專題16一線三等角相似模型內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析→典例分析→模型演練∠ACB+∠2+∠DCE=180°∠A+∠1+∠A△ABC△CDE△ABC△CDE圖16-2∠1=∠2=∠3△ABC△CDE圖16-3ABCD【例1】ABCDADCDEFEADEABACDABEDEFEBF30°BE√3EFDFxAE√3xABCFDEFAEB+DEFABEAEB+ABEABEDEFABEADDEFABEDEFBEFEBF30°DFxAE√3xEADAEