Dynamic

Games

ofComplete

InformationGame

theory-Chapter

21Subgame-Perfect

Nash

EquilibriumOutline

of

dynamic

games

of

completeinformationGame

theory-Chapter

22???

Dynamic

games

of

complete

information?

Extensive-form

representation?

Dynamic

games

of

complete

and

perfect

information?

Game

tree?

Subgame-perfect

Nash

equilibrium?

Backward

induction?

Applications?

Dynamic

games

of

complete

and

imperfectinformationMore

applicationsRepeated

gamesEntry

gameGame

theory-Chapter

23??

一個在位的壟斷者面臨一個挑戰(zhàn)者可能的進(jìn)入.?

challenger可能選擇enter或者stay

out.?

如果challenger進(jìn)入,那么incumbent

可以選擇accommodate或者tofigh.t收益是共同知識.ChallengerInOutIncumbentAF1,

22

,

10,

0第一個數(shù)字是挑戰(zhàn)者的收益.第二個數(shù)字是在位者的收益.Sequential-move

matching

penniesGame

theory-Chapter

24?

兩個參與人各有一枚硬幣.?Player

1先選擇是顯示Head還是Tail.?

在觀察player

1的選擇之后,?player

2選擇顯示Head或Tail兩個參與人都知道以下規(guī)則:?如果兩枚硬幣一致(都是heads或都是tails)那么player

2贏得player

1的硬幣.?

否則,player

1贏得

player

2的硬幣.Player

1Player

2HT-1

,

11

,

-1HTPlayer

2HT1

,

-1-1

,

1Dynamic

(or

sequential-move)

gamesof

complete

informationGame

theory-Chapter

25?一個參與人集合?誰先行動，可以采取什么行動??當(dāng)參與人行動時他們知道什么??參與人的收益取決于他們的選擇.?所有這些都是參與人的共同知識.Definition:

extensive-form

representatiGame

theory-Chapter

26?

一個博弈的擴(kuò)展式表述包括的要素:?????博弈中的參與人每個參與人在何時行動每次輪到某一參與人行動時，可供她選擇的行動每次輪到某一參與人行動時，她所了解的信息每個參與人從她每個可選的行動組合中獲得的收益Dynamic

games

of

complete

andperfect

informationGame

theory-Chapter

27?完美信息?在選擇下一次行動前可以觀察到所有以前的行動.?參與人做出決策前知道誰行動了，干了什么Game

treeGame

theory-Chapter

28?博弈樹包括這樣的節(jié)點（nodes

）集合和邊緣（edges

）集合?每個邊緣連接兩個節(jié)點(這兩個節(jié)點應(yīng)該是相連的)?對任何節(jié)點組合來說,連接這兩個節(jié)點的路徑（path）是惟一的x0x1x2x3x4x5x6x7x8a

nodean

edge

connectingnodes

x1

and

x5a

path

fromx0

to

x4Game

treeGame

theory-Chapter

29?

路徑是不同節(jié)點y1,y2,y3,...,n-y1,?n-1，yi

和yi+1相鄰.我們說這條路徑是從y1到y(tǒng)n.我們也可以用這些節(jié)點推導(dǎo)出的邊緣的序列來定義路徑.?路徑的長度（length）是路徑中包含的邊緣的數(shù)量.??例1:

x0,x2

,x3,x7是一條路徑，長度為3.例2:

x4,x1,x0,x2,x6是一條路徑，長度為4.x0x1x2x3x4x5x6x7x8a

path

fromyn

的一個序列，其中對于i=1,

2,..x.0,to

x4Game

treeGame

theory-Chapter

210???博弈樹中，博弈開始的節(jié)點x0

被稱為根（root）與x0

相鄰的節(jié)點是x0的后續(xù)節(jié)（successors

）.

x0的后續(xù)節(jié)點是x1,x2?對任何兩個相鄰的節(jié)點來說,與根相連接的路徑更長的那個節(jié)點是另一個節(jié)點的后續(xù)節(jié).例3:

x7

是x3

的后續(xù)節(jié)點，因為它們相鄰，而且x7到x0的路徑比x3

到x0

的路徑更長x0x1x2x3x4x5x6x7x8Game

treeGame

theory-Chapter

211????如果x是另一個節(jié)點y的后續(xù)節(jié)，那么y被稱為x的前續(xù)節(jié)（predecessor

）.在博弈樹中,根以外的任何節(jié)點都有惟一的前續(xù)節(jié).沒有后續(xù)節(jié)的所有節(jié)點被稱為終點節(jié)（terminalnode

），它是博弈可能的終點例4:

x4,x5,x6,x7,x8

都是終點節(jié)x0x1x2x3x4x5x6x7x8Game

treeGame

theory-Chapter

212?

除終點節(jié)以外的任何節(jié)點都代表了某個參與人.?個節(jié)點所代表的參與人可能采取的行動Player

1對于終點節(jié)以外的任意節(jié)點來說,連接它和它的Player

2后續(xù)節(jié)的邊緣代表了這HT-1

,

11

,

-1HTPlayer

2HT1

,

-1-1

,

1Game

treeGame

theory-Chapter

213?從根到一個終點節(jié)的路徑代表了一個完全的行動序列，它決定了終點節(jié)的收益Player

1Player

2HT-1

,

11

,

-1HTPlayer

2HT1

,

-1-1

,

1StrategyGame

theory-Chapter

214?

參與人的一個策略是關(guān)于行動的一個完整計劃

.?它明確了在參與人可能會遇到的每一種情況下對可行行動的選擇.Strategy

and

payoffGame

theory-Chapter

215?在博弈樹中,參與人的策略用邊緣的集合（

aset

of

edges）來表述出來.?每個參與人的一個策略共同構(gòu)成一個策略組合（邊緣的集合）。這個策略組合推導(dǎo)出從根到終點節(jié)的一條路徑，這決定了所有參與人的收益Sequential-move

matching

penniesGame

theory-Chapter

216?Player

1的策略?

Head?

Tail?Player

2的策略?

H

ifplayer

1

plays

H,H

ifplayer

1

plays

T?

H

ifplayer

1

plays

H,T

ifplayer

1

plays

T?

T

ifplayer

1

plays

H,H

ifplayer

1

plays

T?

T

ifplayer

1

plays

H,T

ifplayer

1

plays

TPlayer

2的策略分別用HH

,HT

,TH

和TT

來表示.Sequential-move

matching

penniesGame

theory-Chapter

217?他們的收益?標(biāo)準(zhǔn)式表述Player

2Player1HTHHHTTHTT-1,1-1,11

,-11,-11,-1-1,11

,-1-1,1Nash

equilibriumGame

theory-Chapter

218?完全信息動態(tài)博弈中的納什均衡集（

the

set

ofNash

equilibrium）就是它的標(biāo)準(zhǔn)式的納什均

衡集合.Find

Nash

equilibriumGame

theory-Chapter

219?怎樣找到完全信息動態(tài)博弈的納什均衡?構(gòu)建完全信息動態(tài)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式?在標(biāo)準(zhǔn)式中找到納什均衡June

4,

200373-347

Game

Theory--Lecture

1220Entry

game?

Challenger的策略?

In?

Out?Incumbent的策略（在位者）Accommodate （接納）

(如果challenger選擇In)??

Fight(如果challenger選擇In)?

收益?

標(biāo)準(zhǔn)式表述IncumbentAccommodateFightInChallengerOut2,10,01,21,2Nash

equilibria

in

entry

gameGame

theory-Chapter

221?兩個納什均衡?

(

In,Accommodate

)?(

Out,Fight)?第二個納什均衡有意義嗎??不可置信的威脅（

Non-creditable

threat）sIncumbentAccommodateFightInChallengerOut2,10,01,21,2Remove

nonreasonable

NashequilibriumGame

theory-Chapter

222?子博弈完美納什均衡（

Subgame

perfect

Nashequilibriu）m是納什均衡的一個精煉（refinement

）?它可以排除不合理的納什均衡或不可置信的威脅?我們首先需要定義子博弈（

subgame

）SubgameGame

theory-Chapter

223?博弈樹的一個子博弈開始于一個非終點節(jié)，包含這個非終點節(jié)之后所有的節(jié)點和邊緣?一個子博弈開始于一個非終點節(jié)x，?排除連接x和它前續(xù)節(jié)的邊緣?包含x的連接部分就是這個子博弈-1

,

1Player

1Player

2HT1,

-1HTPlayer

2HT1,

-1-1

,

1a

subgameSubgame:

exampleGame

theory-Chapter

224Player

2EFPlayer

1GH3

,

11

,

20,

0Player

1CD2,

0Player

2EFPlayer

1GH3,

11

,

20

,

0Player

1GH1

,

20

,

0Subgame-perfect

Nash

equilibriumGame

theory-Chapter

225?在動態(tài)博弈中，如果納什均衡的策略在每一個子博弈中都構(gòu)成了納什均衡，那么動態(tài)博弈的這個納什均衡是子博弈完美的.?子博弈完美納什均衡是一個納什均衡.Entry

gameGame

theory-Chapter

226InOutIncumbentAF1,

22,

10,

0?兩個納什均衡?(In,Accommodate

)是子博弈完美的.?(Out,Fight)不是子博弈完美的，原因是在開始于Incumbent的子博弈中它沒有導(dǎo)出納什均衡.ChallengerIncumbentAF2

,

1Accommodate0

,

0is

the

Nashequilibrium

in

this

subgame.Find

subgame

perfect

Nash

equilibriabackward

inductionGame

theory-Chapter

227?

