第七章梁的強(qiáng)度和剛度計(jì)算

本章研究梁的應(yīng)力和變形計(jì)算，解決梁的強(qiáng)度和剛度計(jì)算問(wèn)題。梁的一般情況是橫截面上同時(shí)存在剪力和彎矩兩種內(nèi)力，稱作剪力（橫力）彎曲。與此相應(yīng)的截面上任一點(diǎn)處有剪應(yīng)力τ和正應(yīng)力σ。且剪應(yīng)力τ只與剪力Q有關(guān)，正應(yīng)力σ只與彎矩M有關(guān)。橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力的彎曲稱作純彎曲。如圖簡(jiǎn)支梁，AC、DB段為橫力彎曲；CD段為純彎曲。返回下一張上一張小結(jié)第一節(jié)梁橫截面上的正應(yīng)力

一、實(shí)驗(yàn)觀察與分析：為推導(dǎo)梁橫截面上的正應(yīng)力，考慮純彎曲情況。用三關(guān)系法：實(shí)驗(yàn)觀察→平面假設(shè)；幾何關(guān)系→變形規(guī)律，物理關(guān)系→應(yīng)力規(guī)律，靜力學(xué)關(guān)系→應(yīng)力公式。①橫線仍為直線,但傾斜角度d

；②縱線由直變彎,仍與橫線正交,

凸邊伸長(zhǎng),凹邊縮短；③橫截面相對(duì)于縱向伸長(zhǎng)區(qū)域縮短，縱向縮短區(qū)域伸長(zhǎng)。假設(shè):①平面假設(shè)—變形前后橫截面保持平面不變；

中性層—長(zhǎng)度不變的纖維層；中性軸—中性層與橫截面的交線。②單向受力假設(shè)—縱向纖維之間互不擠壓僅伸長(zhǎng)或縮短。返回下一張上一張小結(jié)

二、正應(yīng)力公式的推導(dǎo)：

（一）變形幾何關(guān)系：取梁微段dx考慮變形幾何關(guān)系，得應(yīng)變規(guī)律：當(dāng)M>0時(shí)：y>0,ε>0，為受拉區(qū)；y<0,ε<0,為受壓區(qū)。

（二）物理關(guān)系：由假設(shè)2及虎克定律，梁橫截面上的正應(yīng)力變化規(guī)律為：此式表明：梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力，與該點(diǎn)距中性軸（z軸）的距離y成正比，而與該點(diǎn)距y軸的距離z無(wú)關(guān)。正應(yīng)力沿截面高度呈直線規(guī)律分布。中性層處y=0,σ＝0；上下邊緣處有ymax，故有σmax。返回下一張上一張小結(jié)

（三）靜力學(xué)關(guān)系：—中性軸Z必通過(guò)形心。—中性軸是截面的形心主軸。

純彎曲梁上各點(diǎn)只有正應(yīng)力，微面積dA上法向合力dN=σdA。截面上各微內(nèi)力形成沿X軸的空間平行力系?？珊?jiǎn)化成三個(gè)內(nèi)力分量：Nx、My、Mz。式中:

Iz—截面對(duì)其中性軸的慣性矩；M—截面上的彎矩；

y—所求正應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離?！儚澢簷M截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力計(jì)算公式為避免符號(hào)錯(cuò)誤，計(jì)算中各量以絕對(duì)值代入，σ符號(hào)依點(diǎn)所處區(qū)域直接判斷。（根據(jù)彎矩方向，中性軸將截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)；M>0,上壓下拉；M<0，上拉下壓。）—純彎曲梁的變形計(jì)算公式返回下一張上一張小結(jié)

正應(yīng)力公式的使用范圍：①純彎曲梁；②彈性范圍（σ≤σp）；③平面彎曲（截面有對(duì)稱軸，形狀不限）；④細(xì)長(zhǎng)梁的橫力彎曲。（一般l/h>5為細(xì)長(zhǎng)梁，其計(jì)算誤差滿足工程精度要求δ<5％。）

例7-1圖示懸臂梁。試求C截面上a、b兩點(diǎn)的正應(yīng)力和該截面最大拉、壓應(yīng)力。

解：（1）計(jì)算C截面的彎矩M（2）確定中性軸位置，并計(jì)算慣性矩（3）求a、b兩點(diǎn)的正應(yīng)力(4)求C截面最大拉應(yīng)力

+max和最大壓應(yīng)力-max（在截面上下邊緣。）返回下一張上一張小結(jié)例7-2

18號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁如圖所示。試求D截面上a、b兩點(diǎn)處的正應(yīng)力。

