專題14二元一次方程組的應(yīng)用（1個知識點12種題型1個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟（重點）（難點）【方法二】實例探索法題型1.一題多解問題題型2.幾何圖形問題【方法三】差異對比法易錯點：在列方程組時，單位不統(tǒng)一或沒有正確理解等量關(guān)系而造成錯誤【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】能用二元一次方程組解決生活中的實際問題。通過列方程組解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系。【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟（重點）（難點）一、利用二元一次方程組解實際應(yīng)用問題的一般過程為（1）審題．理解題意，弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關(guān)系是什么．（2）設(shè)元（未知數(shù)）．①直接未知數(shù)，②間接未知數(shù)（往往二者兼用）．一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解．（3）用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)的量．（4）尋找相等關(guān)系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關(guān)系給出），列方程．一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的．（5）解方程及檢驗．（6）答案．綜上所述，列方程（組）解應(yīng)用題實質(zhì)是先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)元、列方程），在由數(shù)學(xué)問題的解決而導(dǎo)致實際問題的解決（列方程、寫出答案）．在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用．因此，列方程是解應(yīng)用題的關(guān)鍵．二、列方程組解應(yīng)用題的常見題型1、數(shù)字問題

已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．2、利潤問題商品利潤＝商品售價－商品進(jìn)價；利潤率=利潤÷進(jìn)價×100%。

3、行程問題速度×?xí)r間=路程.

順?biāo)俣?靜水速度+水流速度.

逆水速度=靜水速度水流速度.4、分配問題解這類問題的基本等量關(guān)系是：加工總量成比例.5、方案選擇問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．要點詮釋：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．6、和差倍分問題增長量＝原有量×增長率

較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.7、幾何問題解這類問題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式；解這類題的一般程序為：問題情境—抽象出等量關(guān)系—列出二元一次方程組—解方程組—作答。通過對上述幾例的學(xué)習(xí)，我們不僅會用二元一次方程組解決實際問題，而且還對我國的古代數(shù)學(xué)有了進(jìn)一步的了解，同時解決實際問題的意識和應(yīng)用能力得到了加強(qiáng)?！痉椒ǘ繉嵗剿鞣}型1.一題多解問題1．若在一個兩位正整數(shù)

N

的個位數(shù)字與十位數(shù)字之間添上數(shù)字

2

，組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為

N

的“誠勤數(shù)”，如

34

的“誠勤數(shù)”為

324

；若將一個兩位正整數(shù)

M

加

2

后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為

M

的“立達(dá)數(shù)”，如

34

的“立達(dá)數(shù)”為

36．（1）求證：對任意一個兩位正整數(shù)

A

，其“誠勤數(shù)”與“立達(dá)數(shù)”之差能被

6

整除；（2）若一個兩位正整數(shù)

B

的“立達(dá)數(shù)”的各位數(shù)字之和是

B

的各位數(shù)字之和的一半，求

B

的值．【答案】（1）見解析；（2）

B

的值為68或59．【解析】（1）設(shè)A的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則A＝10a+b，它的“誠勤數(shù)”為100a+20+b，它的“立達(dá)數(shù)”為10a+b+2，∴100a+20+b（10a+b+2）＝90a+18＝6（15a+3），∵a為整數(shù)，∴15a+3是整數(shù)，則“誠勤數(shù)”與“立達(dá)數(shù)”之差能被6整除；（2）設(shè)B＝10m+n，1≤m≤9，0≤n≤9（B加上2后各數(shù)字之和變小，說明個位發(fā)生了進(jìn)位），∴B+2＝10m+n+2，則B的“立達(dá)數(shù)”為10（m+1）+（n+210），∴m+1+n+2﹣10=（m+n），整理，得m+n＝14，∵1≤m≤9，0≤n≤9，∴、、、、，經(jīng)檢驗：77、86和95不符合題意，舍去，∴所求兩位數(shù)為68或59．題型2.幾何圖形問題2．用圖1中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成圖2中的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒．現(xiàn)有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，如果制作豎、橫式兩種紙盒若干個，恰好將紙板用完，那么制作的豎式禮盒有（

