專題24尺規(guī)作圖（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1尺規(guī)作線段或角】 1【考點2尺規(guī)作三角形】 5【考點3尺規(guī)作角平分線】 9【考點4尺規(guī)作垂線或垂直平分線】 12【考點5尺規(guī)作等腰三角形】 18【考點6尺規(guī)作圓】 25【考點7尺規(guī)作圓的切線】 29【考點8尺規(guī)作正多邊形】 35【考點9格點作圖】 39【考點10無刻度直尺作圖】 45【考點1尺規(guī)作線段或角】【例1】（2022·江蘇揚州·校考二模）如圖，用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，能得出∠A′O′A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【答案】B【分析】首先連接CD、C′D′，從作圖可知OD=OD′=OC=OC【詳解】解：∠A理由是：連接CD、C′從作圖可知OD=OD′=OC=O∵在△ODC和△OOD=O∴△ODC≌△O∴∠A故選B．【點睛】本題主要考查對尺規(guī)作圖法作一個角等于已知角的理解，熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·廣西貴港·中考真題）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）：如圖，已知線段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】見解析【分析】作直線l及l(fā)上一點A；過點A作l的垂線；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【詳解】解：如圖所示：△ABC為所求．注：（1）作直線l及l(fā)上一點A；（2）過點A作l的垂線；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【點睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．【變式1-2】（2022·廣東韶關(guān)·?？级＃┤鐖D，已知正方形ABCD，點E是BC邊上的一點，連接DE．(1)請用尺規(guī)作圖法，在CD的延長線上截取線段DF，使DF=(2)在（1）的條件下，連接AF．求證：△AFD≌△DEC．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】（1）按照題意作出圖形即可；（2）利用SAS即可證明△AFD≌△DEC．【詳解】（1）解：如圖，DF即為所求；；（2）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠C=∠ADC=90°，∴∠ADF=180°-∠ADC=90°，∴∠ADF=∠C=90°，又∵DF=CE，∴△AFD≌△DEC（SAS）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，尺規(guī)作圖，關(guān)鍵是正確畫出圖形，掌握全等三角形的判定定理．【變式1-3】（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測）已知：如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°．求作：射線CG，使得CG∥AB．下面是小甲同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：如圖2①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AC，AB于D，E兩點；②以點C為圓心，AD長為半徑作弧，交AC的延長線于F點；③以點F為圓心，DE長為半徑作弧，與②中作的弧在∠FCB內(nèi)部交于點G；④作射線CG.所以射線CG就是所求作的射線．根據(jù)小甲同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，請使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)，并完成證明．【答案】見詳解【分析】根據(jù)要求作出圖形，再利證明三角形全等，進而即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，射線CG即為所求．連接FG，DE，在△ADE和△CFG中，CF=ADCG=AE∴△ADE≌△CFGSSS∴∠DAE=∠FCG，∴CG∥【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．【考點2尺規(guī)作三角形】【例2】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考三模）初中階段有五種基本尺規(guī)作圖，分別是：①作一條線段等于已知線段；②作一個角等于已知角；③作一個角的平分線；④作一條線段的垂直平分線；⑤過一點作已知直線的垂線．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了如下題目：如圖1，已知線段m，n．運用尺規(guī)作圖畫出Rt△ABC，使斜邊AB=m，一條直角邊AC=n(1)如圖2是小亮所作的Rt△ABC(2)請你用一種與小亮不同的尺規(guī)作圖方法再作一個Rt△ABC【答案】(1)①⑤(2)見解析【分析】（1）如圖可知，先作直線l的垂線MC，垂足為C，以C為圓心以n為半徑作弧，交CM于點B，再以B為圓心，以m為半徑畫弧，交直線l于點A，△ABC即為求作的三角形；（2）①作射線AM，②以A為圓心以m為半徑畫弧，交AM于點B，③分別以AB為圓心，大于12OA長為半徑畫弧，交于兩點，并連接兩交點，交AB與點O，④以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，⑤以B為圓心，n為半徑畫弧，交⊙O于點C，連接AC、BC，△（1）根據(jù)作圖過程，可知用到的基本作圖有過一點作已知直線的垂線．作一條線段等于已知線段，故答案為①⑤；（2）如圖，△ABC即為所求．