目錄第一部分名?？佳姓骖}...................................................................................................................................................4第1章多項(xiàng)式...........................................................................................................................................................4第2章行列式...........................................................................................................................................................8第3章線性方程組.................................................................................................................................................14第4章矩陣.............................................................................................................................................................19第5章二次型.........................................................................................................................................................25第二部分課后習(xí)題.........................................................................................................................................................33第1章多項(xiàng)式.........................................................................................................................................................33第2章行列式.........................................................................................................................................................52第3章線性方程組.................................................................................................................................................73第4章矩陣...........................................................................................................................................................101第5章二次型.......................................................................................................................................................125第三部分章節(jié)題庫(kù).......................................................................................................................................................156第1章多項(xiàng)式.......................................................................................................................................................156第2章行列式.......................................................................................................................................................161第3章線性方程組...............................................................................................................................................212第4章矩陣...........................................................................................................................................................253第5章二次型.......................................................................................................................................................278第四部分模擬試題.......................................................................................................................................................307北京大學(xué)數(shù)學(xué)系《高等代數(shù)》（第3版）配套模擬試題及詳解.........................................................................307

第一部分名校考研真題多項(xiàng)式第1章一、判斷題1．設(shè)Q是有理數(shù)域，則P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是數(shù)域，其中i1．（）[南京大學(xué)研]【答案】對(duì)【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2為有理數(shù)，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4為有理數(shù)且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有cd(33i)/(44i)(3434)(3434)iP4224綜上所述得P為數(shù)域．2．設(shè)f（x）是數(shù)域P上的多項(xiàng)式，a∈P，如果a是f（x）的三階導(dǎo)數(shù)f?（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，則a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大學(xué)研]【答案】錯(cuò)【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，這里f（a）＝0，并且f?（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k滿足a是f（x）的三階導(dǎo)數(shù)f?（x）的k重根（k≥1）．3．設(shè)f（x）＝x4＋4x－3，則f（x）在有理數(shù)域上不可約．（）[南京大學(xué)研]【答案】對(duì)【解析】令x＝y(tǒng)＋1，則f（y）＝y(tǒng)4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判別法知，它在有理數(shù)域上不可約．二、計(jì)算題1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，試確定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清華大學(xué)研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，則（1）當(dāng)p＝4時(shí)，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，這時(shí)f（x）的三個(gè)根為－2，－2，－2．（2）若p≠4，則繼續(xù)輾轉(zhuǎn)相除，即當(dāng)p＝－5時(shí)，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）這時(shí)f（x）的三個(gè)根為1，1，－8．2．假設(shè)f1（x）與f2（x）為次數(shù)不超過3的首項(xiàng)系數(shù)為1的互異多項(xiàng)式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），試求f1（x）與f2（x）的最大公因式．［上海交通大學(xué)研］解：設(shè)6次單位根分別為kcos2kisin2k,k0,1,2,,566由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4個(gè)根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分別將ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得110ff112f1f11052從而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．同理，將ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）與f2（x）的一個(gè)公因式．又因?yàn)閒1（x），f2（x）為次數(shù)不超過3的首項(xiàng)系數(shù)為1的互異多項(xiàng)式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、證明題1．設(shè)不可約的有理分?jǐn)?shù)p/q是整系數(shù)多項(xiàng)式f（x）＝a0xn＋a1xn－1＋?＋an－1x＋an的根，證明：q∣a0，p∣an[華中科技大學(xué)研]證明：因?yàn)閜/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），從而（qx－p）∣f（x）．又因?yàn)閜，q互素，所以qx－p是本原多項(xiàng)式[即多項(xiàng)式的系數(shù)沒有異于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（bn－1xn－1＋?＋b0，bi∈z比較兩邊系數(shù)，得a0＝qbn－1，an＝－pb0?q∣a0，p∣an2．設(shè)f（x）和g（x）是數(shù)域P上兩個(gè)一元多項(xiàng)式，k為給定的正整數(shù)．求證：f（x）∣g（x）的充要條件是fk（x）∣gk（x）[浙江大學(xué)研]證明：（1）先證必要性．設(shè)f（x）∣g（x），則g（x）＝f（x）h（x），其中h（x）∈P（x），兩邊k次方得gk（x）＝fk（x）hk（x），所以fk（x）∣gk（x）（2）再證充分性．設(shè)fk（x）∣gk（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，則f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全為0，則令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以fk（x）＝dk（x）f1k（x），gk（x）＝dk（x）g1k（x）因?yàn)閒k（x）∣gk（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得gk（x）＝fk（x）·h（x）所以dk（x）g1k（x）＝dk（x）f1k（x）·h（x），兩邊消去dk（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）這樣繼續(xù)下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1故fl（x）＝c，其中c為非零常數(shù)．所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）?f（x）∣g（x）3．設(shè)f（x），g（x）都是P[x]中的非零多項(xiàng)式，且g（x）＝sm（x）g1（x），這里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．證明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，?（r（x））＜?（s（x））使f(x)r(x)f1(x)m(x)sm1(x)g1(x)①g(x)s[浙江大學(xué)研]證明：用反證法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，則用g（x）乘①式兩端，得f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②因?yàn)閟（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．這與?（r（x））＜?（s（x））矛盾．4．