專題10.4事件的相互獨(dú)立性（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春·湖南長沙·高一期末）若事件A，B相互獨(dú)立，它們發(fā)生的概率分別為p1，p2，則事件A，A．1?p1p2 B．(1?p1【解題思路】由獨(dú)立事件與對立事件的概率公式計算．【解答過程】由事件A與事件B相互獨(dú)立,可得A與B相互獨(dú)立,所以P(AB)=P(A?B故選：B.2．（3分）（2022秋·陜西漢中·高一期末）對于事件A，B，下列命題不正確的是（

）A．若A，B互斥，則PB．若A，B對立，則PC．若A，B獨(dú)立，則PD．若A，B獨(dú)立，則P【解題思路】根據(jù)對立事件，獨(dú)立事件和互斥事件的性質(zhì)，分別進(jìn)行判斷即可.【解答過程】因?yàn)锳，B互斥，互斥事件概率和在(0,1]區(qū)間，所以PA+PB因?yàn)锳，B對立，對立事件概率和為1，所以PA+PB因?yàn)锳，B獨(dú)立，則A,B也相互獨(dú)立，所以PAPB因?yàn)锳，B獨(dú)立，由獨(dú)立事件的性質(zhì)可知：二者同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：PA+PB所以命題不正確的是D，故選：D.3．（3分）（2022春·江蘇蘇州·高二期中）九連環(huán)是中國傳統(tǒng)的有代表性的智力玩具，凝結(jié)著中國傳統(tǒng)文化，具有極強(qiáng)的趣味性.九連環(huán)能既練腦又練手，對于開發(fā)人的邏輯思維能力及活動手指筋骨大有好處.現(xiàn)有甲、乙兩人獨(dú)立地挑戰(zhàn)破解“九連環(huán)”智力扣，已知兩人能破解的概率分別為12，13，則（A．兩人都成功破解的概率為56 B．兩人都成功破解的概率為C．智力扣被成功破解的概率為34 D．智力扣被成功破解的概率為【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算即可.【解答過程】由題意知兩人都成功破解的概率P=1智力扣被成功破解，說明甲乙至少一人能破解，根據(jù)對立事件的概率可知P=1?1故C錯誤D正確.故選：D.4．（3分）（2022秋·上海松江·高二期末）設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件，以下命題錯誤的為（

）A．若A,B是獨(dú)立事件，PA=13B．若A,B是對立事件，則PC．若A,B是互斥事件，PA=13D．若PA=13，PB【解題思路】利用互斥公式、獨(dú)立公式、對立公式滿足的條件可以一一判斷.【解答過程】對于A：當(dāng)A,B是獨(dú)立事件時，A,B也是獨(dú)立事件，∴P對于B：當(dāng)A,B是對立事件時，PA∪B對于C：當(dāng)A,B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=1對于D：∵PB=14,∴PB=故選：C.5．（3分）（2022春·福建福州·高一期末）拋擲一顆均勻骰子兩次，E表示事件“第一次是奇數(shù)點(diǎn)”，F(xiàn)表示事件“第二次是3點(diǎn)”，G表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是9”，H表示事件“兩次點(diǎn)數(shù)之和是10”，則（

