第02講相似三角形的性質(zhì)及其判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①相似三角形的定義②相似三角形的性質(zhì)③相似三角形的判定掌握相似三角形的定義及其表示方法。掌握相似三角形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。掌握相似三角形的判定并能夠熟練的判定相似三角形。知識點01相似三角形的定義與性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比，對應(yīng)角，那么這兩個三角形相似。用符號“∽”來表示。若△ABC相似于△DEF，A對應(yīng)D，B對應(yīng)E，C對應(yīng)F。則表示為△ABC∽△EDF。對應(yīng)邊的比叫做這兩個三角形的。相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角，對應(yīng)邊的比。②相似三角形（多邊形）的周長的比等于；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于。③相似三角形的面積的比等于。題型考點：①求相似三角形的相似比。②利用相似三角形的性質(zhì)求值。【即學(xué)即練1】1．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝30°，∠B＝80°，則∠F的度數(shù)為（）A．30° B．80° C．70° D．60°【即學(xué)即練2】2．如圖，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，則△ADE與△ABC的相似比是（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：2【即學(xué)即練3】3．若兩個相似三角形的周長之比是1：2，則它們的面積之比是（）A．1：2 B．1： C．2：1 D．1：4【即學(xué)即練4】4．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2其中CB＝，DE的長為（）A．6 B． C． D．5【即學(xué)即練5】5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面積為81cm2，△DEF的面積為36cm2，且AB＝12cm，則DE＝cm．【即學(xué)即練6】6．如圖，△ABC，AB＝12，AC＝15，D為AB上一點，且AD＝AB，在AC上取一點E，使以A、D、E為頂點的三角形與ABC相似，則AE等于（）A． B．10 C．或10 D．以上答案都不對知識點02相似三角形判定的預(yù)備定理判定預(yù)備定理內(nèi)容：平行于三角形其中一邊的直線與另兩邊或兩邊的延長線相交，所得到的三角形與原三角形。圖1圖2如圖1：△AOE∽△ABC；如圖2，△AOB∽△COD題型考點：①利用預(yù)備定理進(jìn)行相似三角形的判定。【即學(xué)即練1】7．如圖，在△ABC中，點D在AB上，AD：BD＝1：2，DE∥BC交AC于E，下列結(jié)論中不正確的是（）A．BC＝3DE B．△ADE∽△ABC C． D．【即學(xué)即練2】8．如圖，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，求證：△ADE∽△DBF．知識點03相似三角形的判定定理1—三邊成比例的兩個三角形相似三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似：若兩個三角形三邊的相等，則這兩個三角形相似。題型考點：①利用判定定理1判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】9．一個三角形的三邊長分別為12cm，8cm，7cm，另一個三角形的三邊長分別為16cm，24cm，14cm，這兩個三角形相似嗎？為什么？【即學(xué)即練2】10．如圖，O是△ABC內(nèi)一點，D，E，F(xiàn)分別OA，OB，OC，上的點，DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC．求證：△DEF∽△ABC．知識點04相似三角形的判定定理2—兩邊及其夾角判定判定定理2的內(nèi)容：兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的相等且這兩組對應(yīng)邊的相等的兩個三角形相似。題型考點：①利用判定定理2判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，點C在△ADE的邊DE上，∠1＝∠2，，請說明△ABC∽△ADE．【即學(xué)即練2】12．如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求證：△ABD∽△CBA．【即學(xué)即練3】13．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，點P從B點出發(fā)沿BA方向以每秒1個單位移動，點Q從A出發(fā)沿AC方向以每秒2個單位移動，當(dāng)它們到達(dá)A、C后停止運動．試問經(jīng)過幾秒后，△ABC與△APQ相似？請說明理由．知識點05相似三角形的判定定理3—兩角判定判定定理3的內(nèi)容：兩個三角形的兩個角對應(yīng)，則這兩個三角形相似。題型考點：①利用判定定理3判定三角形相似?！炯磳W(xué)即練1】14．如圖，已知在△ABC與△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，求證：△ABC∽△DEF．【即學(xué)即練2】15．已知：如圖，∠1＝∠2＝∠3，求證：△ABC∽△ADE．【即學(xué)即練3】16．已知：如圖AB為⊙O的直徑，弦AC、BD相交于點P，（1）證明圖中的相似三角形；（2）若AB＝3，CD＝1，AC＝2，求AP的長．題型01相似三角形的性質(zhì)求線段【典例1】在△ABC中，BC＝15cm，CA＝45cm，AB＝63cm，另一個和它相似的三角形的最短邊是5cm，則最長邊是（）A．18cm B．21cm C．24cm cm【典例2】如圖，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一點AD＝12，在AB上取一點E，使A、D、E三點組成的三角形與ABC相似，則AE＝．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的長．【典例4】如圖，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12．求AB，OC的長．題型02相似三角形的性質(zhì)求周長與面積【典例1】若△ABC∽△DEF，且面積比為4：9，其中△ABC的周長為6cm，則△DEF的周長是（）A．4cm B．9cm cm D．9cmcm【典例2】兩個相似三角形，其周長之比為3：2，則其面積比為（）A． B．3：2 C．9：4 D．不能確定【典例3】在一張縮印出來的紙上，一個三角形的一條邊由原圖中的6cm變成了2cm，則縮印出的三角形的面積是原圖中三角形面積的（）A． B． C． D．【典例4】已知△ABC的三邊分別是5，6，7，則與它相似△A′B′C′的最短邊為10，則△A′B′C′的周長是．題型03相似三角形的判定【典例1】如圖，點C，F(xiàn)在線段BD上，AB∥DE，，求證：△ABC∽△EDF．【典例2】如圖，點D是△ABC外一點，∠DAE＝∠BAC，∠AEC+∠ACB＝180°．求證：△DAB∽△EAC．