）圖1

圖2A．200個 B．400個 C．600個 D．800個【答案】A【分析】設(shè)豎式紙盒x個，橫式紙盒y個，由題意列出方程組可求解．【詳解】設(shè)豎式紙盒x個，橫式紙盒y個，根據(jù)題意得：解方程組得：∴制作的豎式禮盒有200個．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程組，根據(jù)題意列出正確的方程組是本題的關(guān)鍵．3.（2023上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字，，，，0，1，2，3，4分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎列以及對角線上的數(shù)字之和都是同一個值，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由，，可知每一橫行、每一豎列以及對角線上的數(shù)字之和都是0，如圖1，由，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，如圖2，由題意知，，整理得，，，整理得，，聯(lián)立，解得，然后求解即可．【詳解】解：∵，∴，即每一橫行、每一豎列以及對角線上的數(shù)字之和都是0，如圖1，∵，解得，∵，解得，∵，解得，∵，解得，∵，解得，∴如圖2，由題意知，，整理得，，，整理得，，∴，解得，∴，故選：A．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運算．4．小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘從背后駛過一輛8路公交車，每隔4分鐘從迎面駛來一輛8路公交車．已知每輛8路公交車的行駛速度相同，且每相鄰的兩輛8路公交車相距1200米則8路公交車的行駛速度為（