開始于那些最小的子博弈?

然后反向移動直到到達(dá)根ChallengerInOutIncumbentAF1,

22,

10

,

0第一個數(shù)字是challenger的收益.第二個數(shù)字是incumbent的收益.Find

subgame

perfect

Nash

equilibriabackward

inductionGame

theory-Chapter

228Player

2EFPlayer

1GH3

,

11,

2

0,

0?子博弈完美納什均衡(DG

,E

)?

Player

1選D,且如果player

2選E，則她選G?

如果player

1選C，則Player

2選EPlayer

1CD2,

0Existence

of

subgame-perfect

NashequilibriumGame

theory-Chapter

229?任何有限的完全且完美信息動態(tài)博弈都有一個子博弈完美納什均衡，它可以通過逆向歸納法得到.Sequential

bargaining

(2.1.D

of

Gibbons)Game

theory-Chapter

230??????參與人1和2就一美元的分配進(jìn)行談判.時序如下:在第一階段開始時,player

1建議她分走1美元的s1,留給player2的份額為1-s1.?

Player

2或者接受這一條件，或者拒絕這一條件(這種情況下，博弈將繼續(xù)進(jìn)行，進(jìn)入第二階段)在第二階段的開始,player

2提議player1分得1美元的

s2,留給player

2的份額為1-s2

.Player

1或者接受這一條件，或者拒絕這一條件(這種情況下，博弈繼續(xù)進(jìn)行，進(jìn)入第三階段)在第三階段的開始,player

1得到1美元的s,

player

2得到1-s,這里0<

s

<1.參與人都是缺乏耐心的.他們用一個因子?來對他們的收益進(jìn)行貼現(xiàn),這里0<

?<1Sequential

bargaining

(2.1.D

of

Gibbons)Game

theory-Chapter

231Player

2acceptrejectpropose

an

offer

(s

2Period

1Player

1propose

an

offer

(s

1, 1-

s

1

)s

1

,

1-

s1Player

1,

1-

s2

)s

2

,

1-

s

2s

,

1-

sPeriod

2Period

3acceptrejectPlayer

2Solve

sequential

bargaining

by

backwardinductionGame

theory-Chapter

232?階段2:?當(dāng)且僅當(dāng)s2

??s時，Player

1接受s2.(我們假定當(dāng)接受和拒絕無差異時，參與人總是選擇接受條件)?Player

2面臨以下兩個選擇:(1)向player

1提出s2

=?s,在這個階段留給她自己1-s2

=1-?s,或者?(2)向player

1提出s2

<?s

(player

1將會拒絕它),下階段接受1-s.它的貼現(xiàn)值是?(1-s)?由于?(1-s)<1-?s,player

2應(yīng)該提出條件(s2*,1-s2*),其中s2*=?s.Player

1將接受它.Sequential

bargaining

(2.1.D

of

Gibbons)Game

theory-Chapter

233Player

2acceptrejectpropose

an

offer

(s

2Period

1Player

1propose

an

offer

(s1Player

1,

1-

s2

)s

2

,

1-

s

2s

,

1-

sPeriod

2Period

3acceptrejectPlayer

2,

1-

s1

)s1

,

1-

s1?s

,

1-

?

sSolve

sequential

bargaining

by

backwardinductionGame

theory-Chapter

234?階段1:?

當(dāng)且僅當(dāng)1-s1

??(1-s2*)=?(1-?s)或s1

?1-?(1-s2*)時,Player

2接受1-s1

，其中s2*=

?s.?

Player

1面臨以下兩個選擇:向player

2提出1-s1

=?(1-s2

*)=?(1-?s),在這個階段留給她自己s1

=1-?(1-s2*)=1-?+??s,或者向player

2提出1-s1

<?(1-s2*)(player

2將會拒絕它),下階段接受s2

*=?s.它的貼現(xiàn)值是??s?

由于??s<1-?+??s,player

1應(yīng)該提出條件

(s1*,1-s1*),其中s1*=1-?+??sBackward

induction:

illustrationGame

theory-Chapter

235?子博弈完美納什均衡(C

,EH

).?

player

1選C

;?如果player

1選C，player

2選E

,如果player

1選D

，player

2選H

.Player

1CDPlayer

2EF2,

1Player

2GH1

,

33,

0

0,

2Multiple

subgame-perfect

Nashequilibria:

illustrationGame

theory-Chapter

236?子博弈完美納什均衡(D

,FHK

).?

player

1選D?如果player

1選C

，player

2選F

,如果player

1選D

，player

2選H

,如果player

1選E

，player

2選K

.Player

1DPlayer

2FG1,

00

,

1Player

2JK1

,

32,

2Player

2HI2,

11,

1C

EMultiple

subgame-perfect

NashequilibriaGame

theory-Chapter

237?子博弈完美納什均衡(E

,FHK

).?