）A．E與G相互獨(dú)立 B．E與H相互獨(dú)立C．F與G相互獨(dú)立 D．G與H相互獨(dú)立【解題思路】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出四個事件的概率，再利用獨(dú)立事件的定義P(AB)=P(A)P(B)判斷個選項的正誤.【解答過程】解：由題意得：P(E)=1836=12，對于選項A：P(EG)=236=118，P(E)P(G)=12對于選項B：P(EH)=136，P(E)P(H)=12×112對于選項C：P(FG)=136，P(F)P(G)=16×19對于選項D：P(GH)=0，P(G)P(H)=19×112=1故選：A.6．（3分）（2022春·湖北鄂州·高二期末）“三個臭皮匠，賽過諸葛亮”，這句口頭禪體現(xiàn)了集體智慧的強(qiáng)大.假設(shè)李某能力較強(qiáng)，他獨(dú)自一人解決項目M的概率為P1=0.9；同時，有n個水平相同的人組成的團(tuán)隊也在研究項目M，團(tuán)隊成員各自獨(dú)立地解決項目M的概率都是0.4.如果這個n人的團(tuán)隊解決項目M的概率為P2，且P2≥A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式先求出團(tuán)隊成員都不能解決項目M的概率，再由對立事件的概率求出P2【解答過程】由題意，這n個人組成的團(tuán)隊不能解決項目M的概率為P=(1?0.4)所以P2由P2≥P1可得兩邊取常用對數(shù)可得：nlg35解得n≥4.55，又n∈N?，所以故選：A.7．（3分）（2022·山西太原·統(tǒng)考二模）某產(chǎn)品需要通過兩類質(zhì)量檢驗(yàn)才能出貨．已知該產(chǎn)品第一類檢驗(yàn)單獨(dú)通過率為34第二類檢驗(yàn)單獨(dú)通過率為p0<p<1，規(guī)定：第一類檢驗(yàn)不通過則不能進(jìn)入第二類檢驗(yàn)，每類檢驗(yàn)未通過可修復(fù)后再檢驗(yàn)一次，修復(fù)后無需從頭檢驗(yàn)，通過率不變且每類檢驗(yàn)最多兩次，且各類檢驗(yàn)間相互獨(dú)立．若該產(chǎn)品能出貨的概率為56．則p=A．25 B．12 C．23【解題思路】利用獨(dú)立事件和互斥事件概率計算公式直接求解．【解答過程】解：設(shè)Ai表示第i次通過第一類檢驗(yàn)，Bi表示第i次通過第二類檢驗(yàn)由題意得P(A即34解得p=23或p=4故選：C．8．（3分）（2023春·廣東·高三階段練習(xí)）若正整數(shù)a的所有真因數(shù)（即不是自身的因數(shù)）之和等于b，正整數(shù)b的所有真因數(shù)之和等于a，則稱a和b是一對“親和數(shù)”.約兩千五百年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)第一對親和數(shù)：284和220.220的所有真因數(shù)為1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110;284的所有真因數(shù)為1,2,4,71,142.若分別從284和220的所有真因數(shù)中各隨機(jī)抽取一個數(shù)，則取出的兩個數(shù)的和為奇數(shù)的概率是（

）A．1255 B．1455 C．2655【解題思路】分別計算出從284和220的所有真因數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率，再利用概率的加法公式即可求得結(jié)果.【解答過程】由題意可知，從220的11個真因數(shù)中取出一個奇數(shù)的概率為411，取出一個偶數(shù)的概率為7從280的5個真因數(shù)中取出一個奇數(shù)的概率為25，取出一個偶數(shù)的概率為3若取出的兩個數(shù)的和為奇數(shù)，則取出的兩個數(shù)為一奇一偶，所以取出的兩個數(shù)的和為奇數(shù)的概率P=4故選：C.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·廣東佛山·高二階段練習(xí)）甲?乙兩各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（

）A．事件“甲投得5點(diǎn)”與事件“甲投得4點(diǎn)”是互斥事件B．事件“甲投得6點(diǎn)”與事件“乙投得5點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件C．事件“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙都沒有投得6點(diǎn)”是對立事件D．事件“至少有1人投得6點(diǎn)”與事件“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”是相互獨(dú)立事件【解題思路】根據(jù)互斥事件，相互獨(dú)立事件以及對立事件的定義即可根據(jù)選項逐一判斷.【解答過程】在A中，甲?乙兩各投擲一枚骰子，“甲投得5點(diǎn)”與“甲投得4點(diǎn)”兩個事件不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件；在B中，甲、乙各投擲一枚骰子，“甲投得6點(diǎn)”發(fā)生與否對事件“乙投得5點(diǎn)”的概率沒有影響，二者是相互獨(dú)立事件；在C中，甲，乙各投擲一枚骰子，“甲?乙都投得6點(diǎn)”與事件“甲?乙都沒有投得6點(diǎn)”不可能同時發(fā)生，二者是互斥事件，“甲?乙都投得6點(diǎn)”的對立事件為“至少有一個人沒有投得6點(diǎn)”，故“甲?乙都沒有投得6點(diǎn)”不是“甲?乙都投得6點(diǎn)”的對立事件；在D中，設(shè)“至少有1人投得6點(diǎn)”為事件A，則事件A包括只有甲一人投得6點(diǎn)，或者只有乙一個人投得6點(diǎn)，以及甲乙兩人都投得6點(diǎn)，而“甲投得6點(diǎn)且乙沒投得6點(diǎn)”為事件B，則AB=B，故A、B不獨(dú)立，故選：AB.10．（4分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）某社區(qū)開展“防疫知識競賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎相互獨(dú)立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為（