設(shè)f（x）是有理數(shù)域上n次[n≥2]多項(xiàng)式，并且它在有理數(shù)域上不可約，但知f（x）的一根的倒數(shù)也是f（x）的根．證明：f（x）每一根的倒數(shù)也是f（x）的根．[南開大學(xué)研]證明：設(shè)b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再設(shè)c是f（x）的任一根．下證1/c也是f（x）的根．令g（x）＝f（x）/d，其中d為f（x）的首項(xiàng)系數(shù)，不難證明：g（x）與f（x）有相同的根，其中g(shù)（x）是首項(xiàng)系數(shù)為l的有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式．設(shè)g（x）＝xn＋an－1xn－1＋?＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于bn＋an－1bn－1＋?＋a1b＋a0＝0①（1/b）n＋an－1（1/b）n－1＋?＋a1（1/b）＋a0＝0?a0bn＋a1bn－1＋?＋an－1b＋1＝0?bn＋（a1/a0）bn－1＋?＋（an－1/a0）b＋1/a0＝0②由g（x）不可約及①，②兩式可得1/a0＝a0，ai/a0＝an－i（i＝1，2，?，n－1）．故a0＝±1，ai＝±an－i（i＝1，2，?，n－1）③由③式可知，當(dāng)f（c）＝0時(shí)，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，從而f（1/c）＝0．5.設(shè)f（x）是復(fù)系數(shù)一元多項(xiàng)式，對(duì)任意整數(shù)n有f（n）都是整數(shù)．證明：f（x）的系數(shù)都是有理數(shù)．舉例說明存在不是整系數(shù)的多項(xiàng)式，滿足對(duì)任意整數(shù)n，有f（n）是整數(shù)．［浙江大學(xué)研］證明：設(shè)f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]由于?n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．下證g（x）∈Q[x]．事實(shí)上，令g（x）＝a0＋a1x＋?＋amxm，am≠0，ai∈R，i＝1，2，?，m則有a0＋a1＋?＋am＝g（1）∈Z，a0＋a1·2＋?＋am·2m＝g（2）∈Z，?a0＋a1（m＋1）＋?＋am（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.記11112m1T12m(m1)m則有（a0，a1，?，am）T＝（g（1），g（2），?，g（m＋1））①又顯見∣T∣＝m!（m－1）!?2!1!≠0，由①式得（a0，a1，?，am）＝（g（1），g（2），?，g（m＋1））T－1這里T－1是有理數(shù)域上的矩陣，g（1），g（2），?，g（m＋1）均為整數(shù)，所以a0，a1，?，am∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2可見存在不是整系數(shù)的多項(xiàng)式f（x），對(duì)任一整數(shù)n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．

第2章行列式一、填空題設(shè)A*是3階方陣A的伴隨陣，∣A∣＝－1/2，則∣A－1－2A*∣＝______．［華東師范大學(xué)研］【答案】－16【解析】因?yàn)楱OA∣·∣A1－2A*∣＝∣AA－1－2AA*∣＝∣E－2∣A∣E∣＝∣2E∣＝23，所以－2A*2316A1A二、計(jì)算題1．計(jì)算n階行列式a21a1a2a1ana2a1a22a2anD,(其中0)ana1ana2a2n[武漢大學(xué)研]解：利用行列式的性質(zhì)，對(duì)原n階行列式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得以下（n＋1）階行列式1a1a2an0a12a1a2D0a2a1a22a1ana2an2n0ana1ana2a1a1a2an0a10rairi11i1,2,,na200an002kna1a1a2ank1aiaj1a100000j1,2,,n0000n(a)nn1(a)2kk12．計(jì)算n階行列式a0a1a1a1a1a2a2000000000a2a2a3a30Dn000000000000an2an2an1an10an1an1an[上海交通大學(xué)研]解：將Dn按第n列拆分得a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3Dnan2an1an1an1an1ana0a1a1a1a1a2a2a2an2an2an100an1an對(duì)如上第一個(gè)行列式ri－1－ri（i＝n，n－1，?，2），第2個(gè)行列式按第n列展開得a0a1a1DnanDn1an2an1an1a0a1an1an(a0a1an2an1Dn2)a0a1an1a0a1an2ananan1Dn2a0a1an1a0a1an2ana0a1a2a4ananan1a3D2又D2＝a0a1＋a0a2＋a1a2，故Dn＝a0a1?an－1＋a0a1?an－2an＋?＋a1a2a3?an1111411113．設(shè)A，又Aij為A中的（i，j）元素在∣A∣中的代數(shù)余子式，試求Aij．［南1111i,j11111開大學(xué)研］解：解法1：因?yàn)?111A111111111601111所以A可逆．又1411144411114444A11111444411114444所以444444444A*AA14444444即4,ijAij4,iji,j＝1,2,3,44Aij32從而i,j1解法2：同解法1，∣A∣＝－16，又因?yàn)?1111111121111111111111111211111111211111111111111114Aiji,j1所以41616Aiji,j14Aij=32從而i,j14．計(jì)算n階行列式1xyz1xDnyz1x其中x＝y(tǒng)z．[武漢大學(xué)研]解：按第1行展開得Dn(1x)Dn1yzDn2(1x)Dn1xDn2DDn1x(Dn1Dn2)xn2(D2D1)n1xyz1x(1x)xn2①xn由①式得Dn＝Dn－1＋xn＝（Dn－2＋xn－1）＋xn＝?＝（D2＋x3）＋x4＋?＋xn－1＋xn＝1＋x＋x2＋?＋xn－1＋xn。三、證明題若n階方陣A與B只是第j列不同，試證21－n∣A＋B∣＝∣A∣＋∣B∣．[北京航空航天大學(xué)、華中師范大學(xué)研]證明：設(shè)a11x1a1nAan1xnanna11y1a1nBan1ynann則2a11x1y12a1nABxnyn2an12ann于是a11(x1y1)a1n|AB|2n1(xnyn)an1ann2n1(|A||B|)所以∣A∣＋∣B∣＝21－n∣A＋B∣．第3章線性方程組一、計(jì)算題1．設(shè)111A2a2b203aa2b1B33x1xx2x3試就a，b的各種取值情況，討論非齊次方程組AX＝B的解，如有解，并求出解．[清華大學(xué)研]解：因?yàn)橄禂?shù)行列式∣A∣＝a（a－b），所以（1）當(dāng)a≠0，且b≠a時(shí)，方程組有唯一解x1＝（a－1）/a，x2＝1/a，x3＝0（2）當(dāng)a＝0時(shí)，原方程組無解．（3）當(dāng)a＝b≠0時(shí)，原方程組有無窮多解，其通解為a1x1a1x2kax3k其中k為任意常數(shù)．