畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試（二）

文科數(shù)學

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試

用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、學校、班級填寫在答題卡相應位置上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案標號，寫在本試卷上無效.

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.請保持答題卡平整，不能折疊，考試結束，監(jiān)考員將答題卡收回.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1,已知全集。=~集合A={X1-5CW3},3={X[1<X<4},則@A）uB=（）

A.{x[%<-5或x>1}B.{無|xW-5或x>3}

C.{x|l<x<4}D,{x|l<x<3}

2.已知復數(shù)z=[\+l,則|z|=（）

A.V2+1B.72C.1D.75

3.已知。力為兩條不同的直線，a,/為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A..若a〃b,b〃a,則a//aB.若W色a_La,次7/?,則aJ■分

C.若aJ/a,bHB，a/ip,貝!ja//bD.若〃尸,a-L￡,則a_Lb

4.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦

法.如圖，己知圓錐的高與底面半徑均為2,過軸。。的截面為平面OA3,平行于平面048

的平面a與圓錐側面的交線為雙曲線C的一部分.若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于

OA,OB,則建立恰當?shù)淖鴺讼岛螅p曲線C的方程可以為（）

o

2

B.---Y=1

4

C.y2-x2=]D

5.某市質量檢測部門從轄區(qū)內甲、乙兩個地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機抽取9家企業(yè),

根據(jù)食品安全管理考核指標對抽到的企業(yè)進行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉

圖.由莖葉圖所給信息，可判斷以下結論中正確是（）

甲地區(qū)乙地區(qū)

58774

581480473

342991

A.若。=2,則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差

B.若。=4,則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)

C.若。=5,則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差

D.若。=6,則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)

6.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移g個單位長度，所得圖象的對稱軸中與y軸距離最近

6

的是（）

7T717171

A.x=-----B.X-----C.x=-D.X=—

126612

7.有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強，且具有藥用價值，某地以芍

藥為主打造了一個如圖的花海大世界，其中大圓半徑為8,大圓內部的同心小圓半徑為3,

兩圓之間的圖案是對稱的.若在其中陰影部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界之中，則

恰好處在紅芍中的概率是（）

2

1<iY-

8.已知log“一<1,—<1,。2<1，則實數(shù)a的取值范圍為（）

4

A（§』）B.^0,—JU（l,+oo）

9.已知函數(shù)〃x）=e"-lg此則/*）的圖象大致為（）

10.等腰三角形ABC內接于半徑為2的圓。中，AB=AC=2,且M為圓。上一點,

的最大值為（）

A.2B.6C.8D.10

11.已知加+e'〃=e，〃+5〃=e，則下列選項正確的是（）

A.0<m<n<\B.0<n<m<l

C.l<m<n<eD.l<n<m<e

12.已知曲線G：f+y2—卜一［y|=（）,曲線G：|X+3=1，直線y=x）與曲線G的交點

記為M，與曲線a的交點記為執(zhí)行如圖的程序框圖，當先取遍［—1，也土以上所

2

3

有實數(shù)時，輸出的點構成曲線C,則曲線C圍成的區(qū)域面積為()

/輸

/輸出點必//輸出點%/

15g

第ii卷

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題，每個試題考生都

必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知sin[]+e)=母■，則cos28=___.

14.已知點尸為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，若點P到)，軸和到直線3x-4y+12=0

的距離之和的最小值為2,則拋物線C的準線方程為一.

|lnx|,x>0

15.已知函數(shù)/(%)=若方程/(x)=%有4個互不相等的實數(shù)根

x2+4x+4,x<0

%,W,fZ(石<W<毛</)，則為+々+%3匕的值為一.

16.已知四棱錐P—的各個頂點都在球。的表面上，雨，平面A8CD,底面ABC。

是等腰梯形，AD//BC,AB=AD=CD=3,ZABC=~,PA=2。旭是線段A8

上一點，且過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為2〃，則2=

三、解答題：本大題共7小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟.

C

17.已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S〃，且，=〃+

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐椆?；

4

(2)求數(shù)列｛%-2%｝的前〃項和7；.

