第一章隨機(jī)變量基礎(chǔ)

1.2隨機(jī)變量的概率分布1.4統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)、正交1.5隨機(jī)變量的函數(shù)1.6隨機(jī)變量的特征函數(shù)小結(jié)1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.1隨機(jī)變量的概念授課計(jì)劃重點(diǎn)及要求：1.掌握隨機(jī)變量的概念和概率分布;2.熟練掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義和運(yùn)算性質(zhì);課題：1.1隨機(jī)變量的概念1.2隨機(jī)變量的概率分布1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1.1隨機(jī)變量的概念一.概率論的幾個(gè)基本概念:1．隨機(jī)試驗(yàn)例1拋硬幣：可能出現(xiàn)正面或反面；例2從一批產(chǎn)品中任取10件，抽到的廢品數(shù)可能是0,1,2,…,10中的一個(gè)數(shù)；例3擲色子：可能出現(xiàn)1,2,3,4,5,6點(diǎn)滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)被稱為隨機(jī)試驗(yàn)E，簡(jiǎn)稱試驗(yàn):1)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行;2)試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，所有可能的結(jié)果能事先明確;3)每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。

§1.1隨機(jī)變量的概念2．隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的試驗(yàn)結(jié)果，稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。如拋硬幣出現(xiàn)正面就是一個(gè)隨機(jī)事件.3.樣本空間

由所有可能的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合被稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記作S，樣本空間上的每個(gè)元素，被稱為樣本點(diǎn)或基本事件。如擲色子的樣本空間為{1,2,3,4,5,6}.

§1.1隨機(jī)變量的概念設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S＝{ei}，如果對(duì)樣本空間的每一個(gè)元素ei，都有一實(shí)數(shù)X(ei)與之對(duì)應(yīng)，對(duì)所有的元素ei∈S,就得到一個(gè)定義在空間S上的實(shí)單值函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)寫為X。

根據(jù)X取值的不同，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量(其全部可能取值為有限個(gè)或可列無窮個(gè))和連續(xù)型隨機(jī)變量。二.隨機(jī)變量的定義

§1.2隨機(jī)變量的概率分布1、概率分布函數(shù)定義隨機(jī)變量X取值不超過x的概率為概率分布函數(shù)：概率分布函數(shù)反映了隨機(jī)變量X落在區(qū)域（-∞，x]內(nèi)的概率。根據(jù)分布函數(shù)的定義，可得下面的基本性質(zhì)：性質(zhì)1：F(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即當(dāng)則有:性質(zhì)2：F(x)非負(fù)，且取值滿足：性質(zhì)3：隨機(jī)變量X在區(qū)間上取值的概率為分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4：性質(zhì)5：性質(zhì)6：F(x)右連續(xù)，即2、概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)定義為概率分布函數(shù)F(x)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，即：有時(shí)簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)?；蛉鬎(x)是連續(xù)的，其導(dǎo)數(shù)一定存在，若F(x)存在有限個(gè)間斷點(diǎn)，則可引入δ函數(shù)。概率密度函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)概率分布函數(shù)的性質(zhì)，可得到概率密度的性質(zhì)：性質(zhì)1：概率密度函數(shù)非負(fù)性質(zhì)2：概率密度函數(shù)在整個(gè)取值區(qū)間積分為1，即性質(zhì)3：概率密度函數(shù)在(x1,x2)區(qū)間積分，得到該區(qū)間的取值概率:隨機(jī)變量落入(x1,x2)的概率

離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量（X取離散值）常采用分布律（分布列）——隨機(jī)變量X取各個(gè)可能值的概率。

分布律也可用表格的形式表示:Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…離散型隨機(jī)變量對(duì)于離散隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為:其概率密度函數(shù)為:離散型隨機(jī)變量例:均勻擲色子實(shí)驗(yàn):取值為{1,2,3,4,5,6}連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量（X取連續(xù)值）問題:連續(xù)型隨機(jī)變量X取某個(gè)值的概率?概率密度函數(shù)如均勻分布隨機(jī)變量通過限幅器的輸出.總結(jié)隨機(jī)變量不同于普通變量表現(xiàn)在兩點(diǎn)上：(1)變量可以有多個(gè)取值，并且不能預(yù)知它到底會(huì)取哪個(gè)值；(2)變量取值是有規(guī)律的，這種規(guī)律用概率特性來明確表述；因此，凡是討論隨機(jī)變量就必然要聯(lián)系到它的取值范圍與概率特性。

3.多維隨機(jī)變量及其分布

在實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)遇到需要多個(gè)隨機(jī)變量才能描述清楚的隨機(jī)現(xiàn)象。3.多維隨機(jī)變量及其分布由多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量稱為多維隨機(jī)矢量或多維隨機(jī)變量。如二維隨機(jī)變量用（X，Y）表示，n維隨機(jī)變量用（X1X2X3…Xn）表示。二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱二維分布函數(shù):(X,Y)的二維聯(lián)合概率密度，簡(jiǎn)稱為二維概率密度:二維概率密度具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：邊緣分布定義設(shè)FXY(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，令則稱FX(x)、FY(y)分別為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為X和Y的邊緣分布函數(shù)。由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù).邊緣分布將稱pX(x)和pY(y)為X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。由二維概率密度可以求出邊緣概率密度條件分布在給定隨機(jī)變量X的條件下，隨機(jī)變量Y的條件概率分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)可分別表示為因此有：n維隨機(jī)變量及其分布定義n維隨機(jī)變量的n維（聯(lián)合）分布函數(shù)為n維隨機(jī)變量的n維概率密度為：4、隨機(jī)變量的幾種常見分布(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X在有限區(qū)間[a,b]內(nèi)取值，且其概率密度為則稱X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量(2)高斯分布(正態(tài)分布）一維高斯分布高斯變量X的概率密度為：式中m為均值，σ2為方差。正態(tài)分布簡(jiǎn)記為：N(m,σ2)(3)x2分布1)中心x2分布若n個(gè)互相獨(dú)立的高斯變量X1,X2,…,Xn的數(shù)學(xué)期望都為零，方差為1，它們的平方和的分布是具有n個(gè)自由度的x2分布。其概率密度為:非中心x2分布其概率密度為:(4)瑞利分布其概率密度為:(5)指數(shù)分布其概率密度為：(6)其他分布韋伯分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、

K分布、拉普拉斯分布常見的離散型隨機(jī)變量(1)(0-1)分布如:擲幣實(shí)驗(yàn),擊中與否,有無檢驗(yàn),二元數(shù)據(jù)(2)二項(xiàng)分布(Binomial)(3)泊松分布如:顧客服務(wù)問題中顧客的數(shù)目,誤碼發(fā)生問題中誤碼的數(shù)目,網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器應(yīng)用中,服務(wù)請(qǐng)求的次數(shù)等.(4)(離散)均勻分布§1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征1數(shù)學(xué)期望（Mean)也稱統(tǒng)計(jì)平均或集平均或均值。對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X，它的概率密度為pX(x)，則其數(shù)學(xué)期望定義為:對(duì)于離散隨機(jī)變量X，其數(shù)學(xué)期望定義為：均值具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：其中c為常數(shù)性質(zhì)2：若c為常數(shù)，則有性質(zhì)3：若X、Y是任意二個(gè)隨機(jī)變量，則有性質(zhì)4：若X、Y是二個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有若則稱X、Y相互獨(dú)立2方差方差是用來度量隨機(jī)變量偏離其數(shù)學(xué)期望的程度的量。定義為由均值的性質(zhì)知：方差開方后稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差證明:方差的性質(zhì)：性質(zhì)1：若c為常數(shù)，則性質(zhì)2：若X是隨機(jī)變量，c是常數(shù)，則有性質(zhì)3：若X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有3矩n階原點(diǎn)矩定義為n階中心矩定義為：當(dāng)n=1時(shí)，一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望當(dāng)n=2時(shí)，一階中心矩就是方差二維隨機(jī)變量X和Y的n+k階聯(lián)合原點(diǎn)矩定義為：二維隨機(jī)變量X和Y的n+k階聯(lián)合中心矩為：相關(guān)矩和協(xié)方差當(dāng)n=1，k=1時(shí)，二階聯(lián)合原點(diǎn)矩為它又稱為X和Y的相關(guān)矩。當(dāng)n=1，k=1時(shí)，二階聯(lián)合中心矩為它又稱為X和Y的協(xié)方差。相關(guān)系數(shù)將協(xié)方差對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量的均方差進(jìn)行歸一化，得相關(guān)系數(shù)定義為：數(shù)字特征計(jì)算舉例例1設(shè)X為(0,1)分布（兩點(diǎn)分布，伯努利分布）的隨機(jī)變量,且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p=q,求X的均值和方差.解:X的均值為又所以X的方差為:例2設(shè)X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,其概率密度為求X的均值和方差.解:X的均值為:X的方差為:授課計(jì)劃重點(diǎn)及要求：1.對(duì)隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交的差別與聯(lián)系有明確認(rèn)識(shí);2.隨機(jī)變量函數(shù)的概念;掌握求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度及數(shù)字特征的方法