）A．100m/分鐘 B．200m/分鐘 C．300m/分鐘 D．400m/分鐘【答案】B【分析】設(shè)8路公交車的速度為米/分，小王的速度為米/分，發(fā)車間隔時間為分鐘，則兩輛車之間的距離為米，根據(jù)題意，列出方程組，求出的值，再根據(jù)速度等于路程除以時間，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)8路公交車的速度為米/分，小王的速度為米/分，發(fā)車間隔時間為分鐘，則兩輛車之間的距離為米，由題意，得：，解得：，∴8路公交車的行駛速度為m/分鐘；故選B．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程組，求出發(fā)車間隔時間．5．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）某商場正在熱銷2008年北京奧運會吉祥物“福娃”玩具和徽章兩種奧運商品，根據(jù)下圖提供的信息，則一盒“福娃”玩具的價格是．【答案】元【分析】設(shè)一盒“福娃”玩具的價格是元，一枚徽章的價格是元．根據(jù)題意可列二元一次方程組求解．【詳解】解：設(shè)一盒“福娃”玩具的價格是元，一枚徽章的價格是元則解得：故一盒“福娃”玩具的價格是元故答案為：元【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．讀懂圖是解題關(guān)鍵．6．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）安居小區(qū)業(yè)主安先生準(zhǔn)備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊完成此項完程．由于工期過長，安先生要求裝修公司再派乙工程隊與甲隊共同工作．已知甲工程隊單獨完成此項工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)與乙工程隊單獨完成此項工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要多少天；(2)若甲工程隊工作10天后，與公司派來的乙工程隊再合作多少天可完成此項工程的；(3)甲、乙工程隊每天的施工費分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時費用正好為21800元，求甲工程隊參加工作多少天？【答案】(1)40，15(2)6(3)16【分析】（1）設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天，甲隊單獨完成此項工程需要天，依題意得，，解得，，則；（2）由（1）可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的，依題意得，，計算求解即可；（3）設(shè)甲單獨工作天，甲乙合作工作天，依題意得，，計算求出的值，然后根據(jù)，計算求解甲工程隊參加工作的天數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成此項工程需要天，甲隊單獨完成此項工程需要天，依題意得，，解得，，∴，∴甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需要40、15天；（2）解：由（1）可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)還需要再合作天可完成此項工程的，依題意得，，解得，，∴還要再合作6天可完成此項工程；（3）解：設(shè)甲單獨工作天，甲乙合作工作天，依題意得，，解得，，∵，∴甲工程隊參加工作16天．【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列方程（組）．7.（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某機(jī)械廠加工車間平均每人每天加工甲種零件10個或乙種零件16個，已知3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，問怎樣安排人員才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套？【答案】應(yīng)分配60人生產(chǎn)甲種零件，25人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，y人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套，根據(jù)3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，共有85名工人全員參加生產(chǎn)，列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)甲種零件，y人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套，由題意得：，解得：，答：應(yīng)分配60人生產(chǎn)甲種零件，25人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天加工的甲、乙零件數(shù)剛好配套．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┖隈R鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝品種黑馬?薯，畝品種黑馬鈴薯，其中品種的平均畝產(chǎn)量比品種的平均畝產(chǎn)量低，共收獲兩個品種黑馬鈴薯千克．(1)求，兩個品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量各多少千克？(2)根據(jù)如圖信息，求收購時、兩種馬鈴薯每箱的收購價格分別是多少元？(3)在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購?fù)赀@些黑馬?薯．收購方式如下：，兩個品種各自獨立裝箱，品種每箱千克，品種每箱千克，老李給出如下優(yōu)惠：收購或的數(shù)量（單位：箱）不超過箱超過箱優(yōu)惠方式收購總價打九五折收購總價打八折第一次收購了兩個品種共箱，且收購的品種箱數(shù)比品種箱數(shù)多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時做出了價格調(diào)整：每箱的收購價不變，每箱的收購價比第一次的收購價降低，優(yōu)惠方式不變．兩次收購?fù)晁械暮隈R鈴薯后，蔬菜商人發(fā)現(xiàn)第二次支付給老李的費用比第一次支付給老李費用多元，求蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯多少箱？【答案】(1)品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克(2)品種每箱元，品種每箱元(3)【分析】（1）依題意，設(shè)品種的畝產(chǎn)量為千克，則品種的畝產(chǎn)量為，列式，解得，即可作答；（2）依題意，設(shè)品種每箱元，品種每箱元，列出方程組，解得，即可作答；（3）先算出、品種分別有的箱數(shù)，再設(shè)第一次收購品種箱，第二次收購箱，則品種第一收購為箱，依題意，列式化簡得，解得，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)品種的畝產(chǎn)量為千克，則品種的畝產(chǎn)量為，根據(jù)題意得，解得品種的畝產(chǎn)量為（千克）所以品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千點，品種黑馬鈴薯平均畝產(chǎn)量為千克．（2）解：設(shè)品種每箱元，品種每箱元，，解得所以品種每箱元，品種每箱元；（3）解：品種共有的箱數(shù)：（箱）產(chǎn)品共有的箱數(shù)：（箱）設(shè)第一次收購品種箱，第二次收購箱，則品種第一收購為箱，整理得即那么解得所以蔬菜商人第一次收購品種黑馬鈴薯箱．【點睛】本題考查了一元一次方程以及二元一次方程的實際應(yīng)用，難度適中，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程，對式子運算能力有一定的要求．9．（2021春·上?！ち昙壭？计谀┰谝淮胃咚勹F路建設(shè)中，某渣土運輸公司承包了某標(biāo)段的土方運輸任務(wù)，擬派出大、小兩種型號的渣土運輸車運輸土方．已知2輛大型渣土運輸車與3輛小型渣土運輸車一次共運輸土方31噸，5輛大型渣土運輸車與6輛小型渣土運輸車一次共運輸土方70噸．（1）一輛大型渣土運輸車和一輛小型渣土運輸車一次各運輸土方多少噸？（2）該渣土運輸公司決定派出大、小兩種型號渣土運輸車共20輛參與運輸土方，若每次運輸土方總量不小于148噸，且小型渣土運輸車至少派出2輛，則有哪幾種派車方案？【答案】（1）一輛大型渣土運輸車一次運輸噸，一輛小型渣土運輸車一次運輸噸；（2）有三種方案，第一種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛；第二種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛；第三種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛．【分析】（1）根據(jù)題意可以得到相應(yīng)的二元一次方程，從而可以求得一輛大型渣土運輸車和一輛小型渣土運輸車一次各運輸土方多少噸；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的關(guān)系式，從而可以求得有幾種方案．【詳解】解：（1）設(shè)一輛大型渣土運輸車一次運輸噸，一輛小型渣土運輸車一次運輸噸，，解得．即一輛大型渣土運輸車一次運輸噸，一輛小型渣土運輸車一次運輸噸；（2）由題意可得，設(shè)該渣土運輸公司決定派出大、小兩種型號的渣土運輸車分別為輛、輛，，解得，故有三種派車方案，第一種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛；第二種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛；第三種方案：大型運輸車輛，小型運輸車輛．【點睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．10．學(xué)生問老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說：“我像你這么大的時候，你才出生，你到我這么大時，我已經(jīng)36歲了，”那么老師和學(xué)生的年齡分別是（

