下列說法不正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．點M的橫坐標(biāo)為C．的面積為 D．以為直徑的圓的方程為【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出漸近線方程，以為直徑的圓的方程，點坐標(biāo)，的面積然后判斷各選項．【解析】由雙曲線方程知，焦點在軸，漸近線方程為，A正確；，以為直徑的圓的方程是，D錯；由得或，由對稱性知點橫坐標(biāo)是，B正確；，C正確．故選：D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，且，則實數(shù)的值是（

）A．3 B．或4 C．4 D．3或4【答案】D【分析】實質(zhì)上是一個斜率與另一個斜率的倒數(shù)和，進而得到四點共線，即可求解.【解析】解：圓配方得設(shè)中點為，，圓心，根據(jù)對稱性，則，因為所以，即，因為共線，所以，即，化簡得，解得或.故選：D7．點M是棱長為3的正方體中棱AB的中點，，動點P在正方形（包括邊界）內(nèi)運動，且面DMN，則PC的長度范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，進而求得長度的取值范圍.【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，依題意，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)，，,，由于平面，所以，則，，，.函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以在上遞減，在上遞增.，，，所以長度的取值范圍是.故選：B8．已知拋物線）的焦點為F，過F且傾斜角為的直線l與拋物線相交于A，B兩點，，過A，B兩點分別作拋物線的切線，交于點Q.則下列四個命題中正確的個數(shù)是（

）個.①；②若M（1，1），P是拋物線上一動點，則的最小值為；③（O為坐標(biāo)原點）的面積為.；④，則.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用求得，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)、拋物線的定義、三角形的面積、兩角差的正切公式對命題進行分析，從而確定正確答案.【解析】拋物線的焦點為，直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，.，由得，所以拋物線方程，，不妨設(shè)在第一象限，在第二象限，則，，設(shè)，，設(shè)，所以，所以，①正確.到拋物線準(zhǔn)線的距離為，結(jié)合拋物線的定義可知，的最小值是，②正確.到直線的距離為，所以，③錯誤.，，④正確.所以正確的有個.故選：C【點睛】求解直線和拋物線相交所得交點有關(guān)的問題，關(guān)鍵是聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求來對問題進行求解.二、多選題9．下列結(jié)論正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．已知，O為坐標(biāo)原點，點是圓外一點，直線的方程是，則與圓相交C．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為D．直線的傾斜角的取值范圍是【答案】BD【分析】由題意利用直線的傾斜角和斜率、直線的方程，直線與圓的位置關(guān)系，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解析】解：對于A，由直線與直線互相垂直，，化為，解得或，“”是“直線與直線互相垂直”的充分但不必要條件，故A錯誤；對于B，因為點是圓外一點，所以，所以圓心到直線的距離，可得與圓相交，故B正確；對于C，已知直線和以，為端點的線段相交，則、兩個點在直線的兩側(cè)或直線上，則有，解可得或，故C錯誤；對于D，設(shè)直線的傾斜角，則,，故的取值范圍是，故D正確.故選：BD.10．下列方程的圖形為拋物線的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用方程表示的幾何意義并結(jié)合拋物線定義判斷A，B，C，利用方程直接判斷D作答.【解析】對于A，方程化為表示點到定點的距離與到定直線的距離相等，且定點不在定直線上，原方程表示的圖形是拋物線，A是；對于B，方程表示點到定點的距離與到定直線的距離相等，而定點在定直線上，原方程表示的圖形不是拋物線，B不是；對于C，方程表示點到定點的距離與到定直線的距離相等，且定點不在定直線上，原方程表示的圖形是拋物線，C是；對于D，方程化為，方程表示的圖形是拋物線，D是.故選：ACD11．已知在直三棱柱中，底面是一個等腰直角三角形，且分別為的中點.則（