18.某中學組織學生進行地理知識競賽，隨機抽取500名學生成績進行統(tǒng)計，將這500名

學生成績分成5組：［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］,得到如圖所示

的頻率分布直方圖，若a,4c成等差數(shù)列，且成績在區(qū)間網(wǎng)),90)內的人數(shù)為120.

相［頻率/組距

0.005［；-|----\—\-------------1

O“5’06’07’08’09’01(')()日績

(1)求a,h,c的值；

(2)估計這500名學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);

(3)由成績在區(qū)間［90,100］內的甲、乙等5名學生組成幫助小組，幫助成績在區(qū)間［50,60)

內的學生4,B,其中3人幫助4,余下的2人幫助B,求甲、乙都幫助A的概率.

19.正方體ABC?！狝4c中，AC與8。交于點O,點E,尸分別為A4，CG的中點.

(1)求證：平面MQF//平面BEO；

(2)若正方體棱長為2,求三棱錐尸-8EO的體積.

20.在圓。：/+y2=i上任取一點p,過點P作y軸的垂線，垂足為D點。滿足

DQ=2PQ.當點尸在圓。上運動時，點。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設曲線C與)，軸正半軸交點為A,不過點A的直線/與曲線C交于M,N兩點，若

AM-AN=0＞試探究直線/是否過定點.若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說

5

明理由.

21.已知函數(shù)=-COSXXG

（1）求證：函數(shù)/（X）在o,y上單調遞增;

（2）當xe~ny~~2時，依,0%之[/（》）+＜：04[6*—以）8%恒成立，求實數(shù)人的取值范圍.

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作

答時用25鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號的方框涂黑.

選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標系X。），中，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已

x=J^cos。-fx=2+/cos?

知曲線G的參數(shù)方程為《7（。為參數(shù)），曲線C,的參數(shù)方程為｛（t

y=sin。y-fsin?

為參數(shù)，0＜2＜乃）.

（1）求曲線G的極坐標方程與曲線C2的普通方程;

（2）點尸（2,0）,若曲線G與曲線C?有且只有一個交點M，求1PM的值.

選修4一5：不等式選講

23.已知a,h,c都是正數(shù)，且a+8+c=1.證明:

,1

(1)cihcW—；

27

正+正+

(2)h+cQ+Ca-\-b2\Jahc

6

答案解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1,已知全集。=&集合A=H-5<xW3}產(chǎn){x[l<x<4},則@A)uB=()

A.{x|xW-5或X>1}B.{x|xW-5或x>3}

C.{x11<x<4}D.{x|l<x<3}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用補集、并集的定義求解作答.

【詳解】全集U=R，集合4={x|-5<xW3},則電A={x|xW-5或x>3},而

B={x|l<x<4},

所以&A)_B={x|x<-5或x>l}.

故選：A

2.已知復數(shù)z=—、+l,則|z|=()

1+i

A.V2+1B.72C.1D.6

【答案】C

【解析】

【分析】由復數(shù)的四則運算結合模長公式求解即可.

【詳解】z=「+l=77=-1+1+1=1,|z|=府+[2=]

1-1(1-1)(1+1)11

故選：C

3.已知。力為兩條不同的直線，a,6為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.若a/lb,blla,則a//aB.若aHb,aLa,b11/3,則c_L￡

C.若a//a、b/IB，alip,則a//bD.若a〃d〃尸,a_L￡,則a_L〃

【答案】B

【解析】

7

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質，結合面面平行、垂直的判定定理逐一判斷即可.

【詳解】對于A,若aihbHa,則a//a或aua,故A錯誤；

對于B,若?！āㄊ瑒tau4或。///，

若au￡,因為aJ_a,則a_L￡,

若a//〃，如圖所示，則在平面夕一定存在一條直線加〃a,

因為a_Le,所以〃z_La，

又mu0,所以aJ?4，

綜上若a〃4a-La,O〃Z?,則故B正確；

對于C,若a〃a/〃￡,a〃，，則直線a/相交或平行或異面，故C錯誤;

對于D,若aHa,bHB，a：B,則直線。力相交或平行或異面，故D錯誤.

故選：B.