）A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10【答案】A【分析】設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲，抓住年齡差不變，根據(jù)此等量關(guān)系可列方程組求解．【詳解】解：設(shè)老師現(xiàn)在的年齡是歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是歲，由題意可得：，解得：．故老師現(xiàn)在的年齡是24歲，學(xué)生現(xiàn)在的年齡是12歲．故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是知道年齡差是不變的量從而可列方程求解．11．某電器超市銷售每臺進(jìn)價為200元，170元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進(jìn)價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進(jìn)貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風(fēng)扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風(fēng)扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不同的購買方案．【答案】(1)種型號電風(fēng)扇的銷售單價為250元，種型號電風(fēng)扇的銷售單價為200元(2)不能，理由見解析(3)見解析【分析】（1）設(shè)種型號電風(fēng)扇的銷售單價為元，種型號電風(fēng)扇的銷售單價為元，根據(jù)近2周的銷售情況表格中的數(shù)據(jù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)，設(shè)銷售臺種型號電風(fēng)扇，臺種型號電風(fēng)扇，利用總利潤每臺的銷售利潤銷售數(shù)量，結(jié)合銷售完、兩種型號的電風(fēng)扇共25臺且共獲得1200元利潤，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，結(jié)合，需為正整數(shù)，即可得出不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)；（3）設(shè)購買臺種型號電風(fēng)扇，臺種型號電風(fēng)扇，利用總價單價數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)種型號電風(fēng)扇的銷售單價為元，種型號電風(fēng)扇的銷售單價為元，依題意得：，解得：．答：種型號電風(fēng)扇的銷售單價為250元，種型號電風(fēng)扇的銷售單價為200元．（2）不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)，理由如下：設(shè)銷售臺種型號電風(fēng)扇，臺種型號電風(fēng)扇，依題意得：，解得：，又，均為正整數(shù)，不符合題意，舍去，即不能實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)．（3）設(shè)購買臺種型號電風(fēng)扇，臺種型號電風(fēng)扇，依題意得：，，又，均為正整數(shù)，或或，該公司共有3種購買方案，方案1：購買4臺種型號電風(fēng)扇，15臺種型號電風(fēng)扇；方案2：購買8臺種型號電風(fēng)扇，10臺種型號電風(fēng)扇；方案3：購買12臺種型號電風(fēng)扇，5臺種型號電風(fēng)扇．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關(guān)鍵．12．在2022年冬奧會的開幕式上，其武校的健兒們參演的《立春》節(jié)目讓全世界人民驚艷和動容．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：原計劃調(diào)配若干輛客車接送健兒們，每輛車滿載坐55人，則有8人沒有座位，若更換車型，每輛車滿載坐44人，則用車數(shù)量將比原計劃增加兩輛，且最后一輛車空出3個座位，求一共參演的健兒們有多少名？原計劃調(diào)配多少輛車？【答案】一共參演的健兒們有393名，原計劃調(diào)配客車7輛．【分析】設(shè)參演的健兒們共x人，原計劃調(diào)配55座客車y輛．根據(jù)題意可列出方程組，解出x、y即可．【詳解】解：設(shè)參演的健兒們共x人，原計劃租用55座客車y輛．根據(jù)題意，得，解得，答：一共參演的健兒們有393名，原計劃調(diào)配客車7輛．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．【方法三】差異對比法易錯點：在列方程組時，單位不統(tǒng)一或沒有正確理解等量關(guān)系而造成錯誤1．（2023下·浙江杭州·七年級?？茧A段練習(xí)）從王老師家到學(xué)校有一段上坡路、一段的平路和一段下坡路，王老師每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度為，平路的平均速度為，下坡路的平均速度為，那么王老師從家到學(xué)校需，從學(xué)校到家需．求從王老師家到學(xué)校的上坡路和下坡路的路程．【答案】從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為【分析】設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為，根據(jù)題意得，解得：答：從王老師家到學(xué)校的上坡路的路程為，下坡路的路程為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023下·山東臨沂·七年級校聯(lián)考期末）小劉同學(xué)用10元錢買兩種不同的賀卡共8張，單價分別是1元和2元，設(shè)1元的賀卡為x張，2元的賀卡為y張，那么x與y所適合的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題的等量關(guān)系為：①1元的賀卡張數(shù)元的賀卡張數(shù)張；②1元的賀卡錢數(shù)元的賀卡錢數(shù)元．根據(jù)這兩個等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】解：根據(jù)1元的賀卡張數(shù)元的賀卡張數(shù)張，得方程；根據(jù)1元的賀卡錢數(shù)元的賀卡錢數(shù)元，得方程為．∴所列方程組為．故選D．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出的二元一次方程組的知識點，解答本題的關(guān)鍵是理解題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023上·四川德陽·七年級?？计谥校┤鐖D所示的兩臺天平保持平衡，已知每塊巧克力的質(zhì)量相等，且每個果凍的質(zhì)量也相等，則每個果凍的質(zhì)量為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組，理解題圖列出方程或方程組是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)每塊巧克力的質(zhì)量為，每個果凍的質(zhì)量為，先列出方程組，再求出的值．【詳解】解：設(shè)每塊巧克力的質(zhì)量為，每個果凍的質(zhì)量為，由題意，得．解這個方程組，得．所以每個果凍．故選：C．3．（2023下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中有一道題的原文是：“今有木，不知長短，余繩四尺五寸；屈繩量之，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，長木還剩余1尺，問木長多少尺？小寧將這個問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，同時已經(jīng)列出一個方程為，則另一個方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由所列的方程，可找出x，y表示的含義，再結(jié)合“將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺”，即可列出另一個二元一次方程．【詳解】解：∵用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，∴x表示長木的長度，y表示繩子的長度，又∵將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，∴．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·云南昭通·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知方程組，未知數(shù)x、y的和等于2，則m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)未知數(shù)x、y的和等于2，得到，代入方程組，得到關(guān)于的二元一次方程組，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴原方程組化為：，解得：；故選A．【點睛】本題考查根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)的值．解題的關(guān)鍵是用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為新的方程組，進(jìn)行求解．5．（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于x、y的方程組的解為，則的值為（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】將方程組的解代入方程求解即可得到答案；【詳解】解：將代入得，，解得：，∴，故選：B；【點睛】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是將解代入方程組．6．（2023下·四川眉山·七年級?？计谥校┤鐖D，在長為10米，寬為8米的長方形空地上，沿平行于長方形邊的方向分割出三個形狀、大小完全一樣的小長方形花圃（陰影部分）．空白部分面積為（