2．設(shè)x1x22x33x402x1x26x34x413x12x2px37x41x1x26x3x4t2試討論p，t取什么值時(shí)，方程組有解或無解，并在有解時(shí)，求其全部解．[清華大學(xué)研]解：計(jì)算如下112301041121641122100100p8032p71161t20t2000（1）當(dāng)t≠－2時(shí)，原方程組無解．（2）當(dāng)t＝－2時(shí)．①當(dāng)p＝－8時(shí)，原方程組有無窮多個(gè)解，其通解為x114k1k2x212k12k2xk1x4k23其中k1，k2為任意常數(shù)．②當(dāng)p≠－8時(shí)，原方程組也有無窮多個(gè)解，其通解為x11kx212kx03x4k其中k為任意常數(shù)．3．設(shè)向量α1＝[－1，2，0，4]，α2＝（5，0，3，1），α3＝（3，－1，4，－2），α4＝（－2，4，－5，9），α5＝（1，3，－1，7）（1）求向量組α1，α2，α3，α4，α5的秩；（2）求向量組α1，α2，α3，α4，α5的一個(gè)極大線性無關(guān)組；（3）將向量組α1，α2，α3，α4，α5中其余向量表為極大線性無關(guān)組的線性組合．[南京大學(xué)研]解：（1）將α1，α2，α3，α4，α5按行排成5×4矩陣，并對(duì)其作初等行變換，有12034120405111530111420000500245931700010故向量組α1，α2，α3，α4，α5的秩為3．（2）由上述得知α1，α2，α5為向量組α1，α2，α3，α4，α5的極大線性無關(guān)組．（3）由初等變換過程易知：α3＝α1＋α2－α5，α4＝－α1－α2＋2α54．把實(shí)數(shù)域R看成有理數(shù)域Q上的線性空間，b＝p3q2r，這里的P，q，r∈Q是互不相同的素?cái)?shù)．判斷向量組1,nb,b,,2nnbn1是否線性相關(guān)？說明理由．[北京大學(xué)研]解：向量組1,nb,b,,b2n1nn是線性無關(guān)的，可用數(shù)學(xué)歸納法證之．當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)結(jié)論對(duì)于n－1成立，下證對(duì)于n結(jié)論也正確．為此，設(shè)有k1，k2，k3，?，kn，k∈Q，使得k11k2bk3nbknb2n10nn若kn≠0，則有bn1kk11kk2nbkkbkn1nbn3n2n2knnnn這是不可能的．若kn＝0，則有k11k2bk3kn1bb2n20nnnn－1＝0故向量組1,b,b,,bn2n1nn是線性無關(guān)的．這就證得：對(duì)于任意根據(jù)歸納假設(shè)，知k1＝k2＝?＝k正整數(shù)n，結(jié)論均成立．5．設(shè)A，B是數(shù)域K上的n階方陣，X是未知量x1，x2，?xn所構(gòu)成的n×1矩陣．已知齊次線性方程組AX＝0和BX＝0分別有l(wèi)，m個(gè)線性無關(guān)的解向量，這里l≥0，m≥0．證明：（1）方程組[AB]X＝0至少有max[l，m]個(gè)線性無關(guān)的解向量；（2）如果l＋m＞n，那么（A＋B）X＝0必有非零解；（3）如果AX＝0和BX＝0無公共的非零解向量，且l＋m＝n，那么Kn中任一向量α都可唯一地表示成α＝β＋γ，這里β，γ分別是AX＝0和BX＝0的解向量．[武漢大學(xué)研]解：（1）由題設(shè)，l≤n－rank（A），m≤n－rank（B），而rank（AB）≤min（rankA，rankB]，所以另一方面，方程組[AB]x＝0有n－rank（AB）個(gè)線性無關(guān)的解向量．故所證結(jié)論成立．（2）因l＋m＞n，所以rank（A＋B）≤rank（A）＋rank（B）≤（n－l）＋（n－m）＜n，因此齊次方程組（A＋B）X＝0必有非零解．（3）設(shè)AX＝0和BX＝0的解空間分別為V1和V2，則dimV1≥l，dimV2≥m．據(jù)題設(shè)，V1∩V2＝∣0∣，所以V1與V2的和是直和，故dim（V1＋V2）＝dimV1＋dimV2≥l＋m＝n＝dimKn又dim（V1＋V2）≤dimKn，所以dim（V1＋V2）＝dimKn．從而有Kn＝V1⊕V2所證結(jié)論成立．6．解方程組x1x2xn222xCx21Cxn112nx1C32x2Cxn2n1x2Cnn1x2n1Cxn2n21[上海交通大學(xué)研]解：利用CnrCnr11Crn1可得方程組系數(shù)行列式11111C1C1C1n23D1C32C42C2n11Cnn1n1n1n12n2CC10111C1C1C112n1riri1,in,,3,20C22C32Cn20n1n1Cnn1n1C2n1C111101100121n1CCCC10C222n1000n1n1C由克萊姆法則知，原方程組有唯一解．又顯見方程組常數(shù)項(xiàng)組成的列（2，2，?，2）′換系數(shù)行列式D的第：列得：D1＝2D，Di＝0（i＝2，?，n），故方程組解為（2，0，?，0）′7．設(shè)ω是復(fù)數(shù)域C上的本原n次單位根（即ωn＝1，而當(dāng)0＜l＜n時(shí)ωl≠1），s，b都是正整數(shù)，而且s＜n，令1(n1)bb2b1b12(b1)(n1)(b1)A(n1)(bs1)1bs12(bs1)任取β∈Cs判斷線性方程組AX＝β有無解，有多少解，寫出理由．[北京大學(xué)研]解：A是一個(gè)s×n矩陣，其前s列組成的子式1b(s1)bA11b1(s1)(b1)1bs1(s1)(bs1)為一范德蒙行列式．因s＜n，所以ωb，ωb＋1，?，ωb＋s－1互不相同，從而∣A1∣≠0．這樣立知r（A）＝s．所以對(duì)方程組AX＝β有r（A）＝r（A∣β）＝s＜n，說明對(duì)?β，AX＝β有無窮多解．二、證明題1．設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，向量組α2，α3，α4線性相關(guān)，試證：α1不能由α2，α3，α4線性表示．[同濟(jì)大學(xué)研]證明：用反證法，若α1可以由α2，α3，α4線性表示，即α1＝k2α2＋k3α3＋k4α4①則k4≠0[否則若k4＝0．則由①知α1，α2，α3線性相關(guān)，矛盾]．由①可解得41122k33k②kkk444再由α2，α3，α4線性相關(guān)，存在不全為零的秩l2，l3，l4使l2α2＋l3α3＋l4α4＝0③類似可證l4≠0[否則α2，α3線性相關(guān)，這與α1，α2，α3線性無關(guān)矛盾]．由③解得l22l33012l33l④llll42444但α1，α2，α3線性無關(guān)，表示法唯一，由②，④可得1/k4＝0，矛盾，即證α1不能由α2，α3，α4線性表示．2．已知m個(gè)向量α1，α2，?，αm線性相關(guān)，但其中任意m－1個(gè)都線性無關(guān)，證明：（1）如果等式k1α1＋k2α2＋?＋kmαm＝0，則這些k1，k2，?，km或者全為0，或者全不為0；（2）如果存在兩個(gè)等式k1α1＋k2α2＋?＋kmαm＝0①l1α1＋l2α2＋?＋lmαm＝0②其中l(wèi)1≠0．則k1/l1＝k2/l2＝?＝km/lm③[清華大學(xué)研]證明：（1）若k1＝k2＝?＝km＝0，則證畢．否則總有一個(gè)k不等于0，不失一般設(shè)k1≠0那么其余的ki都kjj0，其中k≠0，這與任意m－1個(gè)都線性無關(guān)的假設(shè)矛盾，從而得不能等于0，否則有ki＝0．