專題01特殊平行四邊形（易錯(cuò)40題4種題型）一、菱形的性質(zhì)與判定1．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A．20° B．25° C．27° D．40°【答案】B【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得，則利用得到，所以為的斜邊上的中線，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得，然后利用等角的余角相等即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴為的斜邊上的中線，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形中，E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，若．則菱形的周長(zhǎng)為（

）

A．9 B．12 C．18 D．24【答案】D【分析】利用三角形的中位線定理以及菱形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴菱形的周長(zhǎng)為：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線和菱形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等腰第三邊的一半，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是一張平行四邊形紙片，張老師要求學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)作出一個(gè)菱形．甲、乙兩位同學(xué)的作法如下：甲：如圖2，分別作與的平分線、，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是菱形．乙：如圖1，連接，作的中垂線交、于點(diǎn)、，則四邊形是菱形．

則關(guān)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）A．甲、乙均正確 B．甲、乙均錯(cuò)誤 C．僅甲正確 D．僅乙正確【答案】A【分析】首先證明，可得，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可判定判定四邊形是平行四邊形，再由，可根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形判定出是菱形；四邊形是平行四邊形，可根據(jù)角平分線的定義和平行線的定義，求得，所以四邊形是菱形．【詳解】解：甲的作法正確；四邊形是平行四邊形，，，是的垂直平分線，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；乙的作法正確；，，，平分，平分，，，，，，，，，且，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形；故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖復(fù)雜作圖，熟知平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為，面積為．【答案】2024【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后由菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是6和8，可求得，，再由勾股定理求得邊長(zhǎng)，繼而求得此菱形的周長(zhǎng)與面積．【詳解】解：如圖所示，菱形中，，∴，∴，∴此菱形的周長(zhǎng)是：，面積是：，故答案為：20，24．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的基本性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在菱形中，有一內(nèi)角為，且較短對(duì)角線長(zhǎng)為2，則菱形的周長(zhǎng)是．【答案】8【分析】根據(jù)已知可得較短對(duì)角線與菱形的一組鄰邊構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，從而可求得菱形的邊長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)求出周長(zhǎng)即可．【詳解】解：菱形有一個(gè)內(nèi)角為，則較短對(duì)角線與菱形的一組鄰邊構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，∴可得邊長(zhǎng)為2，則菱形周長(zhǎng)為8．故答案為8．【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定的運(yùn)用，難度不大，關(guān)鍵熟練掌握若菱形有一個(gè)內(nèi)角為，則較短對(duì)角線與菱形的一組鄰邊構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．6．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形為菱形，，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，在內(nèi)作射線，使得，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，若，則的長(zhǎng)為．【答案】12【分析】連接交于點(diǎn)H，證明，得出的長(zhǎng)度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)H，由菱形的性質(zhì)得，又∵，∴，∵，∴，∴，又∵四邊形是菱形，∴平分，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定，菱形的對(duì)角線互相平分是此題的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，得出是這個(gè)題最關(guān)鍵的一點(diǎn)．7．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校考期中）如圖，中，．

(1)作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，連接，連接，交于點(diǎn)O．①求證：四邊形是菱形；②取的中點(diǎn)E，連接，若，求點(diǎn)E到的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②點(diǎn)E到的距離是【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的畫(huà)法，過(guò)點(diǎn)A作的垂線段并延長(zhǎng)一倍，得對(duì)稱點(diǎn)C；（2）①根據(jù)菱形的判定即可求解；②過(guò)B點(diǎn)作于F，根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理得到再根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)C即為所求；

（2）解：①證明：∵，∴，∵C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形；②過(guò)B點(diǎn)作于F，

∵四邊形是菱形，∴，∵E是的中點(diǎn)，，∴，∴∴，∵四邊形是菱形，∴，∵∴，∴∵故點(diǎn)E到的距離是．【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖以及軸對(duì)稱變換的作法、菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等知識(shí)，得出，的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．8.（2023春·江蘇南通·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，在射線上，且．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)菱形的面積為6．【分析】（1）先由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)題意，求出，，再根據(jù)勾股定理列出方程求解，最后計(jì)算菱形的面積即可．【詳解】（1）證明：∵，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：設(shè)，∵，，，∴，，，，在中，，即，解得，∴，∴菱形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，，．