）A．53 B．54 C．55 D．56【答案】D【分析】利用二元一次方程組求出小長方形花圃的長和寬，然后解題即可．【詳解】設(shè)小長方形花圃的長和寬分別是，由題意得：解得：，所以空白部分面積為平方米，故選D．【點睛】本題考查二元一次方程組解應(yīng)用題，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·廣西柳州·七年級鹿寨縣鹿寨中學(xué)?？奸_學(xué)考試）甲乙兩數(shù)的和是，甲的比乙的多，甲乙兩數(shù)的差是（）．A．120 B．240 C．360 D．480【答案】C【分析】設(shè)甲為，乙為，根據(jù)題意列出方程組，加減消元即可求解．【詳解】解：設(shè)甲為，乙為，依題意，由②得③得，解得：，將代入①得，∴故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小組分若干本書，若每人分6本，則余4本；若每人分8本，則缺2本，共有圖書（

）A．34本 B．22本 C．24本 D．32本【答案】B【分析】設(shè)人數(shù)為，圖書為，若每人分6本，則余4本；若每人分8本，則缺2本列出方程組解答即可．【詳解】解：設(shè)人數(shù)為，圖書為，根據(jù)題意可得：，解得：，故選：B【點睛】此題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┠耻囬g35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應(yīng)該分配（