player

1選E

;?如果player

1選C

，player

2選F

,如果player

1選D

，player

2選H

,如果player

1選E

，player

2選K

.Player

1DPlayer

2FG1,

00

,

1Player

2JK1

,

32,

2Player

2HI2,

11,

1C

EMultiple

subgame-perfect

NashequilibriaGame

theory-Chapter

238?子博弈完美納什均衡(D

,FIK).??player

1

playsD

;如果player

1選C

，player

2選F

,如果player

1選D

，player

2選I,如果player

1選E

，player

2選K

.Player

1DPlayer

2FG1,

00

,

1Player

2JK1

,

32,

2Player

2HI2,

11,

1C

EStackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

239??僅有firm

1和firm

2兩家企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)的產(chǎn)品.產(chǎn)量分別用q1

和q2表示.博弈時間順序如下:?Firm

1選擇產(chǎn)量q1

?0.?Firm

2觀察到q1

，然后選擇產(chǎn)量q2?0.??市場價格是P(Q)=a–Q,這里a是常數(shù)，且Q=qfirmi生產(chǎn)qi

的成本是C

i(qi)=cqi.1+q2.?收益函數(shù):u1(q1,

q2)=q1(a–(q1+q2)–c)u2(q1,

q2)=q2(a–(q1+q2)–c)Stackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

240?用逆向歸納法找到子博弈完美納什均衡?我們首先解決firm

2面對任意q1

?0的問題，得到

firm

2針對q1

的最優(yōu)反應(yīng).也就是說,我們首先解出開始于firm

2的所有子博弈.?然后我們解決firm

1的問題.也就是說,解出開始于firm

1的子博弈Stackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

241?解決firm

2面對任意q1

?0的問題，得到firm

2針對q1

的最優(yōu)反應(yīng).?Max

u2(q1,

q2)=q2(a–(q1+q2)–c)

subject

to0

?

q2

?

+∞FOC:

a

–2q2

–q1

–c

=

0?

Firm

2的最優(yōu)反應(yīng),?

R

2(q1)=

(a

–q1

–c)/2

ifq1

?

a–c=

0

ifq1

>

a–cStackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

242?解決firm

1的問題.注意到firm

1也能夠解firm

2的問題.即,firm

1知道firm

2對任意q1的最優(yōu)反應(yīng).所以,firm

1的問題是?

Max

u1(q1,

R2(q1))=q1(a–(q1+R

2(q1))–c)subject

to0

?

q1

?

+∞即,Max

u1(q1,

R2(q1))=q1(a–q1–c)/2

subject

to0

?

q1

?

+∞FOC:(a

–2q1

–c)/2=

0q1

=

(a

–c)/2Stackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

243?子博弈完美納什均衡?(

(a

–c)/2,R,R

2(q1)

),whereR

2(q1)=

(a

–q1

–c)/2ifq1

?

a–c=

0

ifq1

>

a–c?即,firm

1選擇產(chǎn)量(a

–c)/2,firm

1選擇產(chǎn)量q1時firm

2選擇產(chǎn)量R

2(q1).?逆向歸納解是((a–c)/2,a(–c)/4).?Firm

1選擇產(chǎn)量(a

–c)/2,firm

2選擇產(chǎn)量(a

–c)/4.Stackelberg

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

244?Firm

1生產(chǎn)q1=(a–c)/2它的利潤是

q1(a–(q1+q

2)–c)=(a–c)2/8?Firm

2生產(chǎn)q2=(a–c)/4它的利潤是

q2(a–(q1+q

2)–c)=(a–c)2/16?總產(chǎn)量是3(a–c)/4.Cournot

model

of

duopolyGame

theory-Chapter

245?Firm

1生產(chǎn)q1=(a–c)/3它的利潤是

q1(a–(q1+q

2)–c)=(a–c)2/9?Firm

2生產(chǎn)q2=(a–c)/3它的利潤是

q2(a–(q1+q

2)–c)=(a–c)2/9?總產(chǎn)量是2(a–c)/3.MonopolyGame

theory-Chapter

246?假設(shè)只有一家企業(yè),即壟斷者,生產(chǎn)產(chǎn)品.壟斷者解以下問題來決定它的產(chǎn)量qm

.?Max qm

(a–qm

–c)

subject

to

0

?

qm

?

+∞?FOC:

a

–2qm

–c

=

0qm

=

(a

–c)/2壟斷者的產(chǎn)量qm

=(a–c)/2它的利潤

qm

(a–qm

–c)=(a–c)2/4Sequential-move

Bertrand

model

ofduopoly

(differentiated

products)Game

theory-Chapter

247???兩家企業(yè):firm

1和firm

2.每家企業(yè)選擇它的產(chǎn)品的價格時不知道其他企業(yè)的選擇.價格分別用p1和p2表示.博弈的時間順序如下.??Firm

1選擇價格p1

?0.Firm

2觀察到p1

然后選擇價格p2

?0.???消費者對firm

1產(chǎn)品的需求量:q1(p1,p2)=a–p1

+bp2.消費者對firm

2產(chǎn)品的需求量:q2(p1,p2)=a–p2

+bp1.

firmi生產(chǎn)數(shù)量為qi的成本是C

i(qi)=cqi.Sequential-move

Bertrand

model

ofduopoly

(differentiated

products)Game

theory-Chapter

248?對任何p1

?0解firm

2的問題，得到firm

2對p1的最優(yōu)反應(yīng).?

Max

u2(p1,

p2)=(a

–p2

+

bp

1

)(p2

–c)

subject

to0

?

p2

?

+∞FOC:a

+

c

–2p2

+

bp1

=

0p2

=

(a

+

c

+

bp1)/2?Firm

2的最優(yōu)反應(yīng),?

R

2(p1)=

(a

+

c

+

bp1)/2Sequential-move

Bertrand

model

ofduopoly

(differentiated

products)Game

theory-Chapter

249?解firm

1的問題.注意到firm

1也能夠解firm

2的問題.

Firm

1知道firm

2對p1的最優(yōu)反應(yīng).所以,firm的1問題是?

Max

u1(p1,

R2(p1))=(a

–p1

+

b?R

2(p1)

)(p1

–c)subject

to0

?

p1

?

+∞即,Max

u1(p1,

R2(p1))=(a

–p1

+

b?(a

+

c

+

bp1)/2

)p(1

–c)

subject

to0

?

p1

?

+∞?

FOC:

a

–p1

+

b?

(a

+

c

+

bp1)/2+(–1+

b2/2)

p(1

–c)

=

0p1

=

(a+

c+(ab+bc–b2c)/2)/(–2b2)Sequential-move

Bertrand

model

of

duopoly(differentiated

products)Game

theory-Chapter

250?子博弈完美納什均衡?((a+c+(ab+bc–b2c)/2)/–(b22),R

2(p1)),其中R

2(p1)=(a

+c

+bp1)/2?Firm

1選擇價格

(a+c+(ab+bc–b2c)/2)/(–2b2),firm

1選擇價格p1時firm

2選擇價格R

2(p1).Dynamic

games

of

complete

andperfect

informationGame

theory-Chapter

251?完美信息?在選擇下一次行動前可以觀察到所有以前的行動.?參與人做出決策前知道誰行動了，干了什么Perfect

information:

illustration(sequential

matching

pennies)Game

theory-Chapter

252?

兩個參與人各有一枚硬幣.?Player

1先選擇是顯示Head還是Tail.?

在觀察player

1的選擇之后,?player

2選擇顯示Head或Tail兩個參與人都知道以下規(guī)則:?如果兩枚硬幣一致(都是heads或都是tails)那么player

2贏得player

1的硬幣.?

否則,player

1贏得

player

2的硬幣.Player

1Player

2HT-1

,

11

,

-1HTPlayer

2HT1

,

-1-1

,

1Dynamic

games

of

complete

andimperfect

informationGame

theory-Chapter

253?不完美信息?參與人做出決策前可能并不能確切的知道誰做了什么選擇.?例:在player

1做出選擇后player

2進(jìn)行她的選擇.Player

2需要在不知道player

1做出什么選擇的情況下進(jìn)行她的決策.Imperfect

information:

illustratGame

theory-Chapter

254???

兩個參與人各有一枚硬幣.?

Player

1先選擇是顯示Head還是Tail.然后player

2在不知道player1選擇的情況下選擇是顯示

Head還是Tail,兩個參與人都知道以下規(guī)則:?如果兩枚硬幣一致(都是heads或都是tails那)么player

2贏得player

1的硬幣.?否則,player

1贏得player2的硬幣.Player

2Player

1Player

2HT-1

,

11

,

-1HTHT1

,

-1-1

,

1Information

setGame

theory-Chapter

255?Gibbons的定義:參與人的一個信息集是指滿足以下條件的決策節(jié)的集合:?在此信息集中的每一個節(jié)都輪到該參與人行動,且?當(dāng)博弈的進(jìn)行達(dá)到信息集中的一個節(jié),應(yīng)該行動的參與人并不知道達(dá)到了(或沒有達(dá)到)信息集中的哪一個節(jié).??一個信息集中所有的節(jié)點都屬于同一個參與人參與人在信息集中的每一個節(jié)點都必須有相同的可行行動集合.Information

set:

illustration(pp.Game

theory-Chapter

256Player

1LRPlayer

2L"R"Player

2L"R"3L”R”3L”R”3L”R”3L”R”2,2,

3

1,2,

0

3,

1,

22,

2,

12,2,

1an

information

set

for

player

3containing

three

nodes0,

1,

1

1,1,

2

1,1,

1an

information

set

for

player

3containing

a

single

nodetwo

information

sets

forplayer

2

each

containing

asingle

nodeInformation

set:

illustrationGame

theory-Chapter

257?一個信息集中所有的節(jié)點都屬于同一個參與人Player

1CDPlayer

2EF3,

0,

22

,

1,

3Player

3GH1,

3,

10,

2,

2This

is

not

a

correctinformation

setInformation

set:

illustrationGame

theory-Chapter

258?參與人在信息集中的每一個節(jié)點都必須有相同的可行行動集合.Player

1CDPlayer

2EF3

,

02,

1Player

2GH0

,

21,

1

1,

3An

information

setcannot

containsthese

two

nodesKRepresent

a

static

game

as

a

game

treillustrationGame

theory-Chapter

259Prisoner

1?囚徒困境(圖2.4.3.第一個數(shù)字是player

1的收益,第二個數(shù)字是player

2的收益)Prisoner

2Prisoner

1MumFink4

,

45,

0MumFinkMumFink0,

51,

1Example:

mutually

assured

destructiGame

theory-Chapter

260????兩個超級大國,1和2,卷入了一起挑釁事件.博弈開始于superpower

1的選擇，它或者忽視這個事件(ignore,I),得到收益(0,

0),或者使事態(tài)進(jìn)一步升級

(escalate,E).superpower

1使事態(tài)升級后,superpower

2可以后退

(back

down,

B),這會使它喪失顏面，獲得收益(1,-1),或者它可以選擇進(jìn)行核對抗(atomic

confrontationA,).這種情況下,兩個超級大國會同時行動，進(jìn)行以下博弈.它們或者選擇撤退(retreatR,

)

,或者選擇末日(doomsday,

D )

,從而世界被毀滅.如果兩國都選擇撤退，那么它們會忍受一點小的損失，收益為(-0.5,

-0.5如).果它們有一方選擇末日，那么世界將被毀滅，收益為(-K,

-K),其中K

是一個很大的數(shù)字.Example:

mutually

assured

destructiGame

theory-Chapter

2611IE0,

02BA1

,

-112RD-0.5,

-0.5-K

,

-KRDRD2-K

,

-K-K

,

-KPerfect

information

and

imperfectinformationGame

theory-Chapter

262?如果一個動態(tài)博弈中每一個信息集只包含一個節(jié)，那么這個博弈被稱為完美信息博弈.?如果一個動態(tài)博弈中有一些信息集包含的節(jié)點多于一個，那么這個博弈被稱為不完美信息博弈.Strategy

and

payoffGame

theory-Chapter

263?參與人的一個策略是關(guān)于行動的一個完整計劃.?它明確了在參與人可能會遇到的每一種情況下對可行行動的選擇.?它明確了參與人在她的每個信息集選擇什么行動Player

1Player

2HT-1

,

11

,

-1TPlayer

2HT1

,

-1-1

,

1a

strategy

forplayer

1:HHa

strategy

for

player

2T:Player

1"s

payoff

is

1

and

player

2"s

payoff

is-1

if

player

1

plays

H

and

player

2

plays

TStrategy

and

payoff:

illustratioGame

theory-Chapter

264IE0,

02BA1,

-112RD-0.5,

-0.5-K

,

-KRDRD2-K

,

-K-K

,

-K1a

strategy

for

player

1:E

,

and

R

if

player

2

playsA

,

written

asERa

strategy

for

player

2:A,

R

,

if

player

1

playEs,written

asARNash

equilibrium

in

a

dynamic

gameGame

theory-Chapter

265?我們也可以使用標(biāo)準(zhǔn)式來表述動態(tài)博弈?完全信息動態(tài)博弈的納什均衡集就是它的標(biāo)準(zhǔn)式的納什均衡的集合?怎樣在一個完全信息動態(tài)博弈中找到納什均衡?構(gòu)建完全信息動態(tài)博弈的標(biāo)準(zhǔn)式?在標(biāo)準(zhǔn)式中找到納什均衡Remove

nonreasonable

NashequilibriumGame

theory-Chapter

266?子博弈完美納什均衡（

Subgame

perfect

Nashequilibriu）m是納什均衡的一個精煉（refinement

）?它可以排除不合理的納什均衡或不可置信的威脅?我們首先需要定義子博弈（

subgame

）SubgameGame

theory-Chapter

267?動態(tài)博弈樹的一個子博弈???始于一個單節(jié)信息集(一個信息集只包含一個節(jié)點),包含這個單節(jié)信息集后的所有節(jié)點和邊緣沒有對任何信息集形成分割；即如果信息集的一個節(jié)點屬于這個子博弈，那么這個信息集的所有節(jié)點也屬于這個子博弈.Subgame:

illustrationGame

theory-Chapter

2681IE0,

02BA1

,

-112RD-0.5,

-0.5-K

,

-KRDRD2-K

,

-K-K

,

-Ka

subgamea

subgameNot

a

subgameSubgame-perfect

Nash

equilibriumGame

theory-Chapter

269?在動態(tài)博弈中，如果一個納什均衡的策略在該博弈的每一個子博弈中都構(gòu)成或推導(dǎo)出一個納什均衡，那么這個納什均衡是子博弈完美的.?子博弈完美納什均衡是一個納什均衡.Find

subgame

perfect

Nash

equilibriabackward

induction1Game

theory-Chapter

270IE2BA1,

-112RD-0.5,

-0.5-K

,

-KRDRD2-K

,

-K-K

,

-Ka

subgamea

subgame0,

0?

Starting

with

thosesmallest

subgames?

Then

movebackward

until

theroot

is

reachedOne

subgame-perfect

Nashequilibrium(

IR,AR

)Find

subgame

perfect

Nash

equilibriabackward

induction1-0.5,

-0.5-K

,

-K-K

,

-K-K

,

-K(

ED

,BD)Game

theory-Chapter

271IE2BA1,

-112RDRDRD2a

subgamea

subgame0,

0?

Starting

with

thosesmallest

subgames?

Then

movebackward

until

theroot

is

reachedAnother

subgame-perfect

Nashequilibrium72Find

subgame

perfect

Nash

equilibriabackward

induction?哪個是子博弈完美納什均衡?(R

,L"L"R,""L"")?子博弈1的NE是（LG,ame"thRe,or"y-C"h）apter,2

子博弈2的NE是（L",L"）"Player

1LRPlayer

2L"R"2,2,

0Player

2L"R"3L”R”3L”R”3L”R”3L”R”1,2,

3

3,

1,2

2,

2,

12,2,

1

0,

0,

1

1,1,

2

1,1,

1Bank

runs

(2.2.B

of

Gibbons)Game

theory-Chapter

273?兩個投資者,1和2,每人存入銀行一筆存款D.??銀行已將這些存款投入一個長期項目.如果在該項目到期前銀行被迫對投資者變現(xiàn),共可收回2r,這里D>r>D/2.?如果銀行允許投資到期,則項目共可取得2R,這里R>D.有兩個日期，投資者可以從銀行提款.Bank

runs:

timing

of

the

gameGame

theory-Chapter

274??博弈的時間順序如下日期1(銀行的投資項目到期之前)?

兩個投資者同時行動?

如果兩個投資者都提款，則每人可得到r，博弈結(jié)束?

如果只有一個投資者提款，則她可得到D,另一個投資者可得到2r-D,博弈結(jié)束(注意r>2r-D)?如果兩人都不提款，則項目結(jié)束后在日期2博弈繼續(xù).?

日期2(銀行的投資項目到期之后)?

兩個投資者同時行動??如果兩個投資者都提款，則每人可得到R，博弈結(jié)束如果只有一個投資者提款，則她可得到2R-D,另一個投資者可得到D,博弈結(jié)束（注意2R-D>R

）?

如果兩個投資者都不提款，則銀行向每個投資者返還R，博弈結(jié)束.Bank

runs:

game

treeGame

theory-Chapter

2751W

NW2WNW12WNWWNWWNW2a

subgameOne

subgame-perfectNash

equilibrium(

NW

W

,NW

W

)Wr,

rNWDate

1Date

2W:

withdrawNW:

not

withdraw2D

,

2r–D2r–D

,

DR

,

R2R

–D

,

D

D

,

2R

–D

R

,

RBank

runs:game

treeGame

theory-Chapter

2761W

NW2WNW12WNWWNWWNW2One

subgame-perfectNash

equilibrium(

W

W

,W

W

)Wr,

rNWDate

1Date

2W:

withdrawNW:

not

withdraw2D

,

2r–D2r–D

,

DR

,

R2R

–D

,

D

D

,

2R

–D

R

,

Ra

subgameTariffs

and

imperfect

internationalcompetition

(2.2.C

of

Gibbons)Game

theory-Chapter

277???????兩個完全相同的國家,1和2,同時選擇它們的關(guān)稅稅率,分別記為t1,t2,.來自country

1的Firm

1和來自country

2的firm

2生產(chǎn)同質(zhì)的產(chǎn)品供給本國消費和出口.觀察到兩國的稅率后,firm

1和2同時選擇用于本國消費和出口的產(chǎn)品數(shù)量,分別用(h1,e1)和(h2,e2)表示.