）A．與平面夾角余弦值為B．與所成角為C．平面D．平面平面【答案】BCD【分析】對于A、B：建系，利用空間向量處理相關(guān)角度問題；對于C：根據(jù)線面平行的判定定理證明；對于D：利用線面垂直的判定定理先證平面，可得，再證平面，進而說明結(jié)果.【解析】對于A、B：如圖1，建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)，則有：∴設(shè)平面的法向量為則有，令，則∴則∴與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯誤；∵∴與所成角的余弦值為，則夾角為，B正確；如圖2：對于C：連接，設(shè)，連接分別為的中點，則且∴為平行四邊形，則O為的中點又∵F為的中點，則平面，平面∴平面，C正確；對于D：平面即為平面由題意可得：，平面∴平面平面，則又∵為正方形，則，平面平面平面∴平面平面，即平面平面，D正確；故選：BCD.12．已知的左，右焦點分別為，，長軸長為4，點在橢圓C外，點Q在橢圓C上，則下列說法中正確的有（

）A．橢圓C的離心率的取值范圍是B．已知，當(dāng)橢圓C的離心率為時，的最大值為3C．存在點Q使得D．的最小值為1【答案】ACD【分析】易得，再根據(jù)點在橢圓C外，可得，從而可求得的范圍，再根據(jù)離心率公式即可判斷A；根據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點，根據(jù)兩點的距離公式結(jié)合橢圓的有界性即可判斷B；當(dāng)點Q位于橢圓的上下頂點時取得最大值，結(jié)合余弦定理判斷是否大于等于即可判斷C；根據(jù)結(jié)合基本不等式即可判斷D.【解析】解：根據(jù)題意可知，則橢圓方程為，因為點在橢圓C外，所以，所以，所以，則離心率，故A正確；對于B，當(dāng)橢圓C的離心率為時，，所以，所以橢圓方程為，設(shè)點，則，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，當(dāng)點Q位于橢圓的上下頂點時取得最大值，此時，，即當(dāng)點Q位于橢圓的上下頂點時為鈍角，所以存在點Q使得為直角，所以存在點Q使得，故C正確；對于D，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為1，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．直線的一個方向向量的單位向量的坐標(biāo)是________【答案】【分析】由題可得直線的一個方向向量為，進而即得.【解析】由可得，所以直線的一個方向向量為，其模長為，所以直線的一個方向向量的單位向量的坐標(biāo)是.故答案為：.14．已知橢圓：的焦點為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點，以，（為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點恰好也在橢圓上，則______．【答案】【分析】根據(jù)四邊形為平行四邊形且可得，將其代入橢圓方程即可求解.【解析】依題意可知，設(shè)，，因為四邊形為平行四邊形，所以，又因為，，所以，因為，且直線的傾斜角為60°，所以，所以，，，所以，將其代入，得，又因為，所以，．故答案為：15．已知單位空間向量，，滿足，.若空間向量滿足，且對于任意實數(shù)，的最小值是2，則的最小值是___________.【答案】【分析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得坐標(biāo)，由二次函數(shù)求最值即可求得最小值.【解析】以，方向為軸，垂直于，方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由可設(shè)，由是單位空間向量可得，由可設(shè)，，當(dāng)，的最小值是2，所以，取，，，當(dāng)時，最小值為.故答案為：.16．如圖，等腰梯形中，，，，為上一點，且，為的中點.沿將梯形折成大小為的二面角，若內(nèi)（含邊界）存在一點，使得平面，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】先證明就是二面角的平面角.當(dāng)時，不存在這樣的點Q;當(dāng)時，點Q恰好是AE的中點.此時.當(dāng)時，以點E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分析得到，解不等式即得解.【解析】如圖所示，由于梯形是等腰梯形，所以.折疊之后，.所以就是二面角的平面角.當(dāng)時，不存在這樣的點Q;當(dāng)時，點Q恰好是AE的中點.此時.當(dāng)時，以點E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則E(0,0,0),B，.設(shè)Q在平面ABE內(nèi)，.所以,.,由題得.所以點Q在△ABE的中位線GH上，所以點Q的縱坐標(biāo).由題得所以.所以，所以.所以此時.綜上所述，.故答案為：【點睛】本題主要考查空間二面角的范圍的計算，考查空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查立體幾何的探究性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.四、解答題17．已知直線.(1)當(dāng)a=1時，求兩直線的距離；(2)若.