）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當(dāng)天的螺栓和螺母剛好配套？A．13人 B．14人 C．15人 D．16人【答案】C【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，根據(jù)每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，1個螺栓配2個螺母剛好配套，列出方程組，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，由題意得，解得，即應(yīng)分配15人生產(chǎn)螺栓，20人生產(chǎn)螺母．故選C．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程組．二、填空題10．（2024上·湖北武漢·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）一個盒子里有若干張面額是2元、5元的紙幣，總金額是30元，則這兩種面額的紙幣共有張【答案】12或9/9或12【分析】設(shè)2元的紙幣有x張，5元的紙幣有y張，根據(jù)若干張面額是2元、5元的紙幣，總金額是30元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)2元的紙幣有x張，5元的紙幣有y張，由題意得：，∴，∵x、y均為正整數(shù)，∴或，∴或，即這兩種面額的紙幣共有12張或9張，故答案為：12或9．【點睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023上·河南周口·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）一條數(shù)軸上有點A、B、C（圖①），其中點A、C表示的數(shù)分別是、6，現(xiàn)以點B為折點，將數(shù)軸向右對折，若點A對應(yīng)的點M落在點B的右邊、點C的左邊，并且C、M兩點間的距離是6（圖②），則點B表示的數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出二元一次方程組，求出的長，再根據(jù)兩點之間的距離求出點表示的數(shù)．【詳解】解：由題可知，由對折可得，解得∴點B表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】題主要考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)以及兩點之間的距離，二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸上的點表示數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在《最強(qiáng)大腦》節(jié)目中，有很多具有挑戰(zhàn)性的比賽項目，其中《幻圖圓》這個項目充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和相等；則圖中外圓周上空白圓圈內(nèi)填，內(nèi)圓周上空白圓圈內(nèi)填內(nèi)應(yīng)填．【答案】【分析】設(shè)外圓空白數(shù)字為x,內(nèi)圓空白數(shù)據(jù)為y,根據(jù)題意可列出關(guān)于x、y的方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)外圓空白數(shù)字為x，內(nèi)圓空白數(shù)據(jù)為y，根據(jù)題意得：；整理得：，解得：．故答案為．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法運算、二元一次方程組等知識點，根據(jù)題意列出一元二次方程組是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023上·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）在一座環(huán)形島嶼邊上有五個港口A、B、C、D、E按順時針排列，它們分別有貨運船20艘、16艘、8艘、12艘、19艘，只允許港口可相鄰的港口調(diào)出貨運船，最少調(diào)動艘貨運船，使每個港口貨運船數(shù)量相同．【答案】16【分析】先求出這5個港口貨運船的平均數(shù)，設(shè)A往B調(diào)動艘，B往C調(diào)動艘，C往D調(diào)動艘，D往E調(diào)動艘，E往A調(diào)動艘，調(diào)動貨運船總數(shù)為y，推出，，，，根據(jù)，結(jié)合絕對值的幾何意義，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：（艘），設(shè)A往B調(diào)動艘，B往C調(diào)動艘，C往D調(diào)動艘，D往E調(diào)動艘，E往A調(diào)動艘，調(diào)動貨運船總數(shù)為y，，，，，，則，，，，∴當(dāng)時，y取最小值，∴最少調(diào)動方法是：從A調(diào)動5艘到B，從B調(diào)動6艘到C，從E調(diào)動4艘到D，從D調(diào)動1艘到C，（艘），故答案為：16．【點睛】本題考查了絕對值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)、列出方程以及絕對值的幾何意義．三、解答題14．（2022下·遼寧盤錦·七年級?？计谥校┬〖t和小明是好朋友，小紅每天步行上學(xué)且所需時間保持不變，小明騎自行車或步行上學(xué)，騎自行車速度為240米/分，步行速度為80米/分，下面是兩人的對話，請根據(jù)對話內(nèi)容計算：小明從家到學(xué)校的路程和小紅從家到學(xué)校的時間．小明：如果我騎車，你步行，那么我從家到學(xué)校比你少用4分鐘小紅：如果我倆都步行，那么我從家到學(xué)校比你少用2分鐘．【答案】小明從家到學(xué)校的路程為720米，小紅從家到學(xué)校所需時間是7分鐘．【分析】通過理解題意可知本題存在兩個等量關(guān)系，即“都步行時小紅從家到校比小明少2分鐘”和“小明騎車，小紅步行時，小明比小紅少用4分鐘”．根據(jù)這兩個等量關(guān)系可列出方程組．【詳解】解：設(shè)小明同學(xué)從家到學(xué)校的路程為x米，小紅從家到學(xué)校所需時間是y分鐘．由題意，得，解得，答：小明從家到學(xué)校的路程為720米，小紅從家到學(xué)校所需時間是7分鐘．