2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）計數(shù)原理單元測試

（X--）0

1、X的展開式中的常數(shù)項為（）

A.20B.-20C.15D.-15

2、若（5x-y）”展開式的系數(shù)之和等于（2019.+201助）1°展開式的二項式系數(shù)之和,

則n的值為（）

A.15B.10C.8D.5

3、若3C?J=5Ad,則n的值是（）

A.11B.12C.13D.14

4、（2x—l）5的展開式中/的系數(shù)是（）

A.-80B.80C.—5D.5

5、某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個年級各

兩名，分乘甲、乙兩輛汽車.每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置），

其中大一的李生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自

于同一年級的乘坐方式共有（）

A.24種B.18種C.48種D.36種

6、

已知（2+以）（1-2呼的展開式中，含一項的系數(shù)為70,則實數(shù)。的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

7、二項式（正-子1的展開式中常數(shù)項為（）

A.5B.10C.-20D.40

8、5個A,5個B,5個C排成一排，前5個字母沒有A,中間5個字母沒有B,最

后5個字母沒有C,則不同的排法共有（）種

5151

A.＞（Cf）3B.C.325D.315

h5（51）3

9、A.B.C.D.E共5人站成一排，如果A.B中間隔一人，那么排法種數(shù)有（）

A.60B.36C.48D.24

10、現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三從兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為

（）

p3.p3Ps_P6.p3p3.n5p8_p4

A.GJB.63C.65D.s6

11、有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個班去作學(xué)習(xí)經(jīng)驗交流，則每個班至少去一名的

不同分派方法種數(shù)為（）

A.150B.180C.200D.280

12、如圖，在某海岸P的附近有三個島嶼Q,R,S,計劃建立三座獨立大橋，將這

四個地方連起來，每座橋只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接

方式有（）.

0

、----

p

A.24種B.20種C.16種D.12種

13、

(l+-)(l+2x)n

已知(1+展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,則x展開式中常數(shù)

項為.

14、已知”=1sinxdx,則(x+——)‘的展開式中的常數(shù)項是_________.

Joax

15、〃個人參加某項資格考試，能否通過，有種可能的結(jié)果？

16、用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號為1,2,…,9的9個小正方形(如下圖)，

使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為“1、5、9”

的小正方形涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有種.

□O

□匚□

1

17、已知集合A可表示為｛a,a2,a｝,求實數(shù)a應(yīng)滿足的條件.

18、設(shè)全集U=R,M=｛，川方程/蘇-x-l=0有實數(shù)根｝

N=｛川方程^_x+〃=o有實數(shù)根｝,求(「加)0乂

19、已知M)的展開式中第二項與第三項的二項式系數(shù)之和為36.

(I)求〃的值；

3

(II)求展開式中含戶的項及展開式中二項式系數(shù)最大的項.

(2_r｝''

20、若二項式“的展開式中的常數(shù)項為第5項.

⑴求n的值；

(2)求展開式中系數(shù)最大的項；

21、求(l+2x-3/)6的展開式中式項的系數(shù).

22、求二項式(近-4產(chǎn)的展開式中:

(1)第三項；(2)所有有理項.

參考答案

1、答案C

(X2—)61_0k,2、6-k,-l?k_/11k-k12-3k

x的展開式的通項Tk+l=Cqx)(-x)=(-1)C6x,令12-3k=0,得k=4,即常

44

數(shù)項為(-1)。6=15；故選C.

2、答案D

由二項式定理可得(2019。+2。18份”>展開式的二項式系數(shù)之和為210,(5x->)“展開式

的系數(shù)之和(5-1)=4\再列方程求解即可.

詳解

解：由題意有(2°19。+201昉)'°展開式的二項式系數(shù)之和為嚴(yán)，

令x=l,y=l,則(5x-y)"展開式的系數(shù)之和(5T)=4\

即4"=2,所以"=5，

故選:D.

名師點評

本題考查了二項式展開式系數(shù)及展開式二項式系數(shù)，重點考查了二項式定理，屬基礎(chǔ)題.

3、答案A

4、答案A

5、答案A

根據(jù)題意，由于大一的李生姐妹需乘同一輛車，那么如果甲車4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)

是大一的李生姐妹，那么只需從剩余的6人中任意選兩個人，有C；C；C；=12種，或者

甲車4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)不是大一的李生姐妹，而是大二，大三或者大四，則有C；,

然后從剩余的6人中任意選兩個人，有C；C；=4種，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可知為

12+12=24,故選A.

6、答案A

(2+辦)(1-2x)5=2(]_24+or(l-2X)’

(1—2x)5展開式的通項公式為：&=Gxl5-rx(—2。=(一2)’GV,

取「=2,含有V的項為：2x(—2)2go/,

取廠=1,含有一的項為：^(-2)'C5X1=-10ax2,

結(jié)合題意由：80-10。=70,解得：a=\.

本題選擇A選項.

7、答案D

仁跖）3（—壬2=40

由題可知,展開式中的常數(shù)項為，故選口.

8、答案A

9、答案B

解：因為將A,B排列有A；,然后選一個人排在中間，作為整體共有C；,然后其余的人任

意排列即可共有A；,利用分步計數(shù)乘法原理得到共有C；A；&=36,選B

12..將4個不同的球放入3個不同的盒中，每個盒內(nèi)至少有1個球，則不同的放法種數(shù)

為（）

A.24B.36C.48D.96

答案B

解：因為將4個不同的球放入3個不同的盒中，每個盒內(nèi)至少有1個球，則

G4G用=36種，選B

4=1+1+2,分為三組，然后分配，則不同的放法種數(shù)為

4

10、答案c

先排剩下5人，再從產(chǎn)生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即年.6,選

C.

11、答案A

試題分析：根據(jù)題意，分析可得人數(shù)分配上有兩種方式即1,2,2與1,1,3,分別計

算兩種情況下的情況數(shù)目，相加可得答案.

試題解：人數(shù)分配上有兩種方式即1,2,2與1,1,3.

C3c1

若是1,1,3,則有3=60種，

4A3

2c2

若是1,2,2,則有-532x3=90種

A2A3

A2

所以共有150種不同的方法.

故選：A.

考查目的：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

點評：本題考查排列、組合的運用，難點在于分組的情況的確定.

12、答案D

由建橋的方式可以分為兩類：（1）從一個地方出發(fā)向其他三個地方各建一橋，（2）一個

地方最多建兩橋但不能交叉，利用去雜法，即可求解.

詳解：由建立三座大橋，將這四個地方連起來，每座橋只連接兩個地方，且不出現(xiàn)立體

交叉形式，

可分為兩類：

第一類：從一個地方出法向其他三個地方各建一座橋，共有4種不同的方法；

第二類：一個地方最多建兩座橋，如這樣的建橋方法：尸-5-/?一。和°一;?一5一尸屬于

LA：=12

相同的建橋方法，所以共有2種不同的方法，

其中交叉建橋方法，例如：這樣建橋P-Q，。一旦Q-S不符合題意，共有4種，

所以第二類建橋，共有12-4=8種不同的建橋方法.

綜上可得，不同的連接方式有4+8=12種.

故選：D

名師點評

本題主要考查了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，以及排列的計算公式的應(yīng)用，

著重考查分析問題和解答問題的能力，屬于較難試題.

13、答案61

(l+H(l+2x)n

分析：根據(jù)題設(shè)可列出關(guān)于n的不等式，求出n=6,代入可求x展開式中常

數(shù)項為61.

-3

詳解：r(l+2x)的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，即%最大，

32

"\r3r4

Fnf,解得5<n<7,

*

又n6N,???n=6,

1n

(1+—)(l+2x)022_

則X展開式中常數(shù)項為‘6+C6?2=61

名師點評：在二項展開式中，有時存在一些特殊的項，如常數(shù)項、有理項、系數(shù)最大的

項等等，這些特殊項的求解主要是利用二項展開式的通項公式L+1.

14、答案160

15、答案〃

每個人都有通過或不通過2種可能，共計有2'2、...*2(〃個2)=2"

16、答案108

17、答案aWO,aWl,aWT.

試題分析：分析：利用元素的互異性求解.

1

a工一

（a

1a2」

詳解：由題意可得A二｛a,a：斗，由集合中元素的互異性可得1aa,解得

aWO,aWl,aWT.故實數(shù)a應(yīng)滿足的條件為a7^0,aWl,aWT.

名師點評：本題考查集合中元素的互異性，由集合中元素兩兩不等，可得a的范圍.

18>答案當(dāng)m=0時，x=-l,KP0eM；當(dāng)相。0時，△=1+4/%之0,即加之一!，

4

且機WOAm>CJJM-|m<1而對于N,△=1-4〃20,即〃W；,

***N=|〃W—j,*,?：

19、答案（I）8；（II）1120~.

x6

試題分析：分析：（1）由條件利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值；

（2）二項展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)等于士，求得r的值，可得展開式中含爐

2

的項,進(jìn)而得到展開式中二項式系數(shù)最大的項.

詳解：（I）由題意知，第二項的二項式系數(shù)為C：,第三項的二項式系數(shù)為C：,

.y+q=36,得：/+〃—72=（）,

:G*除■電?。

得〃=8或〃=一9（舍去）.

（□）（&-的通項公式為:

I-V）

r\8-5A

Tk+]=以（五嚴(yán)（—彳）《=（-1）*2*。?亍，令8-5k=3,求得k=l,

x~

333

故展開式中含妙的項為4=-2以/=_]6/.

又由”=8知第5項的二項式系數(shù)最大，此時r

名師點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性

質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5

20、答案(1)10；(2)15360x6.

試題分析：(1)根據(jù)二項式的展開式的通項公式求出n的值，(2)根據(jù)二項式的展開式

的通項公式系數(shù)列不等式組，解得系數(shù)最大時的項數(shù)，再代入通項公式得結(jié)果.

詳解

⑴因為二項式的展開式的通項公式為L+1=4展)的,

所以X的指數(shù)為-7+；.

又因為囁+底)的展開式中的常數(shù)項為第五項，

n-44

所以r=4,且-^"+『0,解得n=10.

(2)因為Tr+l=C：。電(2其系數(shù)為C>21°：

設(shè)第k+l(kCN)項的系數(shù)最大，

k.10-kk+1.9-k

'Jo/-^10乙

l2(k+l)>10-k,811

化簡得lU-k“k,即

55

因為k^N,所以k=3,即第四項系數(shù)最大，且T4=C]=27-X'=15360X：

名師點評

本題考查二項式的展開式的通項公式及其應(yīng)用，考查綜合分析與運算能力