即1ji證k1，k2，?，km全不為0．（2）由于l1≠0，由上面（1）知，l1，l2，?，lm全不為0．再看k如果k1＝?＝km＝0．則③式成立．若k1，?，km全不為0，則由l1×①－k1×②得（l1l2－k1k2）α1＋（l1k3－k1l3）α3＋?＋（llkm－kllm）αm＝0所以0＝l1k2－k1l2＝?＝l1km－lmkm?k1/l1＝k2/l2＝?＝km/lm第4章矩陣一、判斷題1．設(shè)A，B均為n階方陣，若AB＝0，則A＝0或B＝0．（）[上海機(jī)械學(xué)院研]【答案】對(duì)10，B=00【解析】比如A＝0，但A≠0且B≠0．0001，則AB2．設(shè)A，B均為n階方陣，（A＋B）2＝A2＋2AB＋B2．（）[上海機(jī)械學(xué)院研]【答案】錯(cuò)1111A=01B=10【解析】比如，，則6675A+B2==A+2AB+B2233323．設(shè)A，B均為n階方陣，（AB）′＝A′B′．（【答案】錯(cuò)）[上海機(jī)械學(xué)院研]【解析】一般應(yīng)為（AB）′＝B′A′．4．設(shè)A，B均為n階方陣，（AB）1－＝B－1A－1（當(dāng)｜A｜≠0，｜B｜≠0時(shí)）（）[上海機(jī)械學(xué)院研]【答案】對(duì)【解析】（AB）（B1A－1）＝E．－5．設(shè)A，B均為n階方陣，｜kA｜＝k｜A｜，（k為常數(shù)）．（）[上海機(jī)械學(xué)院研]【答案】錯(cuò)【解析】比如A＝E2，k＝2，則｜kA｜＝8，k｜A｜＝2?｜kA｜≠kn｜A｜，一般應(yīng)為｜kA｜＝kn｜A｜，其中A為n階方陣．二、計(jì)算題設(shè)A為數(shù)域F上的m×n矩陣，其秩為r，試求滿足下式的所有矩陣X（給出公式）：AXA＝A．[清華大學(xué)研]解：因?yàn)閞（A）＝r，所以存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使ErOOOAPQ首先，如AXA＝A，即ErOQXPErOQPErOOOPQOOOO則有ErOErOErOOO(QXP)OOOO①BC令QXPDFnm，這里B為r階方陣．則式①等價(jià)于

BOErOOOOO則B＝Er．所以ErCP1DFXQ1②其次，由式②，直接驗(yàn)證可知ErOErCQQOODFErO1PQAXAP1POOErOQAPOO所以，滿足AXA＝A的所有解為ErCP1DFXQ1三、證明題1．設(shè)A為n階方陣，證明：（A*）*＝∣A∣n－2A，n＞2．[浙江大學(xué)研]證明：當(dāng)∣A∣≠0時(shí)，有∣A*∣＝∣A∣n－1≠0，而A*（A*）*＝∣A*∣E，所以A(A)|A|(A)1|A|n1AAn2A當(dāng)丨A丨＝0時(shí)，有r（A）≤n－1：①r（A）＜n－1時(shí)，A*＝0，從而（A*）*＝0，顯然有（A*）*＝∣A∣n－2A；②r（A）＝n－1時(shí)，有r（A*）＝1，結(jié)合n＞2時(shí)知（A*）*＝0，故仍有（A*）*＝∣A∣n－2A2．設(shè)A為非零矩陣，但不必為方陣，證明AX＝E有解當(dāng)且僅當(dāng)CA＝0必有C＝0，其中E為單位矩陣．[上海交通大學(xué)研]證明：設(shè)A為m×n矩陣，則如果AX＝E有解Bn×m，即AB＝Em，有m≥r（A）≥r（Em）＝m，所以r（A）＝m．又CA＝0，所以有r（A）＋r（C）≤m，從而可得r（C）＝0，即C＝0．如果r（An×m）＜m，則線性方程組A′Xm×1有非零解，任取一個(gè)非零解X1，令C′＝（X1，0，?，0）m×1，則有C≠0，且A′C′＝0，即CA＝0，矛盾，所以r（An×m）＝m．由此可知A存在可逆矩陣，即AX＝E有解．3．設(shè)A、B都是n階方陣，E為n階單位矩陣．證明：ABA＝B－1的充要條件是r（E＋AB）＋r（E－AB）＝n．[廈門大學(xué)研]證明：由ABA＝B1得（AB）2＝E，所以有：－E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0故r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）又n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）結(jié)合式（1）、式（2）可得：r（E－AB）＋r（E＋AB）＝n如果r（E－AB）＋r（E＋AB）＝n，則有EABOEABrnO又由EABOEABEABEABEABEABOO2E2EEAB12EABEAB[E(AB)]2O2EO12O[E(AB)]2知r(2E)r[1(EAB)]n22所以12[E(AB)2]O因此有（AB）2＝E即ABA＝B－1．4．求證：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U其中A為n階矩陣，U，V為n維列向量．[浙江大學(xué)研]證明：設(shè)A＝（aij）m×n，U＝（u1，?，un）′，V＝（V1，?，Vn）′則a11u1V1a12u1V2a1nu1Vn|AUV|①an1unV1an2unV2annunVn這時(shí)，將①式右端拆成2m個(gè)n階行列式之和，但其中有許多行列式等于0（比如有兩列都取uiVi時(shí)），因此a11a1nu1V1a12a1n|AUV|an1annu1V1an2anna11u1V2a1na11an1a1,n1u1Vnan,n1unVnan1u1V2ann|A|(u1V1A11unV1An1)(u1V2A12unV2An2)(u1VnA1nunVnAnn)|A|VAU5．設(shè)A＝（aij）為n×n實(shí)矩陣，已知aij＞0（i＝1，2，?，n），aij＜0（i≠j，i，j＝1，2，?，n）且naij0(i1,2,,n)①j1證明秩A＝n－1．[北京大學(xué)研]證明：把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么∣A∣＝0，秩A≤n－1．其次，考慮a11的代數(shù)余子式a22a2nA11②an2ann因?yàn)閍iiaij，所以jiaiiaij,(i1,2,n)ji故在行列式②中滿足：∣aij∣＞∣ai2∣＋∣ai3∣＋∣ai，i＋1∣＋?＋∣ain∣（i＝1，2，?，n）即主對(duì)角嚴(yán)格占優(yōu)，所以A11≠0即秩A≥n－1，從而秩A＝n－1．6．設(shè)A1，A2，?Ak是k個(gè)實(shí)對(duì)稱方陣，1≤k≤n，而且A1＋A2＋?＋Ak＝E，證明下述二條件等價(jià)：（1）A1，A2，?Ak都是冪等方陣；（2）秩A1＋秩A2＋?＋秩Ak＝n．[中國(guó)科技大學(xué)研]證明：先證（1）?（2）；因?yàn)锳i2＝Ai?秩Ai＝trAi（i＝1，2，?，k），所以nkk秩AtrAtrAtrEniiii1i1i1再證（2）?（1）．設(shè)秩Ai＝ri（i＝1，2，?，k），再令：B＝A1＋?＋Ai－1＋Ai＋1＋?＋Ak由于Ai是實(shí)對(duì)稱陣，所以存在正交陣T，使1riTAiT0①0但1riEABTTBi001②riTB1T00其中B1＝T′BT，再用T′左乘，T右乘②式兩邊，得1riBE10011③1riB111所以秩B＝秩B1≥n－r．另一方面秩B＝秩（A1＋?＋Ai－1＋Ai＋1?＋Ak）≤秩A1＋?＋秩Ai－1＋秩Ai＋1?＋秩Ai＝n－r，從而秩B＝秩B1＝n－ri．由③式得111r011r1ii將它們代入①式得11AiTTAi2Ai00由i的任意性，即證A1都是冪等陣．7．設(shè)A是s×n實(shí)矩陣，求證：秩（En－A′A）－秩（Es－AA′）＝n－s[復(fù)旦大學(xué)研]證明：因?yàn)镋sAEsAEs0EAA0s0EnAEnAEnEn0所以A0EsEAAs秩秩(EsAA)n①0AEnEn又因?yàn)镋s0EsAEsAEsAEn0En0EAA0AEnn所以EsA秩AEn秩Es秩(EnAA)s秩(EnAA)②由②＝①可解得：秩（Es－A′A）－秩（Es－AA′）＝n－s8．設(shè)A是秩為r的n階方陣．證明：A2＝A的充要條件是存在秩為r的r×n矩陣B和秩為r的n×r矩陣C，使得A＝CB，而且BC＝E．[浙江大學(xué)研]證明：先證充分性．設(shè)A＝CB，其中C，B分別為n×r和r×n矩陣，且BC＝Er．則A2＝（CB）（CB）＝C（BC）B＝CB＝A再證必要性．因?yàn)锳2＝A．所以A可對(duì)角化，且其特征值只能是0和1．于是存在可逆陣T，使Er0EAT1TT1rEr0TCB000其中1E，BEr0Tr0CT那么C是n×r矩陣，B是r×n矩陣，秩C＝秩B＝r，且EBCEr0TT1Err0