3.理解隨機(jī)變量的特征函數(shù)的意義;掌握并靈活運(yùn)用隨機(jī)變量特征函數(shù)及其性質(zhì).課題：1.4統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)、正交1.5隨機(jī)變量的函數(shù)1.6隨機(jī)變量的特征函數(shù)§1.4統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)、正交1、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立：對(duì)于隨機(jī)變量而言，X和Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的充要條件為2.隨機(jī)變量X與Y(線性)不相關(guān)的充要條件是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立與不相關(guān)由于所以X和Y不相關(guān)的條件也可表示為：若兩個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，它們必然不相關(guān)。兩個(gè)隨機(jī)變量不相關(guān)，則它們不一定互相獨(dú)立。證明:若兩個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，它們必然不相關(guān)正交若隨機(jī)變量X、Y的相關(guān)矩為零，即則稱X、Y互相正交。對(duì)于互相正交的隨機(jī)變量，若其中一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為0，則二者一定不相關(guān)?！?.5隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)有一確定的實(shí)函數(shù)y=g(x)及隨機(jī)變量X，定義一個(gè)新的隨機(jī)變量Y=g(X)，稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)。1一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布首先考慮g(x)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的情況，g(x)的反函數(shù)是唯一的，其反函數(shù)為若反函數(shù)f(y)的導(dǎo)數(shù)也存在，則可利用X的概率密度求出Y的概率密度。隨機(jī)變量的函數(shù)從圖可知，如隨機(jī)變量X的取值落在區(qū)間（x,x+dx）內(nèi)，那么Y的取值必定落在區(qū)間（y,y+dy）內(nèi)，即遵循等概率原理，有即由于概率密度非負(fù)，有通常J稱為雅可比隨機(jī)變量的函數(shù)例1.1設(shè)X的密度函數(shù)pX(x)=e-x(x>0)，求Y=bX時(shí)Y的密度函數(shù)。

解：因?yàn)閄，Y是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)關(guān)系，其反函數(shù)為代入公式（1.5.1)例：若求Y=aX+b時(shí)Y的密度函數(shù)(其中a≠0)。

解：即Y服從正態(tài)分布：解法二例：若求Y=aX+b時(shí)Y的密度函數(shù)。

解:因?yàn)楦咚闺S機(jī)變量的線性變換仍是高斯隨機(jī)變量,有:隨機(jī)變量的函數(shù)如果X和Y之間不是單調(diào)關(guān)系，即Y的取值可能對(duì)應(yīng)X的兩個(gè)或更多的值x1,x2,…,xn。假定一個(gè)y值有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，設(shè)y=g(x)的反函數(shù)為f1(y),f2(y)，根據(jù)等概率原理有：于是：隨機(jī)變量的函數(shù)一般地，如果y=g(x)有n個(gè)反函數(shù)h1(y),h2(y),…,hn(y)，則例1.5求PY(y)，其中Y=X2．給定解：2、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量(X1,X2)的聯(lián)合概率密度p(x1,x2)，另有二維隨機(jī)變量(Y1,Y2)，且考慮g1(x)，g2(x)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的情況,其反函數(shù)存在且唯一，其反函數(shù)為多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布同樣根據(jù)等概率原理得：式中│J│是變換的雅可比(Jacobian)式的絕對(duì)值。

同理，對(duì)于多維隨機(jī)變量函數(shù)其反函數(shù)若為單值連續(xù)函數(shù)

則：其中多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1.4：設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，已知它們的聯(lián)合概率密度為p(x1,x2)，求它們和(Y=X1+X2)、差、積、商的概率密度。解：設(shè)可得其反變換為

雅各比式為：例1.4Y1

和Y2的聯(lián)合密度函數(shù)為

通過求邊緣密度的方法求Y2的密度函數(shù)，即

最后用Y代替Y2，X1代替Y1例1.4這就是兩個(gè)隨機(jī)變量之和的概率密度。進(jìn)一步，如兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，有兩相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的概率密度等于兩隨機(jī)變量的概率密度的卷積。類似的方法可求出兩個(gè)隨機(jī)變量之差、積、商的概率密度。3、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征設(shè)隨機(jī)變量X和Y的函數(shù)關(guān)系為：Y=g(X)即計(jì)算Y的數(shù)學(xué)期望、方差不需要pY(y)，只要知道px(x)即可。例的數(shù)學(xué)期望。