解：(1)求D截面的彎矩：

MD=30kN.m

(3)求D截面a、b兩點(diǎn)的正應(yīng)力：(2)確定中性軸位置和截面慣性矩：查型鋼表

IZ=1660cm4返回下一張上一張小結(jié)第二節(jié)梁橫截面上的剪應(yīng)力一、矩形截面梁：矩形截面梁任意截面上剪力Q都與對(duì)稱軸重合。對(duì)狹長(zhǎng)橫截面上剪應(yīng)力的分布規(guī)律可作兩個(gè)假設(shè)：

(1)橫截面上各點(diǎn)均與該面上Q同向且平行；

(2)剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。從梁微段中取窄條cdmn分析：返回下一張上一張小結(jié)

矩形截面剪應(yīng)力計(jì)算公式：式中:Q—橫截面上的剪力；

Iz—橫截面對(duì)其中性軸的慣性矩；

b—所求剪應(yīng)力作用點(diǎn)處的截面寬度；

Sz

＊—所求剪應(yīng)力作用點(diǎn)處的橫線以下(或以上）的截面積A*對(duì)中性軸的面積矩。矩形截面：τ沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。由剪切虎克定律τ＝Gγ，知剪應(yīng)變沿截面高度也按拋物線規(guī)律變化，引起截面翹曲。但變形很小，可忽略不計(jì)。返回下一張上一張小結(jié)二、其它形狀截面的剪應(yīng)力：

1.工字形截面梁：

工字形截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的。

1)腹板上的剪應(yīng)力：腹板為狹長(zhǎng)矩形,承擔(dān)截面絕大部分剪應(yīng)力。式中:Q—橫截面上的剪力；h1—腹板高度；

Iz—截面對(duì)z軸慣性矩；d—腹板厚度；

Szmax—中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的慣性矩；（對(duì)于型鋼，Szmax：Iz的值可查型鋼表確定）故中性軸處有最大剪應(yīng)力

2)翼緣上的剪應(yīng)力：翼緣上的剪應(yīng)力情況較復(fù)雜。豎向分量很小且分布復(fù)雜，一般不考慮；水平分量認(rèn)為沿翼緣厚度均勻分布，計(jì)算公式與矩形截面的相同,其方向與豎向剪應(yīng)力方向之間存在“剪應(yīng)力流”的規(guī)律。Sz—欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對(duì)中性軸慣性矩；δo—翼緣厚度。返回下一張上一張小結(jié)

2.T字型截面：

T字型截面與工字型截面相似，最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在截面中性軸上。其腹板上應(yīng)力為：

3.圓形及環(huán)形截面：

圓形與薄壁環(huán)形截面其最大豎向剪應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，其值為：圓形截面薄壁環(huán)形截面式中：Q—截面上的剪力

A1、A2—圓形、薄壁環(huán)形截面的面積所有開口薄壁截面的剪應(yīng)力均符合“剪應(yīng)力流”規(guī)律。返回下一張上一張小結(jié)例7-3：矩形截面簡(jiǎn)支梁如圖,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m.試求A支座截面上K點(diǎn)的剪應(yīng)力及該截面的最大剪應(yīng)力.解：1、求剪力：QA=3kN

2、求K點(diǎn)剪應(yīng)力：3、求最大剪應(yīng)力：返回下一張上一張小結(jié)例7-4倒T形截面外伸梁如圖,已知：

l=600mm,b=30mm,P1=24kN,P2=9kN,y1=72mm,Iz=573cm4,

試求梁橫截面上的最大剪應(yīng)力。解：1.求最大剪力：

Qmax＝15kN,在CB梁段。2.求最大剪應(yīng)力：在中性軸上。返回下一張上一張小結(jié)第三節(jié)梁的強(qiáng)度計(jì)算一、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：為了保證梁在外力作用下能安全正常工作，必須限制梁內(nèi)的最大應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力。由此建立梁的強(qiáng)度條件并進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算。

危險(xiǎn)截面—最大應(yīng)力點(diǎn)所在截面;(等直梁為最大內(nèi)力截面）

危險(xiǎn)點(diǎn)—危險(xiǎn)截面上的最大應(yīng)力作用點(diǎn)。等直梁的危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)點(diǎn)為最大彎矩截面上下邊緣處各點(diǎn)。返回下一張上一張小結(jié)(1)強(qiáng)度校核:(2)選擇截面:(3)確定梁的許可荷載