【典例3】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點P在BC上，且∠APD＝90°．求證：△ABP∽△PCD．【典例4】在△ABC中，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分別是F，E，連接EF．求證：（1）△BAF∽△BCE；（2）△BEF∽△BCA．【典例5】如圖所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，點P由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點Q由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s，連接PQ，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：（1）△BPQ的面積可能是為5cm2嗎？為什么？（2）在點P，Q的運動過程中，當(dāng)t為何值時，△BPQ與△ABC相似？并說明理由．題型04相似三角形的判定與性質(zhì)【典例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝8．在BC的延長線上取一點B，使CE＝BC，連接AE，AE與CD交于點F．（1）求證：△ADF∽△ECF；（2）求DF的長．【典例2】如圖，平行四邊形ABCD，DE交BC于F，交AB的延長線于E，且∠EDB＝∠C．（1）求證：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的長．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，E是邊BC的中點，DF⊥AE于點E．（1）求證：；（2）若AB＝4，BC＝6，求AF的長．【典例4】小軍在學(xué)習(xí)相似三角形時，遇到這樣一個問題：（1）如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，連接CP，若∠ACP＝∠B，求證：△ACP∽△ABC；（2）如圖2，已知∠A＝81°，AC2＝AB?AD，BC＝BD，求∠ABC的度數(shù)．題型04相似三角形的應(yīng)用【典例1】同學(xué)們在物理課上做“小孔成像”實驗．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度ABcm時，所成的像A′B'的高度為（）cm cm cm cm【典例2】如圖，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度．如果標(biāo)桿BEm，測得ABm，BC＝12m，則樓高CD是（）典例2典例3A．9m m m mm【典例3】如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，邊DE與點B在同一直線上．已知直角三角紙板中DE＝18cm，EF＝12cm，測得眼睛Dm，他與“步云閣”的水平距離CD為114m，則“步云閣”的高度AB是（）m m m m【典例4】四分儀是一種十分古老的測量儀器．其出現(xiàn)可追溯到數(shù)學(xué)家托勒密的《天文學(xué)大成》．圖1是古代測量員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F、窺衡桿與四分儀的一邊BC交于點H．圖2中，四分儀為正方形ABCD．方井為矩形BEFG．若測量員從四分儀中讀得AB為1，BH為0.5，實地測得BE為2.5．則井深BG為（）A．4 B．5 C．6 D．71．兩個相似三角形的周長之比是，則它們的面積之比為（）A．1：3 B．3：1 C． D．2．如圖，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四邊形BDEC＝1：2，其中，DE的長為（）A． B． C． D．63．如圖，已知∠1＝∠2，那么添加一個條件后，仍不能判定△ABC與△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝4．圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為（） C．1 5．新定義：由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，點A、B、C、D為不同的點且都在格點上，如果∠ADC＝∠ABC，那么圖中所有符合要求的格點D的個數(shù)是（）A．3 B．5 C．7 D．96．如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE＝2，CD＝3，則AC的長為（）A．4 C．5 7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝8，對角線AC與BD交于點O，點E是DC的延長線的一個動點，連接OE交BC于點F，當(dāng)CE＝1時，BF的長是（）A．6 D．78．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接CE，過點C作CF⊥CE交AD的延長線于點F，連接EF，EF分別交CD、AC于點G、H，M是EF中點，連接DM，則下列結(jié)論：①BE＝DF；③FH?GE＝CE2；③∠CDM＝45°；④若AE＝AH，則，正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④9．D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，如果∠A＝45°，AB＝2，AD＝1，AC＝3，那么要使△ABC和△ADE相似，則AE＝．10．九年級（1）班課外活動小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，如圖所示，已知標(biāo)桿高度CD＝3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD＝15m，人的眼睛與地面的高度EFm，人與標(biāo)桿CD的水平距離DF＝2m，則旗桿AB的高度為m．11．將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊形紙片ABCD如圖所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原來的直角三角形紙片的面積是平方厘米．12．如圖，四邊形ABCD是正方形，點F是邊AB上的一點，連接DF，點E是邊BC延長線上的一點，且DF⊥DE，連接AC交EF于點Q，若，AF＝1，則EF的長為．13．某數(shù)學(xué)興趣小組要完成一個項目學(xué)習(xí)，測量凌霄塔的高度AB．如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD，發(fā)現(xiàn)水平地面上點E、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得BD＝57米，D、E之間有一個花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看到樹頂C的像，EG＝2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，F(xiàn)G⊥BG，點B、D、E、G在同一水平線上．請你求出凌霄塔的高度AB．（平面鏡的大小厚度忽略不計）14．如圖，?ABCD中，AE⊥BC于點E，點F在BC的延長線上，且CF＝BE，連接AC，DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形：