（作圖不唯一）【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，熟練掌握尺規(guī)作圖基本技巧是解題的關(guān)鍵，另外要注意保留作圖痕跡．【變式2-1】（2022·廣西貴港·統(tǒng)考三模）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：如圖，已知△ABC，請根據(jù)“SAS”基本事實，求作△DEF，使△DEF≌△ABC．【答案】見解析【分析】作∠E=∠B，ED=BA，EF=BC即可．【詳解】解：△DEF即為所求．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．【變式2-2】（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知∠α，線段a，b，請按要求作圖并回答問題；(1)作△ABC，使∠C＝α，AC＝b，BC＝a；(2)已知∠α＝45°，a＝42，b＝7，求△ABC的面積．【答案】(1)作圖見解析；(2)S【分析】（1）作∠MCN＝α，然后在OM、ON上分別截取CB＝a，CA＝b，從而得到△ABC；（2）作BH⊥AC于H，先利用△BCH為等腰直角三角形得到BH=22BC＝4，然后根據(jù)三角形面積公式計算S△(1)解：如圖，△ABC為所作；(2)作BH⊥AC于H，如圖，∵∠C＝45°，∴△BCH為等腰直角三角形，∴BH=22BC∴S△ABC=1【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式2-3】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？寄M預(yù)測）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規(guī)作出一個以線段m為直角邊，α為內(nèi)角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據(jù)（1）中所畫圖形證明該命題．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段AC=m，過點C作CM⊥AC，作∠NAC=α，射線AN，交CM于點B，△ABC即為所求；（2）利用勾股定理，三角函數(shù)的定義證明即可．【詳解】（1）解：如圖，Rt△ABC（2）證明：∵∠ACB=90°，∴AB∵sinα=BC∴sin【點睛】本題考查了作一個角等于已知角、作垂線、作三角形、勾股定理、三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．【考點3尺規(guī)作角平分線】【例3】（2022·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，BC=DC，請用尺規(guī)作圖法，在四邊形ABCD的AB邊上求作一點E，使SΔ【答案】見解析【分析】用尺規(guī)作∠BCD的平分線，交AB于點E，連接ED，則S△BCE【詳解】解：用尺規(guī)作∠BCD的平分線，交AB于點E，則點E為所求作的點；連接ED，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠DCE，∵BC=DC，CE=CE，∴△BCE≌△DCESAS∴S△BCE【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作一個角的角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握尺規(guī)作一個已知角的平分線基本步驟．【變式3-1】（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校?？级＃┏咭?guī)作圖：如圖，已知正方形ABCD，在邊CD上求作一點P，使∠PBC=15°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作線段AB的垂直平分線交AB于點E，交CD于點F，以B為圓心，BC為半徑作弧交EF于點G，作BH平分∠GBC交CD于點P，點P即為所求．【詳解】解：如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．【變式3-2】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．(1)作∠ACB的角平分線，交AB于點E（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：AD＝AE．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）按照角平分線的作圖步驟作圖即可．（2）證明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．【詳解】（1）解：如圖所示，CE即為所求．（2）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分線，CE是∠ACB的角平分線，∴∠ABD=12∠ABC∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD（ASA），∴AD＝AE．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的作圖步驟以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）已知：Rt△ABC，∠B=90°．求作：點P，使點P在△ABC內(nèi)部，且PB=PC,∠PBC=45°．【答案】見解析【分析】分別以點B、C為圓心，大于BC長的一半為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，然后再以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AB、BC于點M、N，以點M、N為圓心，大于MN長一半為半徑畫弧，交于一點Q，連接BQ，進而問題可求解．