(1)作的平分線交于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并給出證明過(guò)程．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)四邊形是菱形．理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的作圖方法作出圖形即可；（2）先證明，再證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）解：如圖即為所求作的圖形；；（2）解：四邊形是菱形．理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定，菱形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．10．（2023·江蘇鹽城·?？既＃┲挥脽o(wú)刻度的直尺作圖（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．

(1)如圖1，已知．點(diǎn)E在OB邊上，其中四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出的平分線．(2)如圖2．已知E是菱形中邊上的中點(diǎn)，請(qǐng)作出邊上的中點(diǎn)F．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰三角形三線合一，可知的角平分線過(guò)線段的中點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可知，的中點(diǎn)即為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)與的中點(diǎn)的射線即為所求，作圖即可，如圖1；（2）由菱形的性質(zhì)，三角形的三條中線交于一點(diǎn)即重心，作的中線，，交點(diǎn)為重心，連接并延長(zhǎng)交于，即為所求，如圖2．【詳解】（1）解：如圖1，連接、交于點(diǎn)，過(guò)作射線，即為所求；

（2）解：如圖2，連接，，與交于點(diǎn)G，連接，與交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，即為所求；

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形、菱形的性質(zhì)，角平分線，中線、重心等知識(shí)．熟練掌握等腰三角形三線合一，三角形的三條中線交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、矩形的性質(zhì)與判定11．（2023春·江蘇常州·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上的一點(diǎn)．連接，，，且，，則的長(zhǎng)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∵，∴，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，O是矩形的對(duì)稱中心，M是的中點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先由O是矩形的對(duì)稱中心，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求得的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，又由M是的中點(diǎn)，可得是的中位線，進(jìn)而求得答案．【詳解】解：∵O是矩形的對(duì)稱中心，∴O是的中點(diǎn)，，∵，∴，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得的長(zhǎng)是關(guān)鍵．13．（2018·江蘇·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，則重疊部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由折疊的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，在中，，即，解得，，則的面積，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．14．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）若矩形兩對(duì)角線的夾角為，且對(duì)角線長(zhǎng)為6，則該矩形的長(zhǎng)是．【答案】【分析】先畫(huà)圖，由題意可知四邊形是矩形，，，根據(jù)矩形性質(zhì)可知，，證是等邊三角形，即可求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，在矩形中，，，

四邊形是矩形，，，又，是等邊三角形，，在中，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理．利用矩形的性質(zhì)及已知條件得出是等邊三角形是解題的關(guān)系．15．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，D、E、F分別是邊的中點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】先證明是的中位線，得到，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵E、F分別是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵D是邊的中點(diǎn)，，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形中位線等于第三邊長(zhǎng)的一半是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，平分，且，點(diǎn)P為邊中點(diǎn)，，則的面積為．

【答案】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，由角平分線的性質(zhì)得到，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，由此根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，∵，平分，，∴，∵，點(diǎn)P為邊中點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的矩形相等是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期末）如圖，是菱形對(duì)角線與的交點(diǎn)，，；過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)．