第5章二次型一、填空題OA設(shè)A是n階實(shí)可逆矩陣，則AO的正慣性指數(shù)是______，符號(hào)差是______．[廈門大學(xué)研]【答案】n；0EE，則P為可逆矩陣，且1【解析】取PA1A12OAAOEOPOEPOA可見AO的正、負(fù)慣性指數(shù)均為n，符號(hào)差為0．二、計(jì)算題1．設(shè)n階實(shí)方陣A如下，試求b的取值范圍使A為正定方陣．b83313b1A11b31[清華大學(xué)研]解：記α＝（3，1，?，1）′，∣Ak∣為A的k階順序主子式，則31(3,1,,1)|Ak|det(b1)Ek1det((b1)Ek)(b1)k1((b1)E1)(b1)k1(b19k1)=(b1)k1(bk7)由于A正定的充要條件是∣Ak∣＞0（k＝1，2，?，n），所以，A為正定矩陣的充要條件是b1b(k7),k1,2,,n即b＞1．2．設(shè)32A01（1）求A－1；（2）求非奇異矩陣P，使P1－AP成為對(duì)角陣；（3）求非奇異矩陣R使R′（A′A）R為對(duì)角陣．[復(fù)旦大學(xué)研]解：（1）121AA*1A1303123031（2）計(jì)算可得∣λE－A∣＝（λ－3）（λ＋1）所以A的特征值為λ1＝3，λ2＝－1并可求出相應(yīng)的線性無關(guān)特征向量為α1＝（1，0）′，α2＝（－1，2）′．令P(1,2)1102有AP30P10196（3）A作二次型并配方得f（x1，x2）＝9x12＋5x22＋12x1x2＝（3x1＋2x2）2＋x2265令y32x1101xy22則f（x1，x2）＝y(tǒng)12＋y22．且退化線性替換為xy11Rx2y2其中故132112R0130310R(AA)R013．用正交變換，將二次曲面2x12＋5x22＋5x32＋4x1x2－4x1x3－8x2x3＝1①化為標(biāo)準(zhǔn)形．[上海交通大學(xué)研]解：令①式左端的二次型為f（x1，x2，x3），其相應(yīng)矩陣為A，則222A254245計(jì)算可得∣λE－A∣＝－（λ－1）2（λ－10）所以A的特征值為λ1＝λ2＝1，λ3＝10當(dāng)λ＝1時(shí)，得特征向量α1＝（0，1，1）′，α2＝（－4，1，－1）′當(dāng)λ＝10時(shí)，得特征向量α3＝（1，2，－2）′由于α1，α2，α3已經(jīng)正交，再單位化即得41180311,12,3221813231218作正交變換41320181xy111xy32221181x3y323218則上面二次曲面①變?yōu)閥12＋y22＋10y32＝1，它表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面．4．設(shè)11000x113000x2A3,x00aa2ax32000aax40000ax5（1）試給出A可逆的條件，并求A1－；（2）當(dāng)A可逆時(shí)，二次型X′AX是否正定？并說明理由．[清華大學(xué)研]解：（1）由拉普拉斯定理，在A中取第1，2行，可算得aa2a3A112a31300a0aa2所以當(dāng)a≠0時(shí)，A可逆．且可求得310000021221021A11000a100001a1000a（2）當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)二次型X′AX對(duì)應(yīng)的矩陣為B，則1100001300a3a200a22Ba2a20000a223a2aa22且X′AX－X′BX．這時(shí)二次型X′BX不一定是正定的．比如a＝－l，那么B中有一階主子式n＝－l＜0，B不是正定陣，即X′AX＝X′BX不是正定二次型．三、證明題1．設(shè)A是n級(jí)反對(duì)稱陣，證明：（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，∣A∣＝0；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∣A∣是一實(shí)數(shù)的完全平方；（2）A的秩為偶數(shù)．[西安交通大學(xué)研]證明：先證若A是反對(duì)稱陣，則有在實(shí)可逆陣T，使011001ATT10①00用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n＝1時(shí)，A＝（0），結(jié)論①顯然成立．0a當(dāng)n＝2時(shí)，A，若a＝0時(shí)，結(jié)論①成立．a(chǎn)0若a≠0，對(duì)偶作初等變換，第2行乘1/a，同時(shí)第2列也乘1/a，即10100a0111a00010aa01即A與10合同．結(jié)論①成立．歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)n≤k時(shí)成立．再證n＝k＋1時(shí)，設(shè)0a120a1ka1,k1a12a2ka2,k1Aa1ka1,k1a2,k1a2k0ak,k1ak,k10若A的最后一行（列）元素全為零，則由歸納假設(shè)這結(jié)論已經(jīng)成立．不然經(jīng)過行列同時(shí)對(duì)換，可設(shè)ak，k＋11≠0，那么最后一行和最后一列同乘以ak,k1，則A合同于0a120a1kb1a12a2kb20110a1ka2k1bb2再利用1，－1對(duì)偶作變換，則A合同于0b120b1,k100b2,k100b12b1,k1b2,k10000000010010由歸納假設(shè)知k－1階反對(duì)稱陣0b1,k1b1,k10與0110011000合同．從而A合同于01100101000110再將最后兩行兩列交換到前面去，便知結(jié)論對(duì)n＝＋1也成立，即①式成立．01（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，①式右端不可能全是10這些塊，必含有一個(gè)零行，所以∣A∣＝0．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若①式右端含有零行，則∣A∣＝0＝02，若①式右端不含有零行，則0110ATT0110于是n012AT210T2結(jié)論也成立．（2）設(shè)①式成立，去掉那些為0的子矩陣，則0110秩A秩=偶數(shù)01102．已知A，B均為n階實(shí)對(duì)稱正定陣，且有AB＝BA，試證：AB也是正定矩陣．