【詳解】解：如圖，點P即為所求：【點睛】本題主要考查角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握角平分線與垂直平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．【考點4尺規(guī)作垂線或垂直平分線】【例4】（2022·貴州六盤水·統(tǒng)考中考真題）“水城河畔，櫻花綻放，涼都宮中，書畫成風(fēng)”的風(fēng)景，引來市民和游客爭相“打卡”留念．已知水城河與南環(huán)路之間的某路段平行寬度為200米，為避免交通擁堵，請在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，使得每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等．(1)利用尺規(guī)作出涼都宮到水城河的距離（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在圖中格點處標(biāo)出三個符合條件的停車位P1，P2，(3)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M0,2，N2,0，停車位Px,y，請寫出y與x【答案】(1)見解析(2)見解析(3)y=?14x【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的尺規(guī)作圖即可得；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，找出三個點使得它們到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等即可；（3）先求出點P到水城河的距離，再求出點F的坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式可得PF的長，然后根據(jù)點P到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等即可得函數(shù)關(guān)系式，最后畫出函數(shù)圖象即為停車帶，由此即可得出結(jié)論．（1）解：如圖，線段FQ的長即為所求．（2）解：如圖，點P1，P2，（3）解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．則F(0,?1)，水城河所在的直線為y=1，南環(huán)路所在的直線為y=?1，∴停車位Px,y到水城河的距離為y?1PF=(x?0)∵每個停車位到水城河與到?jīng)龆紝m點F的距離相等，∴x整理得：y=?1當(dāng)y=?1時，?14x又∵要在水城河與南環(huán)路之間設(shè)計一條停車帶，∴?2≤x≤2，∴y與x之間的關(guān)系式為y=?1畫出停車帶如下：因為4>2，所以點P4,?4【點睛】本題考查了作垂線、二次函數(shù)的應(yīng)用、兩點之間的距離公式等知識點，較難的是題（3），正確求出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，BC=5．(1)作BC的垂直平分線，分別交AB、BC于點D、H；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接CD，求△BCD的周長．【答案】(1)見解析(2)13【分析】（1）利用基本作圖，作BC的垂直平分線分別交AB、BC于點D、H即可；（2）由作圖可得CD=BD，繼而可得AD=CD，再結(jié)合三角形周長的求解方法進行求解即可．【詳解】（1）如圖所示，點D、H即為所求（2）∵DH垂直平分BC，∴DC=DB，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，∴∠A=∠DCA，∴DC=DA，∴△BCD的周長=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．【點睛】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式4-2】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，BD是它的一條對角線，(1)求證：△ABD≌△CDB；(2)尺規(guī)作圖：作BD的垂直平分線EF，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)連接BE，若∠DBE=25°，求∠AEB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)50°【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,AD=BC，可利用“SSS”證明三角形全等；（2）根據(jù)垂直平分線的作法即可解答；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BE=DE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DBE=∠BDE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD,AD=CB，∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)（2）如圖，EF即為所求；（3）∵BD的垂直平分線為EF，∴BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∵∠DBE=25°，∴∠DBE=∠BDE=25°，∴∠AEB=∠BDE+∠DBE=50°．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形ABCD中，E是AD邊上的一點，試說明△BCE的面積與矩形ABCD的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點E作BC的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【答案】∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【分析】過點E作BC的垂線EF，垂足為F，分別利用AAS證得△BAE≌△EFB，△EDC≌△CFE，利用全等三角形的面積相等即可求解．【詳解】證明：用直尺和圓規(guī)，過點E作BC的垂線EF，垂足為F（只保留作圖?跡）．如圖所示，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴∠EFB=∠A①∵AD∥∴∠AEB=∠FBE②又BE=EB③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得△EDC≌△CFEAAS∴S△BCE故答案為：∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵．【考點5尺規(guī)作等腰三角形】【例5】（2014·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E．求證：AEAB=5（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形．請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形ABC．（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標(biāo)注）【答案】（1）證明見解析；（2）作圖見解析.【分析】（1）利用位置數(shù)表示出AB，AC，BC的長，進而得出AE的長，進而得出答案.（2）根據(jù)底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，畫圖即可．【詳解】解：（1）證明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，∴設(shè)AB=2x，BC=x，則AC=5x∴AD=AE=5?1x.∴（2）底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如答圖，△ABC即為所求.考點：1.新定義；2.作圖（應(yīng)用與設(shè)計作圖）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性質(zhì)；5.待定系數(shù)法的應(yīng)用．【變式5-1】（2011·浙江杭州·中考真題）根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系時才能完成以上作圖？并舉例驗證猜想所得結(jié)論．（1）如圖①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°①作圖：②猜想：③驗證：（2）如圖②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°．①作圖：②猜想：③驗證：【答案】（1）①詳見解析;②猜想：∠A+∠B=90°;③驗證：詳見解析;（2）①詳見解析;②猜想：∠B=3∠A;③詳見解析;【分析】根據(jù)等腰三角形判定作圖:（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可;②猜想：∠A+∠B=90°，③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;（2）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可;②猜想：∠B=3∠A;③根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得;.【詳解】解：（1）①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A（或∠BCD=∠B）兩類方法均可，在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求②猜想：∠A+∠B=90°，③驗證：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°時，有∠A+∠B=90°，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．（2）答：①作圖：痕跡能體現(xiàn)作線段AB（或AC、或BC）的垂直平分線，或作∠ACD=∠A或在線段CA上截取CD=CB三種方法均可．在邊AB上找出所需要的點D，則直線CD即為所求②猜想：∠B=3∠A③驗證：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此時就能找到一條把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形的直線．【點睛】等腰三角形的判定的應(yīng)用.【變式5-2】（2022·福建莆田·統(tǒng)考一模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．已知：如圖，直線l∥m∥求作：等邊三角形ABC，使其點B，C分別落在直線m，n上．作法：①在直線m上取點D，連接AD，向右作等邊三角形∠ADE，使點E落在直線l，m之間；②在直線m上取點P（點P在點D左側(cè)），作∠AEC=∠ADP交直線n于點C；③在射線DP上截取DB=CE；④連接AB，AC，BC．△ABC就是所求作的等邊三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依上述作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)請你根據(jù)上述作法，證明△ABC所求作的等邊三角形．【答案】(1)過程見詳解(2)過程見詳解【分析】（1）依據(jù)題意作圖即可，（2）由△ADE是等邊三角形，可知AD=AE，∠DAE=60°，有根據(jù)尺規(guī)作圖的信息可知∠ADP=∠AEC，DB=EC，則有△ADB?△AEC，進而有AB=AC，∠BAD=∠CAE，根據(jù)∠CAE+∠CAD=60°，可得∠BAD+∠CAD=60°，結(jié)合AB=AC可知△ABC是等邊三角形．