4.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦

法.如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2,過軸。。的截面為平面0A8,平行于平面0A8

的平面a與圓錐側面的交線為雙曲線C的一部分.若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于

OA,OB,則建立恰當?shù)淖鴺讼岛螅p曲線C的方程可以為（）

B.—

A.=1

4

8

22?2

C.y-X=1D.--------X=1

2

【答案】C

【解析】

—2—0ci

【分析】建立坐標系，由自B=-----=-1得出==1,進而作出判斷.

2-0b

22

【詳解】設雙曲線。C的方程為與一，=1,（。>0/>0）.

a~b~

將題設中雙曲線C的一部分平移到平面0A8內，以點。為坐標原點，建立如下圖所示的坐

標系：

_o_0

因為圓錐的高與底面半徑均為2,所以8（2,-2）,則％=------=-1.

即漸近線os方程為y=-%,即巴=1,故。=從

h

選項ABCD中滿足Q=Z?的只有選項C.

故選：C

5.某市質量檢測部門從轄區(qū)內甲、乙兩個地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機抽取9家企業(yè),

根據(jù)食品安全管理考核指標對抽到的企業(yè)進行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉

圖.由莖葉圖所給信息，可判斷以下結論中正確是（）

甲地區(qū)乙地區(qū)

58774

581480473

34299

A.若。=2,則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差

B.若。=4,則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)

C.若。=5,則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差

D.若。=6,則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)

9

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法判斷ABD；由波動程度判斷C.

【詳解】對于A：甲地區(qū)考核得分極差為94—75=19,乙地區(qū)考核得分的極差為

99—74=25,

即甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差，故A錯誤；

1770

對于B：甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為一(75+78+81+84+85+88+92+93+94)=——

99

乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為^(74+77+80+84+87+83+94+99+91)=等，

即甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故B錯誤；

對于C：甲地區(qū)考核得分從小到大排列為：75,78,81,84,85,88,92,93,94

乙地區(qū)考核得分從小到大排列為：74,77,80,83,84,87,91,95,99

由以上數(shù)據(jù)可知，乙地區(qū)考核得分的波動程度比甲地區(qū)考核得分的波動程度大，

即甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故C正確；

對于D：由莖葉圖可知，甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為85,乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為84,

則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)，故D錯誤；

故選：C

6.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移四個單位長度，所得圖象的對稱軸中與)，軸距離最近

6

的是()

7tr兀-兀c兀

A.x=---B.x---C.x=—D.x——

126612

【答案】D

【解析】

【分析】由平移變換得出平移后的解析式，再由正弦函數(shù)的性質求解.

【詳解】將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移:個單位長度，得到y(tǒng)=sin[2x+]J的圖象.

TTTT(TT\rrL

由2x+—=—+而,攵WZ可得,函數(shù)y=sin|2x+—|的對稱軸為》=一+一兀,左eZ.

32I3J122

TT

其中y軸距離最近的是》=二.

故選：D

10

7.有詩云：“芍藥承春寵，何曾羨牡丹”，芍藥不僅觀賞性強，且具有藥用價值，某地以芍

藥為主打造了一個如圖的花海大世界，其中大圓半徑為8,大圓內部的同心小圓半徑為3,

兩圓之間的圖案是對稱的.若在其中陰影部分種植紅芍.倘若你置身此花海大世界之中，則

恰好處在紅芍中的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】由圓的面積公式結合幾何概型的概率公式求解.

【詳解】由已知得：大圓的面積為S|=71x8?=64兀，小圓的面積為兀x3?=9兀.

64if—QjrSSir

所以陰影部分的面積為52=---=F.

55%

設“恰好處在紅芍中”為事件A,則=邑=2ZZ=亙

S,64萬128,

故選：C

1nV-

8.已知log“L<l，K<1,。2<1,則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（o,：）u（l,+8）

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性即可解出。的范圍.

11

【詳解】<1=W,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=在R上單調遞減得a〉0,

)<1=.，根據(jù)幕函數(shù)y=［在［°，+8)上單調遞增知0?。<1，則。<。<1，

log,,；<1=log.a'根據(jù)對數(shù)函數(shù)J=log"x,(o<a<1)在(0,+oo)上單調遞減得

八1

0<a<一,

4

綜上0<a<L

4

故選：D.