(1)求的長(zhǎng)；(2)求證：四邊形為矩形；(3)求矩形的面積．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)得到，在直角中，利用勾股定理即可求解；（2）先證明四邊形是平行四邊形，再由，即可證明平行四邊形是矩形；（3）利用矩形的面積公式即可直接求解．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，直角中，；（2）證明：，，四邊形為平行四邊形，又，即，平行四邊形為矩形；（3）解：，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的判定，勾股定理，理解菱形的對(duì)角線的關(guān)系是關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，D是中點(diǎn)、F是中點(diǎn)，是的外角的平分線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形的面積為．【分析】（1）根據(jù)是的外角的平分線，推得，再由，得，則，根據(jù)，得出四邊形為矩形；（2）由（1）知四邊形是矩形，由條件可證明為等邊三角形，求出和長(zhǎng)，則四邊形的面積可求出．【詳解】（1）證明：∵是的外角的平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，∵D是中點(diǎn)、F是中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵D是中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，D是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴四邊形為矩形；（2）解：由（1）知四邊形是矩形，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵D是中點(diǎn)，∴，，∴，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知，．C是第四象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段組成一個(gè)以為底，且腰長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的等腰三角形．(1)填空：C點(diǎn)的坐標(biāo)是，的面積是；(2)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到，連接、，則四邊形的形狀是何特殊四邊形？．(3)請(qǐng)?zhí)骄浚涸趛軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形的面積等于面積的2.5倍？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫(xiě)出解答過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)矩形(3)【分析】（1）根據(jù)題意點(diǎn)C坐標(biāo)為，如圖1，即可解答．（2）如圖2，由已知可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到對(duì)角線相等，即可得到所求四邊形是矩形．（3）先判斷存在，由（1）可得，再討論P(yáng)在y軸正、負(fù)半軸四邊形是否成立，即可解答．【詳解】（1）根據(jù)題意點(diǎn)C坐標(biāo)為，如圖1，，故答案為：，．（2）如圖2，∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到，∴、C、A在同一直線上，、C、B在同一直線上，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．故答案為：矩形．（3）存在．由（1）知，則，同（1）中的辦法得；當(dāng)P在y軸負(fù)半軸時(shí)，，高為2，那么底邊長(zhǎng)為4，所以，當(dāng)P在y軸正半軸不能形成四邊形，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，矩形的判定，熟練掌握對(duì)角線平分且相等的四邊形為矩形是矩形的重要判斷定理．20．（2023春·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在邊上以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在之間往返運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止（同時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)用含t的式子表示線段的長(zhǎng)度：______cm，(2)當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為_(kāi)_____秒時(shí)，以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．(3)當(dāng)時(shí)，以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形有沒(méi)可能是平行四邊形？若有，請(qǐng)求出t；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)2(3)存在或使得以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形【分析】（1）先根據(jù)題意求出，再由即可求出答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由此建立方程求解即可；（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得到，由此可建立方程或，解方程即．【詳解】（1）解；由題意得，∴，故答案為；；（2）解：∵以A、P、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，∴，∴，解得，故答案為：2；（3）解；假設(shè)存在以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴，∴或，解得或，∴存在或使得以P、D、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確根據(jù)題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．三、正方形的性質(zhì)與判定21．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點(diǎn)在上，若，則正方形的面積為（）

A．5 B．10 C．20 D．50【答案】A【分析】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可得是直角三角形，由勾股定理得，則，再由正方形的性質(zhì)和勾股定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，即，，，，，是直角三角形，，，，，四邊形是正方形，，，，，．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E．于點(diǎn)F，已知，，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】證明，得，，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．23．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形邊長(zhǎng)為6，，M、N分別是和的中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】取中點(diǎn)H，的中點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，根據(jù)正方形邊長(zhǎng)為6，得，，則，，根據(jù)M、N分別是和的中點(diǎn)，得是的中位線，是的中位線，，，，根據(jù)得，，即，，則四邊形是矩形，即，，即四邊形是正方形，根據(jù)，得，根據(jù)，得，根據(jù)四邊形是正方形得，運(yùn)用勾股定理即可得．【詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)H，的中點(diǎn)P，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，

∵正方形邊長(zhǎng)為6，，∴，，∴，，∵M(jìn)、N分別是和的中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，是的中位線，∴，，∵∴，，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是正方形，∵，，∴，

∵，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理，矩形的判定，平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)，添加輔助線．24．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為18，則的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和的周長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用三角形的中位線定理，即可得解．【詳解】解：的周長(zhǎng)為18，．為的中點(diǎn)，．，，，，．四邊形是正方形，，O為的中點(diǎn)，是的中位線，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．25．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考期末）如圖，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、分別在正方形的、、、上滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，始終有，且，四邊形的周長(zhǎng)為，那么正方形的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】先證明，都是等腰直角三角形，證明得，根據(jù)，，得由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，且，四邊形是平行四邊形，又四邊形是正方形，，，，，同理，在和中，，，，，，，，，，正方形周長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等，學(xué)會(huì)利用特殊三角形的邊之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．26．（2021春·江蘇南通·八年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形，以為邊作等邊，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】如圖，由等邊三角形，正方形性質(zhì)可推證，，由三角形內(nèi)角和定理可知．【詳解】解：如圖，等邊中，，正方形中，，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形、等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，是正方形對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，垂足為，交于點(diǎn)．

