2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素第將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填

寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)'座位號(hào)及科目，在規(guī)

定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉗篦把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答窠標(biāo)號(hào)涂

黑,如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非諉擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若z=-l+百i,則二^—=

zz-1

A.-l+73iB.-l-73iC.」+烏D.烏

3333

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取

10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位

社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

則

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

理科數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共5頁(yè)）

3.設(shè)全集0={-2,-1,0,123},集合.4={-1.2},8={xH-4x+3=0},則4"UB)=

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D?{-2,0}

4.如圖,網(wǎng)格詆上繪制的是一個(gè)兔面？的視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多

面體的體積為

A.8

B.12

C.16

D.20

5.函數(shù)y=(3'-3T)cosx在區(qū)間［-宗今的圖像大致為

6.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值-2,則，(2)=

X

7.在長(zhǎng)方體44GA中,已知*D與平面,4CD和平面44避3所成的角均

為30。，則

A.AB=2ADB.四與平面486。所成的角為30。

C.AC=CB[D.BQ與平面BB|GC所成的角為45。

理科數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共5頁(yè))

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的

“會(huì)圓術(shù)”.如圖，益是以O(shè)為圓心，。4為半徑的圓

弧，C是的中點(diǎn)，。在港上，CDA.AB.“會(huì)圓

術(shù)”給出港的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：

CD1

s=AB+^=-.當(dāng)0/=2,2/08=60°時(shí)，s=

OA

411-3方,11-4>5

22

、9-3后9-4^

?------------------nU.------

22

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2冗，側(cè)面積分別為鼻

和電，體積分別為％和左.若*=2,則七=

S乙V乙

A.V5B.2式C.710D.

4

10.橢圓(7:m+號(hào)=1(。>6>0)的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P,0均在C上，且關(guān)于V軸對(duì)稱.

若直線"，/。的斜率之積為：，則C的離心率為

4

A.BB.#C.1

D.-

2223

11.設(shè)函數(shù)/(x)=sin(ox+/)在區(qū)間(0,n)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范

國(guó)是

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)向量%￡的夾角的余弦值為:，且］a|=l,\b\=3,貝lj(2a+b)/=.

14.若雙曲線y-三=l(m>0)的漸近線與圓，+/一47+3=0相切，則加=1.

m

理科數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共5頁(yè))

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

Ar

16.已知△4BC中，點(diǎn)。在邊8c上，408=120。，AD=2,CD=2BD.當(dāng)絲?取

AB

得最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

2S

記為數(shù)列｛｝的前"項(xiàng)和.已知一￡+?=2a”+1

5qn

(1)證明：｛4｝是等差數(shù)列：

(2)若4,多,%成等比數(shù)列，求g的最小值.

18.(12分)

在四棱錐P-4BCD中，PDJ.底面"8,

CDHAB,AD=DC=CB=1,AB=2,。尸=道.

(1)證明：BDLPA；

(2)求尸。與平面R4B所成的角的正弦值.

19.(12分)

甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得

。分，沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)

項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率：

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.(12分)

設(shè)拋物線C:必=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。(p,0),過(guò)尸的直線交C于M,N兩

點(diǎn).當(dāng)直線MZ)垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線MD,即與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4,B,記直線MM,"的傾斜

角分別為a，P.當(dāng)a-2取得最大值時(shí)，求直線48的方程.

理科數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共5頁(yè))

21.（12分）

已知函數(shù)/(x)=^--lnx+x-a.

x

(1)若/(x)NO,求。的取值范圍：

(2)證明,若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)看，與，則x內(nèi)<1.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做

的第一題計(jì)分.

22.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程J(10分)

'_2+，

在直角坐標(biāo)系X。中，曲線G的參數(shù)方程為(，為參數(shù))，曲線G的參

y=Jt

(2+s

IX=—.

數(shù)方程為6(s為參數(shù)).

［,=_5/?

(1)寫(xiě)出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程

為2cos9-sine=0