二、剪應(yīng)力強(qiáng)度條件：三、梁的強(qiáng)度計(jì)算：一般情況下，細(xì)長(zhǎng)梁多為橫力彎曲，橫截面上同時(shí)存在彎矩和剪力，應(yīng)同時(shí)滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。由此可進(jìn)行三方面的強(qiáng)度計(jì)算：返回下一張上一張小結(jié)例7-5圖示為T形截面的鑄鐵梁。已知：

y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN,a=1m,鑄鐵許用拉應(yīng)力[

+]=30MPa,許用壓應(yīng)力[-]=60MPa,試校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。解：(1)作出梁的彎矩圖,可知:MC=3.0KN.m;MD=-4.8KN.m(2)梁的兩個(gè)抗彎截面模量為:(3)C截面的正應(yīng)力強(qiáng)度校核:(4)D截面的正應(yīng)力強(qiáng)度校核:(5)最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣處,最大壓應(yīng)力發(fā)生在D截面的下邊緣處,其值分別為:返回下一張上一張小結(jié)例7-6：試為圖示的施工用鋼軌枕木選擇矩形截面。已知矩形截面尺寸的比例為b:h=3:4,枕木的彎曲許用正應(yīng)力[]=15.6MPa,許用剪應(yīng)力[]=1.7MPa,鋼軌傳給枕木的壓力P=49KN。解:(1)由正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)截面尺寸(2)校核剪應(yīng)力強(qiáng)度(3)按剪應(yīng)力強(qiáng)度條件重新設(shè)計(jì)截面返回下一張上一張小結(jié)例7-7一外伸梁如圖所示,梁上受集中力P的作用.已知a=25cm,l=100cm,梁由2.6號(hào)工字鋼制成,材料的彎曲許用正應(yīng)力[]=170MPa,許用剪應(yīng)力[]=100MPa,試求此梁的許可荷載[P].解:

查表得:(1)按正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定[P](2)校核剪應(yīng)力強(qiáng)度此梁的許可荷載[P]=52.7kN返回下一張上一張小結(jié)①A相同時(shí)，截面高度盡量大；

四、梁的合理截面：梁的設(shè)計(jì)應(yīng)達(dá)到即安全又經(jīng)濟(jì)的要求。即要保證梁具有足夠的強(qiáng)度，安全工作；又要充分發(fā)揮材料的作用，節(jié)省材料。由此可知：與強(qiáng)度有關(guān)的材料性質(zhì)[σ]應(yīng)盡量大；荷載及結(jié)構(gòu)確定的Mmax應(yīng)盡量?。欢岣吡旱膹澢鷱?qiáng)度，主要從提高Wz著手，即選擇合理截面形式，使Wz/A的值盡量大。②把大部分面積布置在距中性軸較遠(yuǎn)的截面邊緣，提高Wz/A的值；

Wz/A=(0.27-0.31)h>0.167h>0.125h;

(工字形>矩形>圓形)

③使截面兩邊同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力；④綜合考慮梁的有關(guān)剛度、穩(wěn)定、使用要求及制造工藝等因素。如：過(guò)分強(qiáng)調(diào)加大h值，可能使截面?zhèn)认蚴Х€(wěn)；木梁不用工、環(huán)形截面，以避免增加加工費(fèi)等。返回下一張上一張小結(jié)第四節(jié)彎曲中心的概念當(dāng)外力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí)，梁產(chǎn)生平面彎曲。但截面沒(méi)有縱向?qū)ΨQ軸時(shí)，沿形心主軸作用的荷載不產(chǎn)生平面彎曲。如圖槽形截面，P力使梁彎曲；截面上的剪應(yīng)力流形成扭矩(腹板上的剪力Q’和翼緣上的T可求其作用在A點(diǎn)的合力Q，Q與P形成扭矩)使梁扭轉(zhuǎn)；梁產(chǎn)生彎扭組合變形。若使梁僅產(chǎn)生平面彎曲，P必須作用在過(guò)彎曲中心的縱向平面內(nèi)。任何形狀的截面都存在彎曲中心。彎曲中心的位置與梁所受的荷載無(wú)關(guān)，只取決于截面的幾何形狀?？梢宰C明，彎曲中心位于①截面的對(duì)稱軸上；②中線交點(diǎn)；③與形心重合。型鋼截面的彎曲中心可查有關(guān)圖表。

彎曲中心—梁僅產(chǎn)生平面彎曲時(shí)，外力在截面上的作用位置。返回下一張上一張小結(jié)第五節(jié)梁的變形和剛度計(jì)算

一、撓度和轉(zhuǎn)角

1、梁的撓曲線(彈性曲線)—梁彎曲后的軸線，為一條光滑的平面曲線。2、撓度y—梁橫截面形心垂直桿軸方向的線位移,稱為該截面的撓度，用y表示，向下為正。(水平方向線位移略去不計(jì))

