立體幾何中體積與表面積考查題型

一、直接計(jì)算體積與表面積

1.（2022屆高三江蘇南京金陵中學(xué)期初9月）已知某圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

則該圓錐的體積為（）

A.鳴B.唱C.%D.2a

【答案】C

【考點(diǎn)】幾何體的體積計(jì)算

【解析】由題意可知，△ABC為邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以AB=AC=BC=4,取BC的中

點(diǎn)為。，可得＜0=#42—22=2小,則圓錐的體積為曠=/加22*2小=華兀，故答案選C.

2.（2022屆高三江蘇常州八校聯(lián)考12月）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為V的球面

上，圓柱底面直徑為8,則該圓柱的表面積為.

【答案】807t

【考點(diǎn)】圓柱的外接球與表面積

4500兀

【解析】由題意可知，設(shè)外接球的半徑為R,則與出3=學(xué)，解得R=5,又因?yàn)榈酌姘霃?/p>

h

為r=4,設(shè)圓柱的高為/?,則心=傷）2+3，解得〃=6,所以圓柱的表面積為S=7tR2./2=80m

3.（2022屆高三江蘇南通海門區(qū)期末1月）已知圓柱的底面半徑為啦，體積為4巾兀，則該

圓柱的側(cè)面積為.

【答案】8兀

【考點(diǎn)】幾何體中圓柱的側(cè)面積與體積計(jì)算

【解析】因?yàn)榈酌姘霃綖槊?，體積為46兀，設(shè)母線為/,則兀X(&)2X/=4&7T,解得/=

2y[2,

所以圓柱的側(cè)面積為8兀X45X26=8兀，故答案為8兀.

4.(2022屆高三江蘇蘇錫常鎮(zhèn)一調(diào)3月)已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長(zhǎng)相等，設(shè)圓

柱和圓錐的表面積分別為S”S2,則卜▲.

【答案】2

【考點(diǎn)】立體幾何中幾何體的表面積運(yùn)算

【解析】由題意可設(shè)圓柱的高為h,圓柱與圓錐的底面半徑為〃則圓錐的母線長(zhǎng)為h,則

可得S\=2nrh+2itr1=2Tt(rh+12),S2—nr2+T-2nr7?=nr2+w/z=7t(r/7+r2),所以』"=2.

5.(2022屆高三江蘇南通期中11月)已知圓錐SO的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB,SC兩兩垂直,

且&4=SB=SC=6,則圓錐5。的體積為

A.18娘兀B.54爪兀C.16^/371D.48小兀

【答案】C

【考點(diǎn)】立體幾何中圓錐的體積求解

【解析】由題意可知，AB=AC=BC=6^,則可得到圓錐的底面半徑為|x曰XM=2#,

所以圓錐的高為^62—（2#）2=25,所以圓錐SO的體積為:X7tX（2#）2X2^=16V^r，

故答案選C.

6.（2022屆高三江蘇蘇北四市期末聯(lián)考1月）如圖，一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在

墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30°,液面

呈橢圓形，橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分

別是12和18,則容器內(nèi)液體的體積是

A.15KB.36兀

C.45兀D.48兀

【答案】c

【考點(diǎn)】新情景問題下的體積的求解

【解析】由題意可知，過點(diǎn)M,N分別作底邊的垂線，解直角三角形可得圓柱形的底面直徑

為2小，若擺正過來，容器中的溶液高度為15,則體積為兀?（?。?X15=45TT,故答案選C.

7.（2022屆高三江蘇南師附中、天一中學(xué)、淮陰中學(xué)、海門中學(xué)聯(lián)考12月）某種藥物呈膠囊

形狀，該膠囊中間部分為圓柱，左右兩端均為半徑為1的半球.已知該膠囊的表面積為10n,

則它的體積為

35

A.

【答案】C

【考點(diǎn)】圓柱的表面積與體積計(jì)算

【解析】由題意可知，設(shè)圓柱的高為/?,則可得4兀不+27t.i./?=io兀，解得人=3,所以膠囊

4|3

的體積1/=鏟/3+乃12.3=寸兀，故答案選C.

8.（2022屆高三江蘇如東中學(xué)、姜堰中學(xué)、沐陽中學(xué)聯(lián)考4月）若圓錐的母線長(zhǎng)為2小，側(cè)

面展開圖的面積為6兀，則該圓錐的體積是

A.5兀B.3兀C.3s兀D.97t

【答案】B

【考點(diǎn)】立體幾何中圓錐的體積求解

【解析】由題意可知，側(cè)面展開圖的面積為5=卜2口X2小=6兀，解得r=小,則圓錐的

高仁、（2小尸一（小戶=3,所以圓錐的體積為丫=；乂?！毫x/?=3兀，故答案選B.

9.（2022屆高三江蘇海安期中11月）2021年9月，我國三星堆遺址出土國寶級(jí)文物“神樹

紋玉琮”，如圖所示，該玉琮由整塊灰白色玉料加工而成，外方內(nèi)圓，中空貫通，形狀對(duì)稱.為

計(jì)算玉琮的密度，需要獲得其體積等數(shù)據(jù).已知玉琮內(nèi)壁空心圓柱的高為〃，且其底面直徑

為d,正方體（四個(gè)面與外側(cè)圓柱均相切）的棱長(zhǎng)為?,且d<a<h,則玉琮的體積為.（忽

略表面磨損等）

［答案］*二6+/_竽

【考點(diǎn)】新情景問題下的幾何體的體積求解

【分析】由題意可知，玉琮是由上下兩個(gè)圓柱和中間一個(gè)正方體組合成的幾何體挖去中間一

個(gè)圓柱而形成的組合體，進(jìn)而結(jié)合幾何體的體積公式即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，玉琮是由上下兩個(gè)圓柱和中間一個(gè)正方體組合成的幾何體挖去中間一

個(gè)圓柱而形成的組合體，其中上下圓柱的體積為-=兀?(32.(萬一〃)，正方體的體積為匕=〃，

挖去圓柱的體積為V3=7T-(^)2-/Z,則玉琮的體積為V=V]+Vo+V3=7l-(^)2-(/z-6F)+6Z3+TI-(^)2-/2

=辿產(chǎn)+〃_苧，故答案為：辿產(chǎn)+噌.

10.(2022屆高三江蘇新高考基地學(xué)校第三次大聯(lián)考3月)如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖,

它的進(jìn)物倉為正四棱臺(tái)，已知該四棱臺(tái)的上底面棱長(zhǎng)為

40cm,下底面棱長(zhǎng)為20cm,側(cè)棱長(zhǎng)為20cm,則該款粉碎機(jī)

倉的體積為

A.13O(X)V3cm3

B.2800()V2cm3

56000

C.丁cm3

2800^,

D.3cm

【答案】D

【考點(diǎn)】立體幾何中正四棱臺(tái)的體積計(jì)算

【解析】由題意可知，在正四棱臺(tái)ABCO-ABCQi中，45=40,A8=20,A4=20,可

取下底面的中心為點(diǎn)O,上底面的中心為點(diǎn)O”連結(jié)OOi，可得OOi為正四棱臺(tái)的高，且

00尸@02一,岫12a^=1所,所以正四棱臺(tái)的體積V=|x1QV2X(402+20X40+

202)=誓也cnP,故答案選D.

11.(2022屆高三江蘇鹽城第二次聯(lián)考12月)中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖

唯父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉微的有關(guān)工作，提出“幕勢(shì)既同，則積不容異”.“事”

是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，即：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積

相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等，上述原理稱為“祖曬原理”.一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為1,下

底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為恒的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“幕勢(shì)既同”.則該不規(guī)則

【答案】D

【考點(diǎn)】新情景問題下的棱臺(tái)體積的求解

【解析】由“祖晅原理”知，該不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)的體積相等,

因?yàn)檎馀_(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,設(shè)上底面面積為5,下底面面積為邑，高為h,

￡=6xix2x2x—=65/3

則S,=6xLlxlx叵述,/Z=V13-1=273,

22222

所以V=g(E+7^+S2)〃=；x(￥+^+6G)x2g=21，

所以該不規(guī)則幾何體的體積為21.故答案選D.

12.(2022屆高三江蘇連云港二調(diào)3月)右圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩

個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺(tái)的體積是

7如7小兀7如7后

A.B.C.D.

24241212

【答案】B

【考點(diǎn)】立體幾何中圓臺(tái)的體積計(jì)算

【解析】由題意可知，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，如圖所示，則SB=1,SA=2,且。23=當(dāng)彷A=

1,所以解得502=坐，S0i=小,所以圓臺(tái)的體積為V=%OIA2.SO|-%O2B2.SO2=*X1

X小一%X（；）2X^=噂，（另解:圓臺(tái)的高/7=SOLSC>2=坐,則圓臺(tái)的體積為V=上坐

［gA+gx1+n=嘮）故答案選B.

13.（2022屆高三江蘇新高考基地學(xué)校12月）在直角AABC中，。是斜邊A8上一點(diǎn)，△ACQ

與AABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體體積分別為％,匕，若孑=［，則第=

Vn乙r\D

11

A亞BCD近

D

A.2-242

【答案】D

【考點(diǎn)】立體幾何中的旋轉(zhuǎn)體體積的應(yīng)用

【解析】由題意可設(shè)*=九BC=a,AC=b,則匕=4兀丫］=）/12.〃2.我+4.22.〃2,（匕—m）

=聶2.02也由3=；,可得/=弓,則4半,故答案選D.

J2/乙Z

b?ib

B

二、情景題目考查

1.(2022屆高三江蘇百校第一次聯(lián)考9月)陀螺指的是繞一個(gè)支點(diǎn)高速轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體，是中

國民間最早的娛樂工具之一.傳統(tǒng)陀螺大致是木或鐵制的倒圓錐形，玩法是用鞭子抽.中國

是陀螺的老家，從中國山西夏縣新石器時(shí)代的遺址中就發(fā)掘了石制的陀螺.如圖，一個(gè)倒置

的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱.其中總高度為8cm,圓柱部分高度為6cm,

已知該陀螺由密度為0.7g/cm2的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為70g,則最接近

此陀螺圓柱底面半徑的長(zhǎng)度為

A.2.0cmB.2.2cm

C.2.4cmD.2.6cm

【答案】B

【考點(diǎn)】新情景問題下的幾何體的體積計(jì)算

7()

【解析】由題意可求得該陀螺的總體積為言=100cm3,設(shè)底面半徑為r.則可得

7tr2X6+^nr2X(8—6)=100,解得r=\2.2cm,故答案選B.

2.(2022屆高三江蘇新高考基地學(xué)校第一次大聯(lián)考11月)我國古代《九章

算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖池盆幾何體是/-------

一個(gè)芻童，其中上下底面為正方形邊長(zhǎng)分別為6和2,側(cè)面是全等的等腰(~[

梯形梯形的高為2吸，若盆中積水深為池盆高度的一半，則該盆中積水的

體積為

A■R2828^252

a.33J33

【答案】B

【考點(diǎn)】新情景問題下的幾何體的體積應(yīng)用

【解析】由題意可知，這個(gè)芻童為棱臺(tái)，如圖，為垂直底面的截面，則棱臺(tái)的高為2,若盆

中積水深為池盆高度的一半，則上水面的邊長(zhǎng)為4,水的高度為1,所以該盆中積水的體積

1________OQ

為］X06+4+J1而）xl=T.故答案選：B.

3.（2022屆高三江蘇七市第三次聯(lián)考5月）正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別

是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體.連接正方體中相

鄰面的中心，可以得到另一個(gè)柏拉圖體.已知該柏拉圖體的體積為半，則生成它的正方體的

棱長(zhǎng)為

A.2B.2吸C.2^2D.4

【答案】D

【考點(diǎn)】新情景問題下的立體幾何的體積問題應(yīng)用

【解析】由題意可知，連接正方體中相鄰面的中心，可以得到另一個(gè)柏拉圖體，該柏拉圖體

為正八面體，即共底面的兩個(gè)正四棱錐組合體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則V=2X^.2a-2a）-a

32

=y,解得4=2,所以正方體的棱長(zhǎng)為4,故答案選D.

三、開放性試題考查

1.（2022屆高三江蘇蘇錫常鎮(zhèn)二調(diào)5月）已知圓錐同時(shí)滿足條件：①側(cè)面展開圖為半圓；②

底面半徑為正整數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的圓錐的體積.

【答案】坐兀（答案不唯一）

【考點(diǎn)】開放性試題：圓錐的側(cè)面展開圖與體積

【解析】由題意可知，側(cè)面展開圖為半圓，則圓錐的母線長(zhǎng)/=2r,則圓錐的高人=小「，又

底面半徑為正整數(shù)，可設(shè)，=1,貝心=小，所以圓錐的體積丫=%/小=坐兀.

四、綜合應(yīng)用

1.（2022屆高三江蘇第一次大聯(lián)考10月）現(xiàn)有一塊正四面體形狀的實(shí)心木塊，其棱長(zhǎng)為

9cm.車工師傅欲從木塊的某一個(gè)面向內(nèi)部挖掉一個(gè)體積最大的圓柱，則當(dāng)圓柱底面半徑r

=cm時(shí)，圓柱的體積最大，且最大值為cm3.

【答案】于；3#兀

【考點(diǎn)】立體幾何中體積的應(yīng)用

【解析】

法一：由題意可知，目標(biāo)所求為挖掉一個(gè)體積最大的正三棱柱的內(nèi)切圓柱，設(shè)挖掉的三棱柱

的底面邊長(zhǎng)為m高為力，由于原正四面體的棱長(zhǎng)為9,所以高為3#,所以鏟，即

/?=#（3一3），所以挖掉的三棱柱的體積V=^2A=^（3?2-1a3）（0<a<9）,所以V=

￥（6a-J）,令S=0,得a=6,且ae（0,6）時(shí)，V>0：a^（6,9）時(shí)，7<0,所以當(dāng)a

=6時(shí)，丫取最大值，該正三棱柱的內(nèi)切圓柱體積也最大，此時(shí)圓柱的底面圓半徑為4cm,

體積為3#兀cm，.

法二：

由題意可設(shè)圓柱上底面圓心為。|，下底面圓心為。2，且。2為正四面體底面中心，圓柱的

上底面與正四面體側(cè)面ACQ的交點(diǎn)N在側(cè)面中線AM上，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為9,所以8M

=9><2=^2,所以02M=1,8。2=3小，A（?2=9X乎=3#,設(shè)圓柱底面半徑為r,高

為/?,由。W〃。2%可得靠=課蘆，所以h=3小一2rr,所以八生=兀戶.（3小-2班

2

r）=3而口2—2啦兀r3,令1/（/）=3加口2啦irr3,則八廠）=&\/^兀,一一6小冗產(chǎn),令八，）=0,解得

，=小，則7W在（0,小）上單調(diào)遞增，在（5，+℃）上單調(diào)遞減，所以_Ar）max=/（#）=3#兀?（小產(chǎn)

一2向他尸3擊7rcm3.

2.（2022屆高三江蘇南京中華中學(xué)期中11月）在棱長(zhǎng)均為3的正三棱錐S-ABC中，則正

三棱錐S-ABC的體積為.若。為8c的中點(diǎn)，則SD與面S48所成角的余弦值

為.

【答案】乎；*

【考點(diǎn)】雙空題：立體幾何中三棱錐的體積、線面角求解

【解析】由題意可知，取SA中點(diǎn)E,連接EQ,因?yàn)镾—ABC是正三棱錐，所以Sr>=AQ=

所以Vs-ABC=2-VB-SAD=

.S4EZX8D=2舊⑶平養(yǎng)乎;

（2）設(shè)點(diǎn)D到平面SAB距離為h,SD與面SAB所成角為9,因?yàn)閂D-SAB^Vs-ABD=\VS-ABC，

V6

所以!132芍皿60°力=]^^,解得h=嘩,所以sine=4=f^=^,cos?=yj1-siMe=乎.

JZZ4ZoLf3y33、J

2

3.（2022屆高三江蘇六市第二次聯(lián)考3月）某同學(xué)的通用技術(shù)作品如圖所示，該作品由兩個(gè)

相同的正四棱柱制作而成.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為3cm,這兩個(gè)正四棱柱的公共部分構(gòu)

成的多面體的面數(shù)為,體積為cn?.（第一空2分，第二空3分）

【答案】A:18^2

【考點(diǎn)】雙空題：正四棱柱與多面體的綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，兩個(gè)正四棱柱的公共部分為兩個(gè)正四棱錐的底面拼接構(gòu)成的空間幾何

體，為八面體；正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3噌的正方形，高為羋，所以一個(gè)正四棱錐的體

積V=g><3^X3^X平=%也，則共部分構(gòu)成的多面體的體積為2V=18&.

