合同變換法培訓平方和的形式？若能，如何作非退化線性替換？問:任意二次型能否經(jīng)過適當非退化線性替換化成二次型中非常簡單的一種是只含平方項的二次型它的矩陣是對角陣第五章二次型§2標準形證明：對二次型變量個數(shù)n作歸納法.假定對n－1元二次型結(jié)論成立.下面考慮n元一、二次型的標準形線性替換化成平方和的形式.

定理1數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)過非退化n=1時，結(jié)論成立.二次型1、任意二次型的化簡（配方法）第五章二次型§2標準形第五章二次型§2標準形

這里，

是一個.的n－1元二次型.配方法第五章二次型§2標準形它是非退化的，且使第五章二次型§2標準形使它變成平方和

于是，非退化線性替換

由歸納假設(shè)，對有非退化線性替換第五章二次型§2標準形就使變成2）

但至少有一個

不妨設(shè)

作非退化線性替換：

第五章二次型§2標準形不為零.由情形1）知，結(jié)論成立.則

這是一個的二次型，且的系數(shù)

第五章二次型§2標準形這是一個n－1元二次型，由歸納假設(shè)，結(jié)論成立.

總之，數(shù)域P上任一二次型都可經(jīng)過非退化線性替換化成平方和的形式.即3）

由對稱性，

第五章二次型§2標準形2、二次型的標準形的定義所變成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的標準形是存在的.

2）可應(yīng)用配方法得到二次型的標準形.二次型

經(jīng)過非退化線性替換

的一個標準形.

稱為

第五章二次型§2標準形則

解：作非退化線性替換

例1、求的標準形.第五章二次型§2標準形或最后令

則

或

再令

第五章二次型§2標準形所作的非退化線性替換是

即

則

第五章二次型§2標準形定理2數(shù)域P上任一對稱矩陣合同于一個證：對A的級數(shù)作歸納法.假定對n－1級對稱矩陣結(jié)論成立，考慮n級矩陣A，分四種情形討論：

使C′AC為對角矩陣．

即若A′＝A，則存在可逆矩陣n＝1時，為對角陣,結(jié)論成立.設(shè)對角矩陣.第五章二次型§2標準形這里這里A1為n－1級對稱矩陣.第五章二次型§2標準形則

這里

是n－1級對稱矩陣，第五章二次型§2標準形為對角矩陣.由歸納假設(shè)，存在可逆矩陣G，使

為對角矩陣.令

則令

則C可逆，且

為對角矩陣.第五章二次型§2標準形其中

歸結(jié)為情形1，結(jié)論成立.令

，則

3)

但有一個

則

令

顯然

2)但有一個

第五章二次型§2標準形歸結(jié)為情形1）.則

4)

由對稱性,有于是

為n－1級對稱矩陣.第五章二次型§2標準形為對角矩陣.為對角矩陣.由歸納假設(shè)，有n－1級可逆矩陣G，使

令則第五章二次型§2標準形例2根據(jù)定理2，求例1中二次型的標準形.令解：的矩陣為第五章二次型§2標準形令令第五章二次型§2標準形為對角矩陣.第五章二次型§2標準形作非退化線性替換X＝CY，則即得的標準形第五章二次型§2標準形另解:取取取第五章二次型§2標準形則第五章二次型§2標準形二、合同的變換法（1）互換矩陣的

兩行，再互

換矩陣的

兩列;1.定義：合同變換是指下列三種變換

（2）以數(shù)k（

)乘矩陣的第i行；再以數(shù)k乘（3）將矩陣的第i行的k倍加

到第

行，再將第

列

的k倍加到第

列（).

矩陣的第i列.第五章二次型§2標準形2.合同變換法化二次型為標準形

又，設(shè)對稱矩陣A與對角矩陣D合同，則存在可逆矩陣基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ'ＡＣ.

若

為初等陣，則第五章二次型