3、轉(zhuǎn)角θ—梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度,稱為該截面的轉(zhuǎn)角，用θ表示，順時(shí)針為正。

單位：弧度。梁的撓度方程（撓曲線方程）：

y=f（x）梁的轉(zhuǎn)角方程：只要確定了梁的撓曲線方程，則任何橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角都可由此求出。所以，求梁變形的關(guān)鍵是求出其撓曲線方程。單位：mm.返回下一張上一張小結(jié)

二、梁的撓曲線的近似微分方程式忽略剪力對(duì)梁變形的影響，則工程中常用的細(xì)長(zhǎng)梁的變形由所選坐標(biāo)系和M的符號(hào)規(guī)定，取式中的負(fù)號(hào)。則得梁的撓曲線近似微分方程：返回下一張上一張小結(jié)

三、積分法計(jì)算梁的位移懸臂梁：在計(jì)算梁的位移時(shí)，對(duì)撓曲線近似微分方程積分一次得轉(zhuǎn)角方程，積分兩次得撓度方程，此法稱為積分法。對(duì)均質(zhì)材料等截面直梁，EIz為常量。則由積分一次得轉(zhuǎn)角方程：積分兩次得撓度方程：式中積分常數(shù)C、D由邊界條件(梁中已知的截面位移)確定：簡(jiǎn)支梁：

彎矩方程分段時(shí)的積分常數(shù)由連續(xù)條件(梁中已知的位移關(guān)系)確定：積分常數(shù)確定后，即可由轉(zhuǎn)角方程和撓度方程求梁任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。返回下一張上一張小結(jié)例7-8:求圖示懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度，梁的EI為常數(shù)。解：（1）建彎矩方程，列撓曲線微分方程：（2）將微分方程積分得：（3）當(dāng)x=0時(shí)，θA＝0,得C=0；當(dāng)x=0時(shí)，yA=0,

得D=0;

所以轉(zhuǎn)角方程為：撓度方程為：（4）求轉(zhuǎn)角撓度得：返回下一張上一張小結(jié)

四、疊加法計(jì)算梁的位移1、疊加原理：在彈性小變形范圍內(nèi)所求物理量（反力、內(nèi)力、變形等）均與梁上荷載成線性關(guān)系，在這種情況下，幾項(xiàng)荷載同時(shí)作用產(chǎn)生的效應(yīng)與每一項(xiàng)荷載單獨(dú)作用效應(yīng)的代數(shù)和相等。

2、疊加法計(jì)算步驟：①分解荷載(為每一荷載單獨(dú)作用情況)；

②分別計(jì)算各荷載單獨(dú)作用時(shí)梁的變形(對(duì)應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角可分別查梁的變形表確定，教材表8-1)；

③疊加得最后結(jié)果(同一平面內(nèi)荷載產(chǎn)生的變形代數(shù)相加，否則應(yīng)該幾何相加)。例7-9求圖示簡(jiǎn)支梁的最大撓度和轉(zhuǎn)角。梁的EI=常數(shù),a>b。解：返回下一張上一張小結(jié)例7-10等截面外伸梁如圖，試求C截面的撓度，梁的EI為常數(shù)。解：分解梁為AB、BC兩段：例7-11等截面懸臂梁如圖，試求C截面的撓度，梁的EI為常數(shù)。解：分解荷載為1、2兩種情況：返回下一張上一張小結(jié)五、梁的剛度校核梁的剛度校核的目的是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的位移是否超過(guò)設(shè)計(jì)規(guī)定的容許值。機(jī)械工程中，一般對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角都進(jìn)行校核；土建工程中，大多只校核撓度。校核撓度時(shí)，通常是以撓度的容許值與跨度的比值作為校核的標(biāo)準(zhǔn)。由此建立梁的剛度條件：強(qiáng)度條件和剛度條件都是梁必須滿足的。土建工程中，一般情況下梁的強(qiáng)度條件起控制作用。設(shè)計(jì)梁時(shí)，一般由強(qiáng)度條件選擇梁的截面，再校核剛度條件，不滿足時(shí)再設(shè)法減少梁的變形。提高梁的抗彎剛度的措施：由①提高Wz/A的值；（與強(qiáng)度問(wèn)題不同，局部增加慣性矩對(duì)梁整體變形的影響較小，應(yīng)考慮加筋而不是加厚截面）②減少梁跨度l或在跨中增加支座；③增加材料的彈性模量E；但作用不大。因?yàn)楦邚?qiáng)度鋼材的E值與普通鋼材相近。返回下一張上一張小結(jié)例7-12如圖，平面鋼閘門最底下一根主梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖，梁上作用有水壓力，其集度q=29.6kN/m，已選擇此梁為25b工字鋼，試校核此梁的剛度。解：梁的許用撓度為：不滿足剛度條件，應(yīng)重新設(shè)計(jì)。選擇28b工字鋼，查表得：Iz=7480cm2。所以應(yīng)選28b工字鋼。返回下一張上一張小結(jié)