9.已知函數(shù)〃x)=e'-lgW，則/(x)的圖象大致為()

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由x<0時的單調性排除兩個選項，當x>0時，利用導數(shù)探討

函數(shù)的單調性、極值判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=e*-lg|x|的定義域為(一應0)1(0,+8),

當x<()時，f(x)=ev-lg(-x),因為函數(shù)丫=6,在(-8,0)上遞增，函數(shù)y=lg(—x)在

(f,0)上遞減，

因此函數(shù)/。)=6'-館(一工)在(—8,0)上遞增，BD錯誤；

當x>0時，f(x)=ex-lgx,求導得：f'(x)=e'——!一在(0,+℃)上遞增，

xlnlO

12

/'(e-2)=e---—,而Ove，'<l,2<lnl0<3,7<e2<8，即

In10In10

12

有r（e-2）〉0,

則存在與e（e-2,l），使得r（x（））=0,當O<x<Xo時，f'M<0,當x〉與時，f\x）>0,

即函數(shù)f（x）在（0,x（））上單調遞減，在（玉），+8）上單調遞增，C選項不滿足，A選項符合要求.

故選：A

10.等腰三角形ABC內接于半徑為2的圓。中，AB=AC=2,且M為圓O上一點，

的最大值為（）

A.2B.6C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標表示，結合三角函數(shù)性質

求解作答.

【詳解】以圓。的圓心。為原點，射線04為x軸建立平面直角坐標系，連接OB,OC,如

圖，

因為03=04=OC=AB=AC=2,則B（l,百）,C（l,一百），

而圓。的方程為V+y2=4,設點M（2cose,2sine）（0〈e<27i）,

于是MB=（1-2cos仇百-2sin。）,MC=（1-2cos仇-0-2sin&）,

MB.MC=（1—2cos6）2+（百一2sin9）（-6—2sin。）=1一4cos。+4cos?。一3+4sin?，

=2-4cos。，

當且僅當。=兀，即cos9=—1時.，（町3?"0四=6，

13

所以MB的最大值為6.

故選：B

11.已知m+e"'=e，〃+5"=e，則下列選項正確的是()

A.0<m<n<1B.()<n<m<l

C.\<m<n<QD.\<n<m<e

【答案】B

【解析】

【分析】構造函數(shù)/(x)=x+e"g(x)=x+5*,由其單調性結合圖象得出大小關系.

【詳解】構造函數(shù)/(x)=x+e*,g(x)=x+5*,/(m)=m+e'n=e,g(〃)=〃+5"=e,

易知函數(shù).f(x),g(x)為增函數(shù).

函數(shù).f(x),g(x)與函數(shù)>=e的圖象，如下圖所示:

由圖可知，()<〃<，〃.

又/(1)=1+6>/(加)，g(l)=l+5>g(“)，所以加

綜上，0<〃<加<1.

故選：B

12.已知曲線G:f+y2T田_|乂=0,曲線。2：兇+儀|=1,直線y=y0與曲線G的交點

記為M，與曲線G的交點記為執(zhí)行如圖的程序框圖，當為取遍L1，也土］上所

2

有實數(shù)時，輸出的點構成曲線C,則曲線C圍成的區(qū)域面積為()

14

輸

/輸出輸出

____1

（結束）

4+乃2+乃4+乃2+乃

A.----B.----C：,-----D.----

2244

【答案】A

【解析】

【分析】由程序框圖結合圓的方程得出曲線C的軌跡,進而得出面積.

2+y2-|x-y=O,即+（'—[=；，（y>0）

【詳解】當y>0時，曲線G：x

當y<0時，曲線。2：國_y=1，即y=x_l,（y<0）.

由程序框圖可知，點“1在G：（+[一｛|=攝（）'>°）上，

點加2在y=兇一1，（丁<°）上，則曲線c的軌跡如下圖所示：

，

-1

（「丫z、

4+兀

則曲線C圍成的區(qū)域面積為兀*+22x1x1

12J12,一2,

故選：A

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知sinf工+61=3,則cos28=__.

（2J3

15

【答案】--

【解析】

【分析】由誘導公式以及倍角公式求解即可.