[北京航空航天大學(xué)研]證明：AB∈Rn×n，（AB）′＝B′A′＝BA＝AB，所以AB是n階實(shí)對(duì)稱陣．可以證明：存在同一個(gè)實(shí)可逆陣，使a1T1ATanb1①T1BTbn事實(shí)上，存在正交陣P，使1EP1AP②sEs其中E，為k級(jí)單位陣，λ1，?，λs互不相同．由AB＝BA，可得（P－1AP）（P－1BP）＝P－1ABP＝P－1BAP＝（P－1BP）（P－1AP）于是B1PBPP1BPBs其中Bi與Ei是同級(jí)方陣i＝（1，2，?，s）由B′＝B可得Bi′＝Bi（i＝1，2，?，s），從而存在正交陣Qi，使bi10QiBiQi(i1,2,s)0biki都是對(duì)角陣，再令Q1QQs那么Q是正交陣，且令T＝PQ則b11b1k1T1BTQ1(P1BP)Qbs1bsks為對(duì)角陣．Q11E1Q1T1ATQs1EQss1E1sEs也為對(duì)角陣，從而得證①式成立．由于A，B正定，所以ai＞0，bi＞0（i＝1，2，?，n）但a1b1T1ABT(T1AT)(T1BT)anbn因?yàn)閍ibi＞0（i＝1，2，?，n），所以AB是正定陣．第二部分第1章課后習(xí)題多項(xiàng)式1．用g（x）除f（x），求商q（x）與余式r（x）：（1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1；（2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2．解：（1）用分離系數(shù)的豎式進(jìn)行計(jì)算所以q1x7932629r(x)x9（2）q（x）＝x2＋x－1，r（x）＝－5x＋7．2．m，p，q適合什么條件時(shí)，有（1）x2＋mx－1∣x3＋px＋q；（2）x2＋mx＋1∣x4＋px2＋q．解：（1）因?yàn)閤3＋px＋q被x2＋mx－1除所得的余式為（p＋m2＋1）x＋（q－m），所以x2＋mx－1∣x3＋px＋q的充要條件是p＋m2＋1＝q－m＝0，即p＝－m2－1，q＝m．（2）x2＋mx＋1∣x4＋px2＋q的充要條件是有g(shù)（x）使x4＋px2＋q＝（x2＋mx＋1）g（x），比較次數(shù)及首項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)，可設(shè)g（x）＝x2＋ax＋q．代入，展開，得am01amqpaqm0由此得x2＋mx＋1∣x4＋px2＋q的充要條件是p＝2－m2，q＝1或p＝q＋1，m＝0．3．求g（x）除f（x）的商q（x）與余式r（x）．（1）f（x）＝2x5－5x3－8x，g（x）＝x＋3；（2）f（x）＝x3－x2－x，g（x）＝x－1＋2i．解：（1）用綜合除法進(jìn)行計(jì)算：所以q（x）＝2x4－6x3＋13x2－39x＋109，r（x）＝－327．（2）q（x）＝x2－2ix－（5＋2i），r（x）＝－9＋8i．4．把f（x）表成x－x0的方冪和，即表成c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋?的形式．（1）f（x）＝x5，x0＝1；（2）f（x）＝x4－2x2＋3，x0＝－2；（3）f（x）＝x4＋2ix3－（1＋i）x2－3x＋7＋i，x0＝－i．解：（1）用綜合除法進(jìn)行計(jì)算x1x11fx4x3x2x3x4x15x11x32x2x32x225x113x4x125x11x23x6x110x1310x125x113x6x1x2310x125x11x4x110x1x4x1410x1310x125x11x155x1410x1310x125x11所以x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．（2）應(yīng)用綜合除法所以f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11．（3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i．5．求f（x）與g（x）的最大公因式：（1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1．（2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．（3）f（x）＝x4－10x2＋1，g(x)x42x6x42x1432解：（1）用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行計(jì)算所以（f（x），g（x））＝x＋1．（2）（f（x），g（x））＝1．（3）fx,gxx222x16．求u（x），v（x）使u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））：（1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2．（2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4．（3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1．解：（1）用輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行計(jì)算．以上計(jì)算表明：f（x）＝q1（x）g（x）＋r1（x），g（x）＝q2（x）r1（x）＋r2（x），r1（x）＝q3（x）r2（x）＋0．因此（f（x），g（x））＝r2（x）＝x2－2＝g（x）－q2（x）r1（x）＝g（x）－q2（x）[f（x）－q1（x）g（x）]＝－q2（x）f（x）＋[1＋q1（x）q2（x）]g（x）所以u(píng)（x）＝－q2（x）＝－x－1，v（x）＝1＋q1（x）q2（x）＝x＋2．（2）ux1x13,vx323x223x1（3）u（x）＝x－1，v（x）＝x3＋x2－3x－2．7．設(shè)f（x）＝x3＋（1＋t）x2＋2x＋2u，g（x）＝x3＋tx＋u的最大公因式是一個(gè)2次多項(xiàng)式，求t，u的值．解：f（x）－g（x）＝（1＋t）x2＋（2－t）x＋u．因?yàn)?＋t與2－t不能同時(shí)為0，所以f（x）－g（x）≠0．由（f（x），g（x））＝（f（x）－g（x），g（x））．根據(jù)題目假設(shè)，它一定是一個(gè)2次多項(xiàng)式．所以1＋t≠0，并且f（x）－g（x）是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式，因此f（x）－g（x）能整除g（x）．設(shè)（1＋t）g（x）＝[f（x）－g（x）]（x＋c），比較系數(shù)得2tc1t0uc2tt1tcu1tu（1）如果u≠0，則c＝1＋t，代入第1式得t111i2再由2式得111i22或u711iu711i（2）如果u＝0，則由1，2兩式，解得t（1＋t）2＋（t－2）2＝0，即有（t＋4）（t2－t＋1）＝0，因此t4,13i2根據(jù)以上討論，知t，u的值為t4或t13i或2t13i222u0u0u0t111i或t111i或2222u711iu711i注如果限制在實(shí)數(shù)域，則只有一個(gè)解，即上面的第一個(gè)解．8．證明：如果d（x）∣f（x），d（x）∣g（x），且d（x）為f（x）與g（x）的一個(gè)組合，那么d（x）是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式．