）A．p(1?q)+q(1?p)+pq B．p+q C．pq D．1?(1?p)(1?q)【解題思路】令P(A)=p,P(B)=q且A、B相互獨(dú)立，從正反兩個角度，利用事件的關(guān)系及含義表示出兩人中至少有一人獲得一等獎，進(jìn)而求出其概率即可.【解答過程】記A為“甲獲得一等獎”，B為“乙獲得一等獎”，則P(A)=p,P(B)=q且A、B相互獨(dú)立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎為AB所以P(AB從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎”的對立事件是“甲?乙兩人都沒獲得一等獎”，即事件AB，易得P(所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎”的概率為1?P(A綜上，A、D正確.故選：AD.11．（4分）（2023秋·湖北黃岡·高二期末）連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A=“第一次出現(xiàn)3點(diǎn)”，B=“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，C=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，D=“兩次點(diǎn)數(shù)之和為10”，則下列說法正確的有（

）A．A與B不互斥且相互獨(dú)立 B．A與D互斥且不相互獨(dú)立C．B與C不互斥且相互獨(dú)立 D．B與D互斥且不相互獨(dú)立【解題思路】根據(jù)給定條件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷作答.【解答過程】連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的試驗(yàn)結(jié)果有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36個不同結(jié)果，事件A所含的結(jié)果有：(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共6個，事件B所含的結(jié)果有24個，事件C所含的結(jié)果有18個，事件D所含的結(jié)果有：(4,6),(5,5),(6,4)，共3個，因此P(A)=6對于A，事件A與B都含有(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)，共4個結(jié)果，即事件A與B可以同時發(fā)生，而P(AB)=436=19對于B，事件A與D不能同時發(fā)生，P(AD)=0≠P(A)P(D)，A與D互斥且不相互獨(dú)立，B正確；對于C，事件B與C都含有(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),(5,2),(5,4),(6,1),(6,3)，共12個結(jié)果，即事件B與C可以同時發(fā)生，P(BC)=1236=13對于D，事件B與D都含有(6,4)，即B與D可以同時發(fā)生，P(BD)=1因此B與D不互斥且不相互獨(dú)立，D錯誤.故選：ABC.12．（4分）（2023春·江蘇南京·高三開學(xué)考試）甲乙兩人準(zhǔn)備買一部手機(jī)，購買國產(chǎn)手機(jī)的概率分別為0.6，0.5，購買白色手機(jī)的概率分別為0.4，0.6，若甲乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨(dú)立，則（

