附錄C：一些重要的概率分布附錄C總結F

分布t分布分布正態(tài)分布C.1C.2C.3C.4C.52附錄C表示密度函數正態(tài)變量的概率密度：3C.1

正態(tài)分布（normal

distribution）最重要的一種概率分布。連續(xù)型分布。附錄C正態(tài)分布的圖形68.3%u95.4%99.7%4附錄CC.1.1正態(tài)分布的性質分布曲線下的面積約有68%位于

之間；約95%位于

之間?？捎删岛头讲顑蓚€參數來描述。兩個或多個正態(tài)隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的偏度S=0

，峰度K=368.3%95.4%99.7%5分布曲線以均值為中心對稱。分布曲線呈中間高、兩邊低，在均值最高。附錄C例4.1：令X表示在曼哈頓非商業(yè)區(qū)一花商每日出售的玫瑰6花數量，Y表示在曼哈頓商業(yè)區(qū)一花商每日出售的玫瑰花的數量，假定X和Y服從正態(tài)分布，且相互獨立，并有：

X~N(100,64)，Y~N(150,81)，求兩天內兩花商出售玫瑰花數量的和的期望和方差？解：設隨機變量W表示兩天內兩花商出售玫瑰花數量的和，則有：

W=2X+2Y則因為X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布，所以W也服從正態(tài)分布，且期望為：E(W)

=

E(2X+2Y)

=

2E(X)

+

2E(Y)

=

200+300

=

500方差為：Var(W)=Var(2X+2Y)=4Var(X)+4Var(Y)=4*64+4*81=580所以：W~N(500,580)附錄CC.1.2

標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布：均值為0，方差為1時的正態(tài)分布。當標準正態(tài)分布密度函數參考正態(tài)分布密度函數標準正態(tài)分布的性質任何給定均值和方差的正態(tài)變量X都可以轉化為標準正態(tài)變量。用新變量Z替換：7附錄C(a)同方差，不同均值8(b)不同方差，同均值(c)不同方差，不同均值附錄C例4.2（掌握標準正態(tài)分布表的使用方法）變量X表示面包房每日出售的面包量，假定其服從均值為70，方差為9的正態(tài)分布，即X～N(70,9)，任給一天，求（1）出售面包數量大于75的概率。（2）出售面包數量小于等于75的概率。出售面包數量在65與75之間的概率。出售面包數量在大于75或小于65的概率。例3.109附錄C解：（1）10（2）（3）（4）附錄CC.1.3

從正態(tài)總體中隨機抽樣11可從一給定均值和方差的正態(tài)總體中生成一隨機樣本。也可以利用標準正態(tài)分布的隨機樣本，將它轉化不同均值和方差的正態(tài)分布。許多統(tǒng)計軟件包都有從常用的概率分布獲得隨機樣本的程序，稱為隨機數字生成器（random

numbergenerators）。見Excel文件。附錄CC.1.4

樣本均值

的抽樣分布或概率分布隨機抽樣與簡單隨機樣本隨機抽樣(random

sampling)：最常用的抽取樣本的方法，它要求抽取的樣本滿足等可能性和獨立性，即每一個個體被抽取的可能性是相等的，且樣本各個體之間是相互獨立的。這樣抽樣得到的樣本被稱為簡單隨機樣本或獨立同分布隨機樣本（i.i.d）。(Independently

and

identically

distributedrandom

variables)例：X1，X2，…，Xn是從一個正態(tài)總體N(u,σ2)中抽取的一個簡單隨機樣本，則X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量，同服從N(u,σ2)。12附錄C統(tǒng)計量：不含未知參數的樣本的函數。例如樣本均值和樣本方差。13抽樣分布：樣本統(tǒng)計量的分布被稱為抽樣分布。例4.6：某總體服從正態(tài)分布，正態(tài)分布的均值為10，方差為4，即N(10,4)。從這個正態(tài)總體中抽取20個隨機樣本，每個樣本包括20個觀察值。對抽取的每個樣本，計算得到其樣本均值，因而可得到20個樣本均值，見Excel文件。附錄C通過實例我們可以看出，正態(tài)分布的i.i.d樣本的樣本均值也服從正態(tài)分布。實際上，我們可以嚴格證明下面這一結論：正態(tài)分布的樣本均值的抽樣分布也是正態(tài)分布。且有很容易利用標準正態(tài)分布表中計算某一給定樣本均值大于或小于某一給定的總體均值的概率。利用變換公式：14附錄C例4.7：令X表示某一型號汽車每消耗一加侖汽油所行駛的距離（英里）。已知X～N(20,4)，則對一個有25輛汽車組成的隨機樣本，求：（a）每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離大于

21英里的概率；15每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離小于

18英里的概率；每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離介于

19和21英里之間的概率。附錄C所以（a）（b）16（c）解：附錄C則樣本均值也服從

正態(tài)分布，且其均值為u，方差為

。即有：若

來自于的正態(tài)總體的隨機樣本。17C.1.5

中心極限定理前面已經知道：如果樣本不是來自于正態(tài)總體呢？附錄C如果樣本（u，方差為）是來自于任一總體（均值為）的隨機樣本，當樣本容量n無限增大時，其樣本均值將趨于正態(tài)分布，且其均值仍為u，方差為