證明：由題設(shè)，d（x）是f（x）與g（x）的一個(gè)公因式，如果h（x）是f（x），g（x）的一個(gè)公因式．那么h（x）能整除f（x）與g（x）的任一個(gè)組合，故h（x）能整除d（x），因此，根據(jù)定義，d（x）是f（x）與g（x）的一個(gè)最大公因式．9．證明：（f（x）h（x），g（x）h（x））＝（f（x），g（x））h（x）（h（x）的首項(xiàng)系數(shù)為1）．證明：因?yàn)椋╢（x），g（x））∣f（x），g（x），所以（f（x），g（x））h（x）∣f（x）h（x），g（x）h（x）．（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x），g（x）h（x）的一個(gè)公因式．設(shè)（f（x），g（x））＝u（x）f（x）＋v（x）g（x）．則（f（x），g（x））h（x）＝u（x）（f（x）h（x））＋v（x）（g（x）h（x））因此根據(jù)上題，（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x），g（x）h（x）的一個(gè)最大公因式．又因h（x）的首項(xiàng)系數(shù)為1．因此（f（x），g（x））h（x）的首項(xiàng)系數(shù)為1．所以（f（x）h（x），g（x）h（x））＝（f（x），g（x））h（x）10．如果f（x），g（x）不全為零．證明：fxgx1fx,gx,fx,gx證明：根據(jù)定理2，有多項(xiàng)式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x）），于是fxfx,gxgxuxvxfx,gx1再根據(jù)定理3，即得fxgx111．證明：如果f（x），g（x）不全為零，且u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x）），那么（u（x），v（x））＝1．證明：由u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x）），可得fxfx,gxgxuxfx,gxvx1因此根據(jù)定理3知（u（x），v（x））＝1．12．證明：如果（f（x），g（x））＝1，（f（x），h（x））＝1，那么（f（x），g（x）h（x））＝1．證明：因?yàn)椋╢（x），g（x））＝1，（f（x），h（x））＝1．故有u1（x），v1（x）及u2（x），v2（x）使u1（x）f（x）＋v1（x）g（x）＝1u2（x）f（x）＋v2（x）h（x）＝1兩式相乘，得[u1（x）u2（x）f（x）＋u1（x）v2（x）h（x）＋u2（x）v2（x）g（x）]f（x）＋v1（x）v2（x）g（x）h（x）＝1因此，根據(jù)定理3，有（f（x），g（x）h（x））＝1．13．設(shè)f1（x），?，fm（x），g1（x），?，gn（x）都是多項(xiàng)式，而且（fi（x），gj（x））＝1（i＝1，2，?，m；j＝1，2，?，n），求證：（f1（x）f2（x）?fm（x），g1（x）g2（x）?gn（x））＝1．證明：用反證法．如果d（x）＝（f1（x）f2（x）?fm（x），g1（x）g2（x）?gn（x））≠1，則d（x）有一個(gè)不可約因式，設(shè)為p（x）．于是p（x）∣f1（x）f2（x）?fm（x）．根據(jù)不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)，p（x）能整除f1（x），f2（x），?，fm（x）中的一個(gè)，設(shè)為fs（x）（1≤s≤m）．同理p（x）整除g1（x），?，gn（x）中的一個(gè)，設(shè)為gt（x）（1≤t≤n）．因此P（x）∣（fs（x），gt（x））．與假設(shè)矛盾．所以（f1（x）f2（x）?fm（x），g1（x）g2（x）?gn（x））＝1．14．證明：如果（f（x），g（x））＝1，那么（f（x）g（x），f（x）＋g（x））＝1．證明：如果（f（x），g（x））＝1，那么（f（x），f（x）＋g（x））＝1，（g（x），f（x）＋g（x））＝1．由12題，即得（f（x）g（x），f（x）＋g（x））＝1．15．求下列多項(xiàng)式的公共根：f（x）＝x3＋2x2＋2x＋1；g（x）＝x4＋x3＋2x2＋x＋1．13i及13i解：因?yàn)椋╢（x），g（x））＝x2＋x＋1，所以f（x）與g（x）的公共根為222216．判別下列多項(xiàng)式有無重因式：（1）f（x）＝x5－5x4＋7x3－2x2＋4x－8；（2）f（x）＝x4＋4x2－4x－3．解：（1）f′（x）＝5x4－20x3＋21x2－4x＋4因?yàn)椋╢（x），f′（x））＝（x－2）2，所以f（x）有2重因式x－2．（2）沒有重因式．17．求t值使f（x）＝x3－3x2＋tx－1有重根．解：f′（x）＝3x2－6x＋t．因?yàn)閒（x）有重根的充分必要條件是f（x）與f′（x）有公共根．為此求f（x），f′（x）的最大公因式．作輾轉(zhuǎn)相除得131321f(x)t2x33f(x)xt1（1）如果t＝3．則11f(x)(x)f(x)(x1)(x1)233此時(shí)f（x）有3重根1．（2）如果t≠3，則f(x),f(x)1(x1)f(x)f(x),f(x)3f(x),2x1因?yàn)槿绻╢（x），f′（x））＝1，則f（x）沒有重根，所以，當(dāng)f（x）有重根時(shí)，（f′（x），2x＋1）必須等于x＋1/2，即f（x）有2重根－1/2，此時(shí)必有f′（－1/2）＝0，可算出t＝－15/4．綜上可知，知當(dāng)t＝3時(shí)f（x）有3重根1；當(dāng)t＝－15/4時(shí)，f（x）有2重根－1/2．18．求多項(xiàng)式x3＋px＋q有重根的條件．解：記f（x）＝x3＋px＋q，則f′（x）＝3x2＋p，于是f(x),f(x)f(x),f(x)1xf(x)3f(x),2pxq3f（x）有重根的條件是（f（x），f′（x））≠1．如果p＝0，那么（f（x），f′（x））≠1的條件是q＝0．如果p≠0，那么（f（x），f′（x））≠1的條件是2px/3－q能整除f'（x）．由此得4p3＋27q2＝0．因此，f（x）有重根的條件為4p3＋27q2＝0．19．如果（x－1）2∣Ax4＋Bx2＋1，求A，B．解法1：作（x－1）2除Ax4＋Bx2＋1的帶余除法，得到余式為（4A＋2B）x＋（－3A－B＋1）．因?yàn)椋▁－1）2∣Ax4＋Bx2＋1，所以余式為0，即4A＋2B＝0，－3A－B＋1＝0．由此解得A＝1，B＝－2．2解法2：因?yàn)椋▁－1）∣Ax4＋Bx2＋1．所以x－1∣Ax4＋Bx2＋1及x－1整除（Ax4＋Bx2＋1）'＝4Ax3＋2Bx．由余數(shù)定理，即得A＋B＋1＝0．4A＋2B＝0，解得A＝1，B＝－2．20．證明1xx2xn不能有重根．2!n!證明：記f(x)1xx2xn則n!2!f(x)1xx(n1)!f(x)x2xn1n2!n!即有因此f(x)f(x)xnn!nf(x),x1f(x),f(x)n!根據(jù)定理6推論3知f（x）不能有重根．21．如果a是f?（x）的一個(gè)k重根，證明a是xag(x)f(x)f(a)f(x)f(a)2的一個(gè)k＋3重根．證明：xaf(x)12f(x)f(a)f(x)g(x)2xa2f(x)1f(x)1f(a)22xaf(x)1f(x)1f(x)g(x)222xaf(x)2因?yàn)閍是f?（x）的一個(gè)k重根，所以a是g″的一個(gè)k＋1重根．又因a是