第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第3課時空間中直線、平面的垂直學(xué)習(xí)任務(wù)1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關(guān)系．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內(nèi)一點(diǎn)及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運(yùn)算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．下面我們就利用向量來研究垂直問題．知識點(diǎn)空間中直線、平面垂直的向量表達(dá)式位置關(guān)系向量表達(dá)式線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2＝0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ＝λn面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． (

)提示：兩條直線可能異面垂直．(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內(nèi)的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0． (

)提示：根據(jù)線面垂直的定義可知．×√(3)兩個平面垂直，則其中一平面內(nèi)的直線的方向向量與另一平面內(nèi)的直線的方向向量垂直． (

)提示：也可能平行．(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． (

)提示：由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β．×√關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1直線和直線垂直類型2直線和平面垂直類型3平面與平面垂直

類型1直線和直線垂直【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動．求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF．

反思領(lǐng)悟

用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟(1)基底法：①選取三個不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，計(jì)算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．(2)坐標(biāo)法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)；②根據(jù)所求出點(diǎn)的坐標(biāo)求出兩直線方向向量的坐標(biāo)；③計(jì)算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)．求證：EF⊥BC．

法二：(坐標(biāo)法)由題意，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作垂直于BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

類型2直線和平面垂直【例2】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點(diǎn)．求證：B1E⊥平面AED1．

反思領(lǐng)悟

證明直線與平面垂直的方法(1)選基底，將相關(guān)向量用基底表示出來，然后利用向量的計(jì)算來證明．(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)(坐標(biāo))的運(yùn)算，以達(dá)到證明的目的．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點(diǎn)．求證：EF⊥平面B1AC．

法二：設(shè)正方體的棱長為2，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．

類型3平面與平面垂直【例3】

(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)．求證：平面BEF⊥平面ABC．

反思領(lǐng)悟

證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．[證明]

由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．∴n2＝(1，－1，4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)03

1234B

[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]√12342．若直線l的一個方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則(

)A．l∥α

B．l⊥α

C．l?α

D．l與α斜交B

[∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α．]√12343．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長為2，點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點(diǎn)，且CF⊥B1E，則點(diǎn)F(0，y，z)滿足方程(

)A．y－z＝0B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0D．z－1＝0

√12344．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為____．5

[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]5回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．兩直線垂直的向量表達(dá)式是什么？提示：設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0．2．直線和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？提示：設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn．3．平面和平面垂直的向量表達(dá)式是什么？提示：設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0．4．證