4.（2022屆高三江蘇新高考基地學(xué)校第四次大聯(lián)考4月）已知正四棱臺(tái)ABCD-AyBy^Dy的

AA

上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2,P是上底面48GA的邊界上一點(diǎn).若以?PC的最小值為

則該正四棱臺(tái)的體積為

75

A.2B.3C.2D?1

【答案】A

【考點(diǎn)】立體幾何與平面向量的數(shù)量積

【解析】由題意可知，取AC的中點(diǎn)為點(diǎn)O,則函?正=訪2一；々2=202一；*（2吸）2=

附一2當(dāng)即尸。2斗取AQ的中點(diǎn)為點(diǎn)0|,則。。|=九且。|到正方形邊的距離最小

值為%山昌，所以PO2=F+PO|2*+%即為+：=|,解得仁|,所以該正四棱臺(tái)的

137

體積為V寸,4+1+2）=；，故答案選A.

5.（2022屆高三江蘇新高考基地學(xué)校12月）已知正方體ABCD-ABiGQ的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P

在側(cè)面BB|GC內(nèi)（含邊界），則三棱錐4-P以琳積的最大值為；滿足雨」尸8的

點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.

【答案】/兀

【考點(diǎn)】雙空題：立體幾何中正方體的體積最值問題、軌跡長(zhǎng)度求解

【解析】因?yàn)橐訧_PBD=/-A|BD，過點(diǎn)p作RW/B|C,交81G于點(diǎn)M，則PM//&C//A1D,所

以點(diǎn)尸，M到面A3。的距離相等，當(dāng)P與點(diǎn)G重合時(shí)，點(diǎn)尸到面的距離最大，最大值

為gAC]=1,此時(shí)V（j—A]5D=『S"]3D，3=§義2小X3=],即三棱錐A]一尸8。的體

Q

積最大值為*

設(shè)BB1,A18中點(diǎn)分別為O,Q,連結(jié)OP,0Q,PQ,因?yàn)橐?_LP8,所以P0=34|B=小,

所以PQ=、P02-。。2=1,所以點(diǎn)P軌跡是以。為圓心，1為半徑的半圓，長(zhǎng)度為兀.

6.（2022屆高三江蘇海安2.5模4月）在矩形ABCD中，A8=^,AD=1,點(diǎn)E在線段A8（端

點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將AAOE沿￡>E折起為△4OE.設(shè)NA￡）E=a,二面角4-OE-C的大小為4,

且a+片會(huì)則四棱錐4-BCDE的體積的最大值為

VI5-11_2

A.—B.wC.

【答案】B

【考點(diǎn)】立體幾何中的四棱錐的二面角、體積求值求解

【解析】由題意可知，過點(diǎn)A作AM_LOE,垂足為點(diǎn)M,延長(zhǎng)AM交C￡>于點(diǎn)M則AM=

sina,AE=tana,tana,所以S8CDE=；X(^^+^^—tana)X1tana),

且二面角A一。E—C的平面角為/4MM所以A，F(xiàn)=A，Msin"=sinacosa,則以，-8COE=；X；

Xtana)Xsinacosa=^X("\/T5sinacosa-sin2a)=^[^^sin2a—^(1-cos2a)]

sin2a+]cos2a—1)Wt(2—1)=w，故答案選B.

7.（2022屆高三江蘇泰州期末1月）"BC的三條邊分別為a,b,c,若該三角形繞著三條邊

a,b,c旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積分別為匕，Vb,Vc.若匕=；,V/,=1,Vc=1,則cos4

jr1

的值為;若N84C=k，VhVc=1,則%2+匕2一記的值為.

【答案】

【考點(diǎn)】雙空題：幾何體的旋轉(zhuǎn)問題應(yīng)用

【解析】法一：由題意可知，匕=和7/，%=受歷,2,匕=?九2,所以匕：yh.yc—ha：hb.

hc=~-7：!=；：i：則?：b-c=4：3：2,可設(shè)a=4m,b=3m,c—2m,則在AABC

aDct,3z

52+。2—Q21jrjr%27T263c3

中由余弦定理可知，COSA=雙=-W；因?yàn)椋ヘ?電/7戶孕九2=下加仇2也.2=-^j-=l,

乙JJ71t■

(\2、21n21〃2—I—_

所以"eMD)則"+匕2—講=笳02/(爐+/)-----y=-應(yīng)一=2COSA=V3.

島2.㈤

9

TT13