【詳解】因為sin-+0=cos9=",所以cos26=2cos2。一1=一一1=—.

)333

故答案為：

14.已知點尸為拋物線C：丁=2/(2>0)上一點，若點尸至Ijy軸和至IJ直線3x-4y+12=0

的距離之和的最小值為2,則拋物線C的準線方程為一.

【答案】尤=一1

【解析】

【分析】由拋物線的定義結合距離公式得出〃=2,進而得出拋物線C的準線方程.

【詳解】過點P分別作直線3x-4y+12=0,和)，軸的垂線，垂足分別為A,B,設焦點為

嗎,0).

+12

點尸到直線3x-4y+12=0的距離為4=2=3￡12.

^7^105

由定義可知，IPFRBPI+g貝U|AP|+|8P|=|4P|+|PE|—KNd—‘=2,

當且僅當A,P,尸三點共線時，取等號，

所以+————2,解得p=2,

1052

則拋物線C的準線方程為x=—1

故答案為：x=-l

15.已知函數(shù)=」；?；：；犬<0若方程/(%)=上有4個互不相等的實數(shù)根

16

xl,x2,x3,x4(<xi<x2<x3<x4),貝IjX|+/+尤3X4的值為

【答案】-3

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)對稱性即可得%+々=-4,根據(jù)對數(shù)運用即可得，則可得到答

案.

【詳解】由題意得西<々<0,當x<0時，/.(x)=》2+4x+4=(x+2)-,

則根據(jù)二次函數(shù)對稱性得%+%=2x(—2)=T,

而0<工3<%,當x>0時，/(x)=|ln%|,則-111X3=111X4,則111(毛工4)=0，^=1,

則玉+々+x3x4=-3,

故答案為：一3.

16.已知四棱錐尸一ABCD的各個頂點都在球。的表面上，雨，平面A8CZ),底面A8CZ)

■JT

是等腰梯形，AD//BC,AB=AD=CD^3,ZABC=~,PA=2及，M是線段A8

上一點，iLAM=AAB.過點”作球。的截面，所得截面圓面積的最小值為2〃，則2=

【答案】工1或彳2

JJ

【解析】

【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心o的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質及

余弦定理求解作答.

【詳解】在等腰梯形A8CD中，連接AC,如圖，

因為AQ〃BC,AB=AD=CD=3,ZA8C=二，則NBAO=NA0C=」，NCAO=

336

7T

于是ABAC=5,取8C中點O},連接aA,O|。，則aA=。出=O,C,得..AO出…COQ

17

均為正三角形，

即有（9,A=0]B=0,C=0]D,即（9,是梯形ABC。外接圓圓心，

而。為四棱錐P—ABC。的外接球球心，因此平面A8C。，又鞏，平面ABCD,

則QO//PA,而24為球。的弦，則過點0垂直于Q4的平面必過24的中點E,連接

OE,OA,

于OELPA,而QALPA,即有。A//OE,四邊形為矩形,

OQ=AE=；PA=g,

因此球。的半徑R=OA=JoW+OQ?=而，過點〃的球o的最小截面圓所在平面必

垂直于OM,

而此截面圓半徑為及，則OM=JR2_（揚2=3,連接。M,在RtaqoM中,

O[M=^OM1-O,O1=幣，

在，AA/Q中，ZBAO,=|,AM2+O.A2-2AMO.AcosZBAO^O.M2,

即有A"2+9—34W=7，解得AW=1或AM=2,

12

所以；1=一或；1=—.

33

12

故答案為：鼻或Q

【點睛】關鍵點睛：解決與球有關的內切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再利用球

的截面小圓性質求解.

三、解答題：本大題共7小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟.

s

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且」=〃+l（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛?！埃耐椆?；

（2）求數(shù)列的前w項和

【答案】（1）an=2〃（〃eN*）

18

<88V?8

⑵T，'=\J>n~9)+9"cN)?

【解析】

【分析】(1)由S,,與?！暗年P系得出數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(2)由錯位相減法得出前n項和T?.