求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】證明是等腰直角三角形，，再利用證明，推出，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，連接，

∵，四邊形是正方形，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．28．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是正方形的邊上一點(diǎn)，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置．

(1)旋轉(zhuǎn)中心是________點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度是_______度，則是_______三角形；(2)若四邊形的面積為，求EF的長(zhǎng)．【答案】(1)，，等腰直角(2)【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的判定方法即可得答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，以此可推出四邊形的面積等于正方形面積，因此正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)勾股定理可求出AE，由（1）知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：由題意可知，旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)，∵四邊形為正方形，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)角是，是等腰直角三角形；故答案為：，，等腰直角．（2）解：∵把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，∴，∴，∴，∴，在中，，由勾股定理得，由（1）知，是等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道，菱形和正方形雖然都是四邊相等的四邊形，但形狀有差異，可以將菱形和正方形的接近程度稱為菱形的“神似度”，如圖，菱形中，對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為a，b（），我們把定義為菱形的“神似度”．(1)當(dāng)菱形的“神似度”=_________時(shí)，菱形就是正方形；(2)當(dāng)時(shí)，求菱形的“神似度”．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)正方形的判定判斷即可；（2）連接和，交于點(diǎn)O，設(shè)，判斷是等邊三角形，結(jié)合勾股定理求出和，從而得到和，即可求出“神似度”．【詳解】（1）解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，菱形為正方形，∴；（2）連接和，交于點(diǎn)O，設(shè)，在菱形中，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，即菱形的“神似度”為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)求出線段的長(zhǎng)．30．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)E在第四象限．(1)線段的長(zhǎng)為_(kāi)______（用m的代數(shù)式表示）．(2)試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)正方形的對(duì)稱中心為M，直線交y軸于點(diǎn)G．隨著點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若保持不變，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析(3)不變，【分析】（1）利用坐標(biāo)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可求解；（2）證明可得結(jié)論．（3）過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作軸．證明，推出，，求得，進(jìn)而可得，即可證明是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，故答案為：；（2）解：．∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，∴，∴，∴；（3）解：點(diǎn)G的位置保持不變，理由：過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為N，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，又，M是的中點(diǎn)，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造輔助線證明三角形全等．四、菱形、矩形、正方形的最值31．（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線折疊到，連接，則的最小值是（

）

A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】將放在中，利用三角形的三邊關(guān)系得出：當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再利用勾股定理求出即可求解．【詳解】]解：如圖，連接，

，，的最小值為，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，將沿所在直線折疊到，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最?。?2．（2023春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在周長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以連接，交于點(diǎn)，此時(shí)最小為線段的長(zhǎng)，在中，由勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：連接，與的交點(diǎn)為，此時(shí)最小，

∵四邊形是正方形，且周長(zhǎng)為，∴，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在中，，∴，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱問(wèn)題，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵．33．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，D為上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則線段的最小值為．

【答案】【分析】連接，可證四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)可得，再有“垂線段最短”即可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

由題意得：∵∴四邊形是矩形∴故當(dāng)時(shí)，有最小值，的最小值也為∵∴故線段的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等．利用矩形的性質(zhì)得到是解題關(guān)鍵．34．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

【答案】【分析】證得，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，據(jù)此即可求解．【詳解】解：連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接

由題意得：∵∴∴∵∴∴的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)等．通過(guò)證全等和作對(duì)稱得出是解題關(guān)鍵．35．（2023春·青海海東·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的斜邊（不與點(diǎn)重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分別作于點(diǎn)于點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是．

【答案】3.6//【分析】連接，證四邊形是矩形，得．再根據(jù)當(dāng)時(shí)，最小，然后由面積法求出的最小值，即可解決問(wèn)題．【詳解】連接，如圖，

∵，，∴．∵，，，∴四邊形是矩形，∴，與互相平分．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O在上，．∵當(dāng)時(shí)，最小，又∵此時(shí)，∴，∴，∴．故答案為：3.6．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理以及面積法等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．36．（2023春·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，以為對(duì)角線的平行四邊形中，的最小值是．

【答案】3【分析】由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度取最小值．【詳解】解：在中，，．四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)取最小值時(shí)，線段最短，此時(shí)，是的中位線，，，故答案為：3．