）A．恰有一人購買國產(chǎn)手機(jī)的概率為0.5B．兩人都沒購買白色手機(jī)的概率為0.52C．甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.48D．甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為0.468【解題思路】使用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式進(jìn)行計算即可.【解答過程】由已知，甲乙兩人購買哪款手機(jī)互相獨(dú)立，“甲購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件A，PA=0.6；“乙購買國產(chǎn)手機(jī)”記為事件B，“甲購買白色手機(jī)”記為事件C，PC=0.4；“乙購買白色手機(jī)”記為事件D，對于選項A，恰有一人購買國產(chǎn)手機(jī)的概率為PA故選項A正確；對于選項B，兩人都沒購買白色手機(jī)的概率為PC對于選項C，“甲購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件E，其概率為PE對于選項D，“乙購買國產(chǎn)白色手機(jī)”記為事件F，其概率為PF結(jié)合選項C的判斷，甲乙至少一位購買國產(chǎn)白色手機(jī)的概率為PEF∪E（也可以用1?PE故選：AD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·高二課時練習(xí)）如果事件A與B獨(dú)立，則下列幾組事件也獨(dú)立的是（1）（2）（3）.（1）A與B；（2）A與B；（3）A與B.【解題思路】利用獨(dú)立事件的概念即得.【解答過程】∵事件A與B獨(dú)立，∴A與B，A與B，A與B，也是獨(dú)立事件.故答案為：（1）（2）（3）.14．（4分）（2023·高一單元測試）對于獨(dú)立事件A、B，若PA=34，PB=【解題思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件和對立事件的概率計算即可求解.【解答過程】因?yàn)镻A=3又因?yàn)镻B=2因?yàn)锳，B為獨(dú)立事件，所以A與B相互獨(dú)立，則有PA故答案為：11215．（4分）（2022春·江蘇淮安·高二期末）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽沒有平局且相互獨(dú)立，每局比賽甲勝的概率為p，若比賽采取5局3勝制，甲僅用3局就贏得比賽的概率為827，則p=23【解題思路】利用相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【解答過程】設(shè)“甲僅用3局就贏得比賽”的事件為A，則P(A)=p3=所以p=2故答案為：2316．（4分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）超過1000小時的概率都是0.5，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為38【解題思路】根據(jù)題意，求出超過1000小時時，元件1、元件2至少有一個正常和元件3正常的概率，再利用獨(dú)立事件的概率公式求解即可.【解答過程】因?yàn)槿齻€電子元件的使用壽命（單位：小時）超過1000小時的概率都是0.5，即p=1記事件A:超過1000小時時，元件1、元件2至少有一個正常，事件B:超過1000小時時，元件3正常，事件C:該部件的使用壽命超過1000小時，則PA=1?1?p因?yàn)槭录嗀,B為相互獨(dú)立事件，事件C為A,B同時發(fā)生的事件，所以PC故答案為：38四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)A與B相互獨(dú)立，且P(A∪B)=45，P(A)=2【解題思路】由事件相互獨(dú)立有P(AB)=P(A)P(B)，結(jié)合P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)及已知條件即可得結(jié)果.【解答過程】因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B)．又P(AB)=P(A)+P(B)?P(A∪B)，P(A∪B)=45，設(shè)P(B)=x，則P(B)=P(AB)?P(A)+P(A∪B)，即x=23x?2318．（6分）（2023·高一課時練習(xí)）一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)以A、B、C分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問事件A、B、C是否兩兩相互獨(dú)立？【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷可得出結(jié)論.【解答過程】解：由題意可得PA則事件AB、BC、AC均為“第四面朝下”，故PAB所以，PAB=PAPB所以，事件A、B、C兩兩互相獨(dú)立.19．（8分）（2023·高一單元測試）已知戰(zhàn)士A射擊的命中率為60%，戰(zhàn)士B的命中率為65%，且兩人的射擊互不影響，求：(1)兩人同時擊中目標(biāo)的概率；(2)目標(biāo)被擊中的概率．【解題思路】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出兩人同時擊中目標(biāo)的概率；（2）目標(biāo)被擊中的對立事件是兩人都沒有擊中目標(biāo)，利用對立事件和相互獨(dú)立事件概率公式求解即可．【解答過程】（1）戰(zhàn)士A射擊的命中率為60%，戰(zhàn)士B的命中率為65%，兩人的射擊互相獨(dú)立，設(shè)事件A表示“戰(zhàn)士A命中”，事件B表示“戰(zhàn)士A命中”，則P(A)=0.6,P(B)=0.65，則兩人同時擊中目標(biāo)的概率為：P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.65=0.39.（2）目標(biāo)被擊中的對立事件是兩人都沒有擊中目標(biāo)，所以目標(biāo)被擊中的概率為：P=1?P(A20．（8分）（2022秋·上海靜安·高二期末）如圖所示為M、N兩點(diǎn)間的電路，在時間T內(nèi)不同元件發(fā)生故障的事件是相互獨(dú)立的，他們發(fā)生故障的概率如下表所示:元件KKLLL概率0.60.50.40.50.7(1)求在時間T內(nèi)，K1與K(2)求在時間T內(nèi)，K1，K(3)求在時間T內(nèi)，電路不通的概率.【解題思路】（1）設(shè)Ai表示Ki(i=1,2)發(fā)生故障，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出單位時間T內(nèi)，K（2）利用互斥事件概率計算公式能求出在時間T內(nèi)，由于K1與K2（3）設(shè)Bi表示Li(i=1【解答過程】（1）解：設(shè)Ai表示Ki(i=1,2)在時間T內(nèi)K1與K2同時發(fā)生故障的概率（2）解：在時間T內(nèi)，K1與KP2（3）解：設(shè)Bi表示Li(1,2,3)在時間T內(nèi)，電路不通的概率P321．（8分）（2022春·湖南衡陽·高一期末）甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結(jié)束，沒有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為12，負(fù)的概率為1(1)求第三局結(jié)束時乙獲勝的概率；(2)求甲獲勝的概率．【解題思路】（1）對乙來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結(jié)束時的場數(shù)進(jìn)行分類，在每一類中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【解答過程】(1)設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為13，不獲勝的概率為23若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

故P(2)設(shè)事件B為“甲獲勝”．若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率P1=若第三局結(jié)束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

此時的概率P2=若第四局結(jié)束