。即：簡言之，若樣本容量足夠大，則來自于任意分布總體的隨機樣本，其樣本均值近似服從正態(tài)分布。這就是中心極限定理。18附錄C樣本均值的抽樣分布19正態(tài)總體來自正態(tài)總體的樣本樣本均值的抽樣分布非正態(tài)總體來自非正態(tài)總體的樣本附錄C我們已知這里假設的是總體的均值和方差都是已知的，如果總體均值已知，但總體方差未知，我們用樣本方差代替總體方差，得到一個新的統(tǒng)計量，它將服從自由度為n-1的t分布。C.2

t分布20附錄Ck=120（正態(tài)）k=10k=5圖3-9不同自由度下的t分布t

分布的性質與標準正態(tài)分布相似，具有對稱性。即偏度為零。均值為零，方差為t分布比標準正態(tài)分布峰低、兩側尾部厚一些。隨著k的增大，t分布將越來越接近于標準正態(tài)分布。21附錄C例4-8

再回到例4-2。在15天內，出售面包的平均數量為74條（樣本標準差為4條）。假定真實的期望值為

70條，求15天內售出面包平均數量大于74條的概率？分析：假定真實的標準差已知，則可通過標準正態(tài)分布變量Z來回答此問題。但現在僅知道真實標準差的估計量S，我們利用t統(tǒng)計量來回答這個問題：解：22附錄C注意在本例中，自由度為14=(15-1)，當自由度為14時，查表得：t值大于等于2.145的概率為0.025，t值大于等于2.624的概率為0.01，t值大于等于3.787的概率為0.001，23因此，所求t大于3.873的概率小于0.001。附錄C例4-9：上例中其它條件保持不變，現假定15天內出售面包的平均數量為72條，求大于此數量的概率？解：所求概率在0.025到0.05之間。24附錄C例4-10：現假定15天內，出售面包的平均數量為

68條，樣本標準差為4，若真實的平均出售量為70條，求出售面包平均數量小于68條的概率？解：相應概率為0.025到0.05之間。例4-11：求每天出售面包的平均數量在68條與72條之間的概率？解：相應概率為0.90到0.95之間。25附錄C例4-12：下面是1967-1990年間學生能力測試分數表：（見Excel文件：第4章）現抽取由10位男生語言能力測試分數組成的隨機樣本。其樣本均值和方差分別為440.60和137.60，若真實均值為440.42，求樣本均值大于440.60的概率。解：查表可得，此概率大于0.25，小于0.5。26附錄C標準正態(tài)分布的平方服從自由度（degrees

offreedom,

d.f.）為1的

分布。若這里定義自由度是平方和中獨立觀察值的個數。是k個相互獨立、同分布的隨機變量，其共同的分布為標準正態(tài)分布N(0,1)，則其平方和服從自由度為k的

分布，即有：服從自由度為k的

分布。27附錄C28x概率密度k=2k=5k=10取值范圍從0到無限大。自由度越大，偏度越小。期望為K，方差為2K。若兩個服從分布的隨機變量X1

，X2相互獨立，則（X1+X2）～附錄C例4-13：若自由度為30，求觀察到的觀察到的分布值大于13.78的概率；分布值大于18.49的概率；（3）大于50.89的概率？解：見書P388，查表可得，三個概率分別為0.995，0.95和0.01。29附錄C命題：若隨機樣本來自于方差為σ2的正態(tài)總體，其樣本容量為n，樣本方差為S2?？梢宰C明：30附錄CC.4

F分布F分布（Fdistribution）是經濟計量學中又一種重要的概率分布。定義：若

，且X和Y相互獨立，則有：定義：隨機樣本X1,

X2,

…,

Xm來自于均值為u1，方差為

的正態(tài)總體，其樣本容量為m；隨機樣本Y1,

Y2,

…,

Yn來自于均值為u2，方差為

的正態(tài)總體，其樣本容量為n，且這兩個樣本相互獨立。31附錄C如果兩總體同方差，有令有：32概率密F2,2F50,50F10,2附錄CF分布的性質F分布是右偏度分布，取值為0到無限大。當自由度k1,k2逐漸增大時，偏度越小。x3.t分布變量的平方服從分子自由度為1,分母自由度為k的F分布例如：4.33附錄C例4-15：回到例4-12，假定男、女生的語言能力的測試分數均服從正態(tài)分布，進一步假定它們的均值和方差是相同的。根據得到的兩個樣本方差，能否認為兩總體是同方差的？34解：其實這是一個假設檢驗問題，要檢驗兩總體是否同方差，可以利用F統(tǒng)計量。零假設為：兩總體同方差；備擇假設為：兩總體方差不同。利用兩個樣本的樣本方差計算得到F值為2.1353，在0.1的顯著水平下，落入拒絕域，所以認為在0.1的顯著水平下，兩總體的方差是不同的。附錄C例4-16：兩個班級進行同樣的經濟計量學測試。一個班級有100名學生，另一個班級有150名學生。從第一個班級中隨機抽取25個學生，從第二個班級中隨機抽取31個