【詳解】（1）作圖如下：作∠ADP=∠AEC的步驟：以AP為半徑，A為圓心作弧，再以DP為半徑，以E為圓心作弧，再將兩段弧的交點與E連接，交直線n于點C，連接EC，即得；（2）∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=60°，∵∠ADP=∠AEC，DB=EC，∴△ADB?△AEC，∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵∠CAE+∠CAD=60°，∴∠BAD+∠CAD=60°，∴結(jié)合AB=AC可知△ABC是等邊三角形，結(jié)論得證．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，充分理解尺規(guī)作圖每一步的含義是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長為a，腰上的高為h．【答案】(1)作圖及理由見解析；(2)作圖及理由見解析．【分析】（1）首先作線段BC=a，再作出BC的垂直平分線，然后截取高為h，連接AB、CA即可．（2）首先作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，再直線DE上取線段FC=h，然后AB=AC=a，連接AB、CB即可．【詳解】（1）解：作法：1.作線段BC=a，（如圖1）2.作線段BC的垂直平分線MN，最足為O，3.在直線MN上取線段OA=h，4.連接AB、AC，△ABC為所求作的三角形；理由：∵線段BC的垂直平分線是MN，OA=h，∴AB=AC，△ABC的高為h，∴△ABC為等腰三角形，∵BC=a，∴△ABC是底邊長為a，底邊上的高為h的等腰三角形；（2）解：作法：1.作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，（如圖2）2.在直線DE上取線段FC=h，3.以點C為圓心，a的長為半徑畫弧，交直線GH于點A，4.以點A為圓心，a的長為半徑畫弧，交射線AF于點B，5.連接BC、AC，△ABC為所求作的三角形；理由：∵AB=AC=a，∴△ABC為等腰三角形，∵直線GH垂直于直線DE，垂足為F，F(xiàn)C=h，∴△ABC是腰長為a，腰上的高為h的等腰三角形；【點睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線段垂直平分線的作法和等腰三角形的性質(zhì)．【考點6尺規(guī)作圓】【例6】（2022·山東青島·統(tǒng)考一模）已知：△ABC．求作：△ABC的外接圓內(nèi)的點P，使∠P=2∠A，PB=PC．請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．【答案】見解析【分析】作出△ABC的外接圓，即可得出點P的位置．【詳解】如圖，點P即為所求．【點睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，正確掌握三角形外接圓的作法是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)?？家荒＃┮阎骸螦OB和線段a．求作：⊙P，使它與∠AOB的兩邊相切，半徑等于線段a．【答案】見解析【分析】先作∠AOB的平分線OM，在射線OB上取一點C，再過C點作OB的垂線，在垂線上截取CD=a，然后過D點作CD的垂線交OM于P，最后以P點為圓心，a為半徑作圓．【詳解】解：∵⊙P與∠AOB的兩邊相切，∴點P到角兩邊的距離相等，即：點P在∠AOB的角平分線上，作∠AOB的平分線OM，在射線OB上取一點C，過C點作OB的垂線，在垂線上截取CD=a，過D點作CD的垂線交OM于P（平行線間的距離處處相等），以P點為圓心，a為半徑作圓，如圖，⊙P即為所作．【點睛】本題考查基本作圖，切線的性質(zhì)，角平分線的判定定理．熟練掌握切線的性質(zhì)，得到圓心在角的平分線上，以及角平分線和垂線的作圖方法，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．(1)求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求tan∠ADB【答案】(1)作圖見解析(2)5【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解BE=rtanα，再判定△ABE≌△CDF，根據(jù)BE=DF=rtanα，DE=DF+EF=rtanα+r，在Rt△ADE中，利用【詳解】（1）解：如圖所示，⊙A即為所求作：（2）解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)∠ADB=α，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又AE=AG=r，∴四邊形AEFG是正方形，∴EF=AE=r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠ADB=α，在Rt△ABE中，tan∠BAE=∴BE=rtan∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌∴BE=DF=rtan∴DE=DF+EF=rtan在Rt△ADE中，tan∠ADE=AEDE∴rtanα+rtan∵tanα>0∴tanα=5?12，即tan∠【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知銳角△ABC中，AC=BC．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則【答案】（1）見詳解；（2）4【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作∠ACB的平分線CD，作出AC的中垂線交CD于點O，再以點O為圓心，OC為半徑，畫圓，即可；（2）連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=245，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC【詳解】解：（1）如圖所示：（2）連接OA，∵AC=BC，∠ACB的平分線CD，∴AD=BD=12AB=12×∵⊙O的半徑為5，∴OD=OA∴CD=CO+OD=5+75=32∴BC=BD∴sinB=CD故答案是：45【點睛】本題主要考查尺規(guī)基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，理解三角形外接圓的圓心是三角形各條邊中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵．【考點7尺規(guī)作圓的切線】【例7】（2022·北京海淀·九年級模擬預(yù)測）已知：點A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°．求作：直線l，使其過點C，并與⊙O相切．作法：①連接OC；②分別以點B，點C為圓心，OC長為半徑作弧，兩弧交于⊙O外一點D；③作直線CD．直線CD就是所求作直線l．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接OB，BD，∵OB=OC=BD=CD，∴四邊形OBDC是菱形，∵點A，B，C在⊙O上，且∠BAC=45°，∴∠BOC=______°（_________________）（填推理的依據(jù)）．∴四邊形OBDC是正方形，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，∵OC為⊙O半徑，∴直線CD為⊙O的切線（_________________）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)見解析；(2)90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】（1）按照題中作法步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理和切線的判定定理填空．【詳解】（1）解：補全圖形，如圖所示；（2）90°；一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，切線的判斷和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·北京海淀·九年級模擬預(yù)測）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）已知：⊙O和⊙O外一點P．求作：過點P的⊙O的切線PA，PB．【答案】見解析【分析】根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形即可；【詳解】作圖如圖，直線PA、PB即為所作的⊙O的切線．【點睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式7-2】（2022·北京海淀·九年級二模）探究：如圖①，點P在⊙O上，利用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)過點P作⊙O的切線，小明所在的數(shù)學(xué)小組經(jīng)過合作探究，發(fā)現(xiàn)了很多作法，精彩紛呈．作法一：①作直徑PA的垂直平分線交⊙O于點B；②分別以點B、P為圓心，OP為半徑作弧，交于點C；③作直線PC．作法二：①作直徑PA的四等分點B、C；②以點A為圓心，CA為半徑作弧，交射線PA于點D；③分別以點A、P為圓心，PD、PC為半徑作弧，兩弧交于點E；④作直線PE．以上作法是否正確？選一個你認為正確的作法予以證明．【答案】兩種作法都正確，證明見解答．【分析】選作法一、連接BC，判斷出四邊形OBCP為菱形，得出∠BOP=90°，進而判斷出∠OPC=90°，即可得出結(jié)論；選作法二、連接DE，設(shè)PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出PE2+【詳解】解：選作法一、如圖作法一，連接BC，由題意得，OB=OP=BC=PC，∴四邊形OBCP為菱形，∴∠BOP=90°，∴OB∥CP，∵∠BOP=90°，∴∠OPC=90°，∵OP為⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線；選作法二、如圖作法二，連接DE，由題意設(shè)，AP=4x，∴PE=3x，AE=PD=4x，∴PE∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，∵OP為⊙P的半徑，∴PE是⊙O的切線．【點睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022秋·北京東城·九年級一模）下面是小美設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點A在⊙O上．求作：⊙O的切線AB．作法：①作射線OA；②以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交射線OA于點C和點D；③分別以點C，D為圓心，大于12CD長為半徑作弧，兩弧交點④作直線AB．則直線AB即為所求作的⊙O的切線.根據(jù)小美設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，解決下面的問題：(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明.證明：連接BC，BD．由作圖可知，AC=AD，BC=．∴BAOA．∵點A在⊙O上，∴直線AB是⊙O的切線()(填寫推理依據(jù))．【答案】(1)見解析；(2)BD；⊥；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．【分析】（1）依據(jù)題意，按步驟正確尺規(guī)作圖即可；（2）結(jié)合作圖，完成證明過程即可．【詳解】（1）補全圖形如圖所示，（2）證明：連接BC，BD．由作圖可知，AC=AD，BC=BD．∴BA⊥OA，∵點A在⊙O上，∴直線AB是⊙O的切線(經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，故答案為：BD；⊥；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖能力和切線的證明；能夠按要求規(guī)范作圖是解題的關(guān)鍵．