【小問1詳解】

s

由=〃+1得S“=+〃，

n

當〃22時S,i=(“_l)2+(“_1),

4=S“_S“_|=2〃，

當〃=1時q=S]=2,滿足an-2n,

所以數(shù)列｛《,｝通項公式為%=2〃(〃eN*)

【小問2詳解】

由a,「2%=2n-22n=2n-4",

7；=2X4+4X4?+6x43+...+2〃x4"

47；,=2x42+4x43+6x44+...+2nx4,,+l,兩式錯位相減得

-3T=2x4+2x42+2x4,+2x44+...+2x4"-2〃x4"+i

“1-4

(QQ\Q

所以4=(針一§|4"+§(neN*).

18.某中學組織學生進行地理知識競賽，隨機抽取500名學生的成績進行統(tǒng)計，將這500名

學生成績分成5組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如圖所示

的頻率分布直方圖，若。,仇。成等差數(shù)列，且成績在區(qū)間[80,90)內的人數(shù)為120.

19

(1)求a,b,c的值；

(2)估計這500名學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);

(3)由成績在區(qū)間［90,100］內的甲、乙等5名學生組成幫助小組，幫助成績在區(qū)間［50,60)

內的學生A,B,其中3人幫助A,余下的2人幫助8,求甲、乙都幫助A的概率.

【答案】⑴a=0.036/=0.03,c=0.024

(2)中位數(shù)估計為73,平均數(shù)73.8

⑶上

10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)［80,90)的人數(shù)先求出C,再利用其成等差數(shù)列，以及所有小矩形面積為

1得到方程，解出即可.

(2)設估計中位數(shù)為r,列出方程(0.005+0.()36)xl()+?！?())x0.03=0.5,解出即可，

再利用頻率分布直方圖求出平均值即可.

(3)列出所有情況，找到滿足題意得情況，即可得到概率.

【小問1詳解】

依題意可得：c=120+500+1()=0.024

又力,c成等差數(shù)列，

J2b=a+c且(0.005x2+a+力+c)xl0=l,

解得：a=0.036,b=0.03

【小問2詳解】

估計中位數(shù)設為t,而[50,70)的頻率為0.41,[50,80)的頻率為0.71,則re[70,80),

(0.005+0.036)x!0+(r-70)x0.03=0.5,

解得：，=73,即中位數(shù)估計為73,

20

估計平均數(shù)為：

55x().05+65x0.36+75x0.3+85x0.24+95x0.05=73.8.

【小問3詳解】

5人中，將甲、乙分別編號為1,2,其余3人編號3,4,5,

從這5人中選3人幫助A的所以可能結果有：(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),

(1,3,4),(1,3,5)(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共

10個基本事件，

其中滿足條件的有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),共3個，

3

故滿足條件的概率為二.

10

19.正方體ABC?！狝SGA中，AC與8。交于點。，點E,尸分別為AA，CC1的中點.

(1)求證：平面片。尸//平面BEO；

(2)若正方體的棱長為2,求三棱錐尸-8EO的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)-

3

【解析】

【分析】Q)利用中位線定理與線面平行的判定定理證得MF〃面BEO,BQJ/平面BEO,

從而利用面面平行的判定定理即可得證；

(2)先利用線面垂直的判定定理證得80,平面OE凡再利用等體積法即可得解.

【小問1詳解】

連接AG交4。于"，連接4C,MF,

21

?.?在正方體中，。為AC中點，E為A4的中點，EO//AC,

同理加///4。，M///EO,

EOu平面BEO,MF<Z平面BEO,；.MF//面BEO,

?：BQ、I/BD,而8Ou平面BEO,BRZ平面BEO,：.8Q//平面BEO,

,:B[D[CMF=M,BR,MFu平面與。尸，

平面片￡>尸//平面BEO.

【小問2詳解】

?/BO±AC,BO±CtC,ACCC〕=CAC,CC|u平面OEF,

...801,平面OEF,

?正方體棱長為2,SO￡F=^-x2>/2x1=V2,

-VF-BEO=VB-OEF=~S,OEF-BO=X-

20.在圓O：f+y2=l上任取一點p,過點尸作)，軸的垂線，垂足為。，點。滿足

DQ=2PQ.當點尸在圓。上運動時，點。的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設曲線C與y軸正半軸交點為A,不過點A的直線/與曲線C交于M,N兩點，若

AM-AN=0,試探究直線/是否過定點.若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說

明理由.