求a的值；(3)寫出原點到直線的距離，并求出該距離的最大值.【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）利用兩平行線間的距離公式求解即可；（2）利用兩直線垂直時斜率的關(guān)系求解即可；（3）先利用點到直線的距離公式，再分析最小值即可求解(1)當(dāng)a=1時，，所以兩直線的距離為；(2)若，則，解得；(3)原點到直線的距離為，當(dāng)時，18．已知幾何體ABCDEF中，平面ABCD⊥平面CDEF，四邊形ABCD是邊長為4的菱形.∠BCD=60°，四邊形CDEF是直角梯形，EFCD，ED⊥CD，且EF=ED=2.(1)求證：AC⊥BE：(2)求平面ADE與平面BCF所成角的余弦值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由線線垂直得到線面垂直，進而證明出AC⊥BD；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦.（1）連接BD，因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因為平面ABCD⊥平面CDEF，交線為CD，ED⊥CD，ED平面CDEF，所以ED⊥平面ABCD，因為AC平面ABCD，所以ED⊥AC，因為BDED=D，所以AC⊥平面BDE，因為BE平面BDE，所以AC⊥BD（2）取BC的中點G，連接DG，BD，因為∠BCD=60°，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，所以DG⊥BC，因為AD∥BC，所以DG⊥AD，以D為坐標(biāo)原點，DA所在直線為x軸，DG所在直線為y軸，DE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面BCF的法向量為，則，解得：，令，則，平面ADE的法向量為，設(shè)平面ADE與平面BCF所成角為，顯然為銳角，則19．已知點，圓C：，l：.(1)若直線過點M，且被圓C截得的弦長為，求該直線的方程；(2)設(shè)P為已知直線l上的動點，過點P向圓C作一條切線，切點為Q，求的最小值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）求出圓的圓心到直線的距離，再利用垂徑定理計算列方程計算；（2）由題意可知當(dāng)最小時，連線與已知直線垂直，求出，再利用計算即可.(1)由題意可知圓的圓心到直線的距離為①當(dāng)直線斜率不存在時，圓的圓心到直線距離為1，滿足題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過的直線方程為：，即由點到直線距離公式列方程得：解得綜上，過的直線方程為或.(2)由題意可知當(dāng)最小時，連線與已知直線垂直，由勾股定理知：，所以的最小值為.20．若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，A1，A2分別為橢圓C1的左，右頂點．橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C1于點H．求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，設(shè)橢圓的方程為，且，根據(jù)兩個橢圓“相似橢圓”，求得，即可求解；（2）不妨設(shè)，代入，求得，把代入橢圓，求得，結(jié)合，即可求解.(1)解：由橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的方程為，且，因為兩個橢圓“相似橢圓”，可得，解得，所以橢圓的方程為.(2)證明：不妨設(shè)，其中，則，可得，把代入橢圓，可得，所以，所以，所以所以.21．如圖，四邊形ABCD為梯形，，，，點在線段上，且．現(xiàn)將沿翻折到的位置，使得．(1)證明：；(2)點是線段上的一點（不包含端點），是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，則求出；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證得；（2）利用線面垂直的判定定理證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的方法即可求解.(1)證明：因為四邊形ABCD為梯形．，，，所以，，，，，，即，，在中，過P作，垂足為F，連接BF．在中，，，所以．在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，所以，即．又，平面BFP，所以平面．又平面，所以．(2)在△FCE中，，，，，．又，，平面，平面．又平面，．又，，平面，平面．以B為原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，．設(shè)，則．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，則．因為二面角的余弦值為，所以，解得或（舍），所以存在點M，使得二面角的余弦值為，此時．22．已知M，N為橢圓和雙曲線的公共頂點，，分別