【考點8尺規(guī)作正多邊形】【例8】（2022·福建·統(tǒng)考二模）尺規(guī)作圖特有的魅力使無數(shù)人沉湎其中．傳說拿破侖曾通過下列尺規(guī)作圖將圓等分：①將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個分點；②分別以點A，D為圓心，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③連接OG，以O(shè)G長為半徑，從點A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓等分．順次連接這些等分點構(gòu)成的多邊形面積為_____．【答案】2r2【分析】根據(jù)作法得到六邊形ABCDEF為⊙O的內(nèi)接正六邊形，則有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函數(shù)值得到CD=r，AC＝3r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=2r，然后判斷以O(shè)G長為半徑，從點A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓4等分，順次連接這些等分點構(gòu)成了正方形，再利用正方形的面積公式進行計算即可.【詳解】連接AD、AC、AG，如圖，∵將半徑為r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F(xiàn)六個分點，∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD?sin30°=r，AC＝AD?cos30°=3r，∵GA＝GD，∴GO⊥AD，∴OG＝3r以O(shè)G長為半徑，從點A開始，在圓周上依次截取，剛好將圓4等分，順次連接這些等分點構(gòu)成的多邊形為正方形，∴這個多邊形面積＝2r?2r＝2r2，故答案為2r2．【點睛】本題考查了作圖——復(fù)雜作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.本題也考查了正多邊形和圓.【變式8-1】（2022·陜西·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為⊙O的直徑，∴BD為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形．【點睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．【變式8-2】（2022·山西太原·統(tǒng)考一模）已如：⊙O與⊙O上的一點A（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）如圖，在⊙O上依次截取六段弦，使它們都等于OA，從而得到正六邊形ABCDEF；（2）連接BE，如圖，利用正六邊形的性質(zhì)得AB=BC=CD=DE=EF=FA，AB=【詳解】解:（1）如圖，正六邊形ABCDEF為所作；（2）四邊形BCEF為矩形．理由如下：連接BE，如圖，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴AB=∴BC+∴BAE=∴BE為直徑，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四邊形BCEF為矩形．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的判定與正六邊形的性質(zhì)．【變式8-3】（2022·江蘇揚州·校聯(lián)考一模）如圖，已知等邊△ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）（1）作△ABC的外接圓圓心O；（2）設(shè)D是AB邊上一點，在圖中作出一個等邊△DFH，使點F，點H分別在邊BC和AC上；（3）在（2）的基礎(chǔ)上作出一個正六邊形DEFGHI．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點O即為所求；（2）取BF＝CH＝AD構(gòu)成等邊三角形；（3）作新等邊三角形邊的垂直平分，確定外心，再作圓確定另外三點，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．【詳解】（1）如圖所示：點O即為所求．（2）如圖所示，等邊△DFH即為所求；（3）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形．【點睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)．【考點9格點作圖】【例9】（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在4×4的方格紙中，點A，B在格點上．請按要求畫出格點線段（線段的端點在格點上），并寫出結(jié)論．(1)在圖1中畫一條線段垂直AB．(2)在圖2中畫一條線段平分AB．【答案】(1)圖見解析，BC⊥AB（答案不唯一）(2)圖見解析，EF平分AB（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點，利用三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖即可得；（2）根據(jù)網(wǎng)格特點，利用矩形的判定與性質(zhì)畫圖即可得．（1）解：如圖1，線段BC即為所求，滿足BC⊥AB．（2）解：如圖2，線段EF即為所求，滿足EF平分AB．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)畫圖、矩形的判定與性質(zhì)畫圖，熟練掌握全等三角形和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·湖北省直轄縣級單位·校考二模）如圖，在6×7的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均為格點(1)在圖①中，借助網(wǎng)格和無刻度的直尺畫出△ABC的高CM；(2)在圖②中，連接點B與格點D．