7-13矩形截面懸臂梁如圖,已知:,單位跨度內(nèi)的許用撓度.試校核該梁的強(qiáng)`剛度.解:1.強(qiáng)度校核2.剛度校核結(jié)論:該梁滿足強(qiáng)`剛度要求.返回下一張上一張小結(jié)第六節(jié)應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

過(guò)受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)所有截面上的應(yīng)力情況總和，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。如拉壓桿斜截面應(yīng)力：研究方法：取單元體。

主平面—剪應(yīng)力為零的面；

主應(yīng)力—主平面上的正應(yīng)力；

主單元體—三主平面組成的單元體；三個(gè)主應(yīng)力按代數(shù)值排列為：σ1>σ2>σ3應(yīng)力狀態(tài)的分類：

三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)—三個(gè)主應(yīng)力都不為零；

雙向（平面）應(yīng)力狀態(tài)—兩個(gè)主應(yīng)力不為零；(為本節(jié)研究重點(diǎn))

單向(簡(jiǎn)單)應(yīng)力狀態(tài)—兩個(gè)主應(yīng)力為零。此外為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。純剪切狀態(tài)—各面只有剪應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力。返回下一張上一張小結(jié)如簡(jiǎn)支梁。

二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析—解析法

1、平面應(yīng)力狀態(tài)任意截面應(yīng)力計(jì)算公式：

符號(hào)規(guī)定：σ—拉為正；τ—順時(shí)針為正；α—逆時(shí)針為正。返回下一張上一張小結(jié)用與橫截面夾角為的斜截面(面積為dA)截取楔形體，由利用三角公式化簡(jiǎn)整理可得：同理，由∑Fy=0可得：

2、主應(yīng)力、主平面、主剪應(yīng)力由(a)、(b)式可確定應(yīng)力的極值及其作用面方位。返回下一張上一張小結(jié)

三、平面應(yīng)力狀態(tài)分析—圖解法整理(a)、(b)式得應(yīng)力圓方程：2.對(duì)應(yīng)關(guān)系：

①單元體面上應(yīng)力值←→應(yīng)力圓上點(diǎn)的坐標(biāo)；②單元體上角←→應(yīng)力圓上同轉(zhuǎn)向2角；③單元體起算面x面←→應(yīng)力圓起算點(diǎn)C點(diǎn)。1.應(yīng)力圓的畫法：①取坐標(biāo)系σoτ；返回下一張上一張小結(jié)④作圓：以D為圓心，DC(DC’)為半徑作圓。③定圓心D：連C,C’交σ軸于D點(diǎn)；②定特征點(diǎn)C,C’：按比例量取σx,σy,τx,τy；

3.用應(yīng)力圓求解斜截面上的應(yīng)力：

4.用應(yīng)力圓求主應(yīng)力和主平面：

從應(yīng)力圓上按比例量取B1,B2點(diǎn)的坐標(biāo)即主應(yīng)力σ1,σ2；量取圓心角2α1即可確定主平面（或用作圖法定）。返回下一張上一張小結(jié)從C點(diǎn)按α角轉(zhuǎn)向量出2α圓心角定E點(diǎn)，按比例量E點(diǎn)坐標(biāo)（OE’,E’E)即為σα，τα。返回下一張上一張小結(jié)

5.用應(yīng)力圓求主剪應(yīng)力：從應(yīng)力圓上按比例量取G1、G2點(diǎn)的縱坐標(biāo)即τmax、τmin。且由圖上幾何關(guān)系知：由圖還知：主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值不為零。G1、G2點(diǎn)的橫坐標(biāo)與圓心相同，等于。

應(yīng)力圓上任一點(diǎn)都代表相應(yīng)的應(yīng)力情況。利用同弧圓周角是圓心角的一半的幾何關(guān)系，任意斜截面的方位、主平面、主剪應(yīng)力作用平面的方位等，均可由主點(diǎn)K與相應(yīng)點(diǎn)E、B1、B2、G1、G2等的連線方向直觀表示。返回下一張上一張