2

【答案】(1)—+y2=1

4-

22

3

（2）恒過點（0,1），理由見解析

【解析】

x-_1x

【分析】（1）設點尸“0，%），。（蒼》），由DQ=2PQ得出J°2,繼而由圓的方程得

出曲線C的方程；

y=kx+b

（2）討論斜率存在和不存在兩種情況，由〈；2，得出

x+4y=4

(1+4左2)/+8物；+4〃-4=0,結合韋達定理以及數(shù)量積公式得出人=—之，進而得出

定點.

【小問1詳解】

設點P(x0,y0),Q(x,y)

'1

=-x

VDQ=2PQ,???r2

、%=y

22

Vxo+yo=1-—+/=1,則曲線。的方程為土+V=1

44'

【小問2詳解】

A(O,1),設加(如)，|),"(*2，M)，由AM-A/V=O

AM?A7V=(%,y-1).(9,%T)=中2+(*T)(%T)=0

當直線/_Lx軸時，△MAN為鈍角三角形，且NM4N<90，不滿足題意.

直線/的斜率存在.設直線/的方程為：y=kx+b

y=kx+b/.,

由《，-,化簡得：(1+4-k~)x+Skhx+4Z?"-4=0

%+4/=4'7

△>0=64k2b2-4(1+4左2)(4人2—4)>0nb?<1+4人之

—8kb4/一4

x.+x=------7,中2=-------r

1-21+4/'i-1+4女2

23

/.AM?AN=x]x2+攵+左(/?-1)(玉+%2)+9一1)

_(1+的(4/一4)8代他—1).-1)2(1+軟2)_

1+4—21+4/1+4-”

.?.(l+^2)(4/72-4)-8Z:2/7(Z2-l)+(/7-l)2(l+4Z:2)=0

整理得S-l)(5b+3)=0,：3

工直線/的方程為：>=去一3],恒過點(0,33.

【點睛】關鍵點睛：對于第(2)問，關鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，由韋達定理結合數(shù)量

3

積公式得出6=-一，進而由斜截式方程得出定點.

5

21.已知函數(shù)/(x)=±J—cosxxe一"(]).

(1)求證：函數(shù)/(x)在0,1上單調遞增；

(2)當xe時，ZsinxN[/(x)+cosx]e*-cosx恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)k<—+\

2

【解析】

【分析】(1)由導數(shù)結合正弦函數(shù)的性質得出單調性；

X—1—COSTX-I—COSJT

(2)分離參數(shù)得出左<一；—利用導數(shù)得出-.......一的最值，進而得出實數(shù)k

sinxsinr

的取值范圍.

【小問1詳解】

證明：=———+sinx=^+sinx

7T

當0<x<—時，2-x>0,sinx>0

2

24

2_Y,jr

.??/'(x)=—^+sinr〉o成立，所以函數(shù)/(x)在0,-上單調遞增.

e_z_

【小問2詳解】

[〃x)+cosx]e'-cosx=x-l-cosx

當x不時，不等式顯然成立

當一萬<%<一工時，-l<sinxv(),所以女42--~~竺2

2sill￥

人7、x-1-cosx

令g(x)二一:-----，

S1IU：

、(1+sinx)sinx-(x-1-cosx)cosxl+sinx+(l-x)cosx

*'sin2xsin2x

令/z(x)=l+siiu:+(l-x)cosx,

”(x)=cosx-cosux-(l-x)sinx=(x-l)sinr>0在(一肛-y上成立,

???/2(九)在‘肛一^]上為單調遞增函數(shù)，

即g1X）<0在一萬,一/上成立,

/jrf7T\TT

g（尤）在（一4,一萬上單調遞減，gaL=g（_]J=5+l

：.k<—+l.

2

【點睛】關鍵點睛：解決問題（2）時，關鍵在于將不等式的恒成立問題，轉化為最值問題,

通過導數(shù)得出最值，進而得出參數(shù)的范圍.

請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作

答時用28鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號的方框涂黑.

選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

22.在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.已

25

x=J^cos。-fx