函數(shù)的期望解：由于X服從均勻分布，概率密度為隨機(jī)變量X在區(qū)間(a,b)上均勻分布，求例例§1.6隨機(jī)變量的特征函數(shù)隨機(jī)變量X的特征函數(shù)就是由X組成的一個(gè)新的隨機(jī)變量ejuX的數(shù)學(xué)期望，即用傅立葉反變換公式可以由特征函數(shù)求出密度函數(shù)，即隨機(jī)變量的特征函數(shù)密度函數(shù)與特征函數(shù)是一對(duì)傅立葉變換:或例1：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為（0，1）分布（兩點(diǎn)分布，伯努利分布），即求X的特征函數(shù)。解：特征函數(shù)例1.6求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的特征函數(shù)

解：X的概率密度為：特征函數(shù)對(duì)二維隨機(jī)變量，可用類似的方法定義特征函數(shù)反變換公式是

特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：若Y=aX+b，a和b為常數(shù)，Y的特征函數(shù)為特征函數(shù)的性質(zhì)解：設(shè)X為N（0，1）分布的隨機(jī)變量，則Y=σX+m為N(m,σ2)分布的隨機(jī)變量例：求N(m,σ2)的特征函數(shù).特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)之積，即若則證明：

由于諸Xk兩兩統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，有性質(zhì)2的應(yīng)用求解獨(dú)立隨機(jī)變量之和的密度函數(shù)。設(shè)X1,X2相互獨(dú)立，則Y=X1+X2的概率密度為：可利用性質(zhì)2先求再作反變換求特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3：特征函數(shù)與矩函數(shù)的關(guān)系(矩生成特性):（1）隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩，可由其特征函數(shù)的n次導(dǎo)數(shù)求得。

例1.7求N(0，σ2)分布的隨機(jī)變量的均值與方差

解：

·方差例1.7求N(0，σ2)分布的隨機(jī)變量的均值與方差繼續(xù)可用此法求解X的n階矩為：

（2）隨機(jī)變量的特征函數(shù)可由它的各階矩唯一地確定。

小結(jié)1、隨機(jī)變量的概念和概率分布小結(jié)2.隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值方差n階原點(diǎn)矩n階中心矩X和Y的n+k階聯(lián)合原點(diǎn)矩X和Y的n+k階聯(lián)合中心矩小結(jié)3、隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立互相正交小結(jié)4、隨機(jī)變量的函數(shù)一維隨機(jī)變量單調(diào)函數(shù)Y=g(X)的分布多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布其中小結(jié)5、隨機(jī)變量的特征函數(shù)及其性質(zhì)

兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各個(gè)隨機(jī)變量的特征函數(shù)之積。

隨機(jī)變量X的n階原點(diǎn)矩，可由其特征函數(shù)的n次導(dǎo)數(shù)求得。

本章重點(diǎn)及要求

熟練掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義和運(yùn)算性質(zhì);

對(duì)隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交的差別與聯(lián)系有明確認(rèn)識(shí);

隨機(jī)變量函數(shù)的分布關(guān)鍵是求相應(yīng)的雅可比因子;

靈活運(yùn)用隨機(jī)變量特征函數(shù)及其性質(zhì).習(xí)題4，7，8，10，11，13設(shè)隨機(jī)變量X的均值為3,方差為2.定義新隨機(jī)變量Y=-6X+22,試問隨機(jī)變量X與Y是否正交?是否不相關(guān)?補(bǔ)充題復(fù)習(xí)（提問）1.概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì);2.離散隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)有什么特點(diǎn)?3什么是邊緣概率密度函數(shù)?4.均值,方差,矩的概念,物理意義及性質(zhì);5.隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交的差別與聯(lián)系?復(fù)習(xí)（提問）6.如何求解隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度?7.兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率密度有什么特點(diǎn)?8.特征函數(shù)和密度函數(shù)有什么關(guān)系?9.特征函數(shù)有哪些性質(zhì)?它與矩有什么關(guān)系?10.如何描述一個(gè)隨機(jī)變量?§1-2授課計(jì)劃重點(diǎn)及要求：1.掌握隨機(jī)變量的概念和概率分布;2.熟練掌握隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義和運(yùn)算性質(zhì);3.對(duì)隨機(jī)變量間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、不相關(guān)、正交的差別與聯(lián)系有明確認(rèn)識(shí)