點P是BC的中點，點Q為BD上的一動點，當(dāng)△CPQ的周長最小時，請利用網(wǎng)格和無刻度的直尺確定點P、Q的位置，并畫出△CPQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在圖①網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理畫出△ABC的高CM即可；（2）在圖②網(wǎng)格中，根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分找到點P，連接AP交BD于點Q，即可畫出△CPQ．【詳解】（1）解：如圖所示，過點C作3×4格對角線，因為AB是3×4格對角線，所以CM⊥AB．則CM即為所求；（2）解：如圖所示，△CPQ即為所求．理由：設(shè)網(wǎng)格的邊長為1，則AB=32+∴AB=BC,∴△ABC為等腰三角形，∵D為AC的中點，∴BD為AC的垂直平分線，∴A與C關(guān)于BD對稱，∴△PCQ的周長=QC+QP+PC=AQ+QP+PC,當(dāng)A、Q、P三點共線時，△PCQ的周長最?。军c睛】本題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖、軸對稱?最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．【變式9-2】（2022·湖北省直轄縣級單位·?？级＃﹫D1、圖2均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡，不要求寫出作法．(1)在圖1中的線段AB上找一點D，連結(jié)CD，使S△ACD(2)在圖2中的線段AB上找一點E，連結(jié)CE，使S△ACE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，尋找點D，使點D為線段AB的中點，連接CD即可；（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)，尋找點E使得AE∶EB=1∶3，連接CE即可．【詳解】（1）解：如圖1中，點D即為所求，；（2）解：如圖2中，點E即為所求，．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．【變式9-3】（2022秋·江蘇南京·九年級一模）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格紙中，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，點O、A、B均在格點上．僅用無刻度直尺，完成下列作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：(1)在圖①中，作AB的中點M；(2)在圖②中，作BN，使得BN=【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析【分析】（1）連接AB，過點O、格點C作直線交⊙O于點M，點M即為所求點；（2）在網(wǎng)格上找到點P，連接AP，并延長交⊙O于點N，則BN=AB，BN即為所求，設(shè)點P下方的格點為C，點P上方的格點為D，連接OD、BD、AC，OB與AN交于點E，與AC交于點F，再根據(jù)“邊角邊”，得出△BDO≌△PCA，進而得出∠BOD=∠PAC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出∠BOD+∠OFC=90°，∠PAC+∠OFC=90°，再根據(jù)對頂角相等，得出∠OFC=∠AFE，進而得出∠PAC+∠AFE=90°，再根據(jù)垂線的定義，得出AN⊥OB，再根據(jù)垂徑定理，即可得出【詳解】（1）解：如圖，點M即為所求點；（2）解：如圖，在網(wǎng)格上找到點P，連接AP，并延長交⊙O于點N，則BN=AB，如圖，設(shè)點P下方的格點為C，點P上方的格點為D，連接OD、BD、AC，OB與AN交于點E，與AC交于點F，∵∠BDO=∠PCA=90°，又∵BD=PC，OD=AC，∴△BDO≌△PCASAS∴∠BOD=∠PAC，又∵∠BOD+∠OFC=90°，∴∠PAC+∠OFC=90°，又∵∠OFC=∠AFE，∴∠PAC+∠AFE=90°，∴∠AEF=90°，∴AN⊥OB，∴BN=【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，涉及垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、網(wǎng)格的特點，解本題的關(guān)鍵在正確畫出符合題意的圖形．【考點10無刻度直尺作圖】【例10】（2022秋·江西南昌·八年級南昌市三模）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)部一點，且DB=DC，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．(1)在圖①中BC上找一點E，使BE=1(2)若∠BDC=2∠A，在圖②中AB、AC邊上分別找點M、N，使MN=1【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）由AB=AC，DB=DC得AD垂直平分BC，所以連接AD并延長與BC的交點即為點E；（2）由∠BDC=2∠A=120°，DB=DC得∠DBC=12180°?∠BDC=30°，∠ABD=∠ABC?∠DBC=30°，又AD垂直平分BC，所以∠BAD=12∠BAC=30°，則AD=BD，由（1）同理得CD垂直平分AB，則延長CD【詳解】（1）如圖①，連接AD并延長與BC的交點即為點E，理由如下：連接AD并延長交BC于點E，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，則點A在BC的垂直平分線上，又∵DB=DC，∴點D在BC的垂直平分線上，則AD垂直平分BC，∴BE=（2）如圖②，分別延長CD，BD與AB，AC的交點即為點∵△ABC為等邊