兩個國家的市場價格P

i(Q

i)=a–Q

i,fori=1,

2.Q

1=h1+e2,Q

2=h2+e1.兩個企業(yè)的邊際成本為常數(shù)c.每個企業(yè)在向其他國家出口時都要支付關(guān)稅.Tariffs

and

imperfect

internationalcompetitionGame

theory-Chapter

278Firm

1的收益是它的利潤:?

1

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)?

[

a

?

(h1

?

e2

)]h1

?

[

a

?

(e1

?

h2

)]e1

?

c(h1

?

e1

)?

t2

e1[Firm

2的收益是它的利潤:?

2

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)?

a

?

(h2

?

e1

)]h2

?

[

a

?

(e2

?

h1

)]e2

?

c(h2

?

e2

)?

t1e2Tariffs

and

imperfect

internationalcompetitionGame

theory-Chapter

279Country

1的收益是它的總福利:country

1的消費者所享有的消費者剩余之和,firm

1的利潤以及關(guān)稅收入21

1

1

2

1

1

2

2 1

212Q(t

,t

,h

,e

,h

,e

)?

te?W

1

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)??這里Q

1

?h1

?e2

.Country

2的收益是它的總福利:country

2的消費者所享有的消費者剩余之和,firm

2的利潤以及關(guān)稅收入2212Q2

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)?

t2

e1?

?W

2

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)?這里Q

2

?h2

?e1.Backward

induction:subgame

between

the

two

firmsGame

theory-Chapter

280對于任何給定的關(guān)稅稅率組合(t1,t2

)，我們可以找到兩個企業(yè)間子博弈的納什均衡.Firm

1

maximizes?

1

(t1

,t2

,h1,e1

,h2

,e2

)?

[

a

?

(h1

?

e2

)]h1

?

[

a

?

(e1

?

h2

)]e1

?

c(h1

?

e1

)?

t2

e1FOC:2221

21

21a

?

2e1

?

h2

?

c

?

t2

?

0

? e

?

(a

?

h

?

c

?

t

)1a

?

2h1

?

e2

?

c

?

0

? h

?

(a

?

e

?

c)FOC:2Firm

2

maximizes?

2

(t1

,t2

,h1

,e1

,h2

,e2

)?

[

a

?

(h2

?

e1

)]h2

?

[

a

?

(e2

?

h1

)]e2

?

c(h2

?

e2

)?

t1e2112

1212e

?

1

(a

?

h

?

c

?

t

)?

h1?

c

?

t1?

0

?a

?

2e? h2

?

2

(a

?

e1

?

c)a

?

2h

?

e

?

c

?

0Backward

induction:subgame

between

the

two

firmsGame

theory-Chapter

281(t1

,t2

)，我們可以找到兩個企業(yè)間子對于任何給定的關(guān)稅稅率組合博弈的納什均衡.給定(t1

,t2

),子博弈的納什均衡應(yīng)該滿足這幾個方程.221

21

2e

?

1

(a

?

h

?

c

?

t

)22

21

122

1e

?

1

(a

?

h ?

c?

t

)h

?

1

(a

?

e

?

c) h

?

1

(a

?

e

?

c)解這幾個方程可以得到313111*2*2**e?

(a

?

c?

2t

)(a

?

c

?

t2

)h

?e1

?

3

(a

?

c

?

2t2

)1h1

?

3

(a

?

c

?

t1)Backward

induction:

whole

gameGame

theory-Chapter

28221兩個國家都知道兩個企業(yè)對于組合(t1

,t2

)的最優(yōu)組合

Country

1最大化(Q

1

?h1

?e2

)W

1

(t1

,t2

,h1

,e1,h2

,e2

)?

2

Q

1

?

?1

(t1

,t2

,h1

,e1,h2

,e2

)?

t1e2將我們前面得到的帶入country

1的目標(biāo)函數(shù)31331

121

1

2

1

11

22?

c(

(a

?

c)?

(t1

?

2t2

))?

t2

?

(a

?

c?

2t2

)?

t1

?

(a

?

c

?

2t1

)(2(a

?

c)?

t1

)

?

(a

?

(a

?

c)?

t1)?

(a

?

c

?

t1

)?

(a

?

(a

?

c)?

t2

)?

(a

?

c

?

2t2

)18

3

3

3

3

3

33FOC:1t1

?

3

(a

?

c)對稱的,我們也可以得到32t

?

1

(a

?

c)Tariffs

and

imperfect

internationalcompetitionGame

theory-Chapter

283子博弈完美納什均衡????????

??

????131

???,

?1311

1**(a

?

c

?

2t1

)???

(a

?

c?

t

)

??3

2(a

?

c?

2t2

)?

?e2?e1?

h1

?

3

(a

?

c?

t1

)

?

?h2?

(a

?

c),t2

?

(a

?

c),?3

3?t1??子博弈完美解（

subgame-perfect

outcome）??

??19?,

?194

413132?

?

*

?1?

?

***??