【點睛】本題是二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找出題中存在兩個等量關(guān)系，即“都步行時小紅從家到校比小明少2分鐘”和“小明騎車，小紅步行時，小明比小紅少用4分鐘”．15．（2022下·湖南衡陽·七年級校考期中）在等式中，當(dāng)時，；當(dāng)時，；(1)求的值；(2)當(dāng)時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把已知的數(shù)據(jù)代入等式可得關(guān)于k、b的方程組，解方程組即可；（2）把代入（1）的等式中求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：，解得：；（2）解：因為，所以，所以當(dāng)時，，解得：．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，正確理解題意、得出關(guān)于k、b的方程組是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┠成虉鲑忂M(jìn)甲、乙兩種礦泉水，第一次購進(jìn)甲8箱，乙6箱，共用124元，第二次購進(jìn)甲10箱，乙12箱，共用200元(1)該商場購進(jìn)的甲、乙兩種礦泉水各多少元/箱？(2)甲、乙銷售價都為12元/箱，全部售完，該商場共獲得利潤多少元？【答案】(1)甲種礦泉水8元/箱，乙種礦泉水10元/箱．(2)該商場共獲得利潤元．【分析】（1）設(shè)甲種礦泉水x元/箱，乙種礦泉水y元/箱，第一次購進(jìn)甲8箱，乙6箱，共用124元，第二次購進(jìn)甲10箱，乙12箱，共用200元，列出方程組解答即可；（2）根據(jù)總利潤=甲的利潤+乙的利潤，列式計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲種礦泉水x元/箱，乙種礦泉水y元/箱，則得：，把代入①得：，∴答：甲種礦泉水8元/箱，乙種礦泉水10元/箱．（2）解：由題意可得：甲種礦泉水購進(jìn)18箱，乙種礦泉水購進(jìn)18箱；答：該商場共獲得利潤元．【點睛】本題考查二元一次方程租的實際應(yīng)用－銷售問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出等量關(guān)系列出方程．17．（2022上·湖北武漢·七年級?？计谥校┗梅绞枪爬系臄?shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，例如圖1就是一個幻方．圖2、圖3、圖4分別是未完成的幻方．492357816圖102a圖2m82016n圖3圖4(1)如圖2，將、、、、0、1、2、3、4這9個數(shù)填入圖2的幻方中，其中、0、2已填入，則a的值是______．(2)如圖3，則______．(3)如圖4，直接寫出圖中y的值是______．【答案】(1)(2)4(3)【分析】（1）設(shè)每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和為t，分別用含有t的式子表示每一空格的數(shù)，再根據(jù)第三行的和等于第二行的和列方程求解即可；（2）由每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，表示出最中間的數(shù)和最右下角的數(shù)，列出二元一次方程組求得m、n的值，即可求解；（3）根據(jù)第一行的和等于第三列的和可得關(guān)于x的一元二次方程，求得x的值，再根據(jù)第二行的和與對角線的和相等即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和為t，則每一空格如圖所示，023a∴，∴，，故答案為：；（2）解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，∴最左下角的數(shù)為：，∴最中間的數(shù)為：或，∴最右下角的數(shù)為：或，∴，解得，∴，故答案為：4；（3）解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，∴，整理得，，∵，整理得，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．18．（2022下·陜西安康·七年級?？茧A段練習(xí)）分別用8個大小一樣的小長方形紙片拼圖．如圖①，小明拼成了一個大的長方形；如圖②，小紅拼成了一個大的正方形，但中間恰好空出一個邊長為1cm的小正方形，請你求出小長方形紙片的長和寬．【答案】小長方形的長為5cm，寬為3cm．【分析】設(shè)每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形，根據(jù)各邊之間的關(guān)系，列出二元一次方程組，解方程組得出小長方形的長和寬．【詳解】解：設(shè)每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意得：，解得：，答：小長方形的長為5cm，寬為3cm．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．19．（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）某體育用品商場銷售A，B兩款足球，售價和進(jìn)價如表：類型進(jìn)價元/個售價元/個A款m120B款n90若該商場購進(jìn)5個A款足球和12個B款足球需1120元；若該商場購進(jìn)10個A款足球和15個B款足球需1700元．(1)求m和n的值；(2)某校在該商場一次性購買A款足球x個和B款足球y個，共消費3300元，那么該商場可獲利多少元？(3)為了提高銷量，商場實施：“買足球送跳繩”的促銷活動：“買1個A款足球送1根跳繩，買3個B款足球送2根跳繩”，每根跳繩的成本為10元，某日售賣出兩款足球總計盈利600元，那么該日商場銷售A、B兩款足球各多少個？每款都有銷售【答案】(1)m的值為80，n的值為60(2)1100(3)該日商場銷售13個A款足球、9個B款足球或6個A款足球、18個B款足球【分析】（1）根據(jù)“該商場購進(jìn)5個A款足球和12個B款足球需1120元；購進(jìn)10個A款足球和15個B款足球需1700元”，可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值；（2）利用銷售總價等于銷售單價乘以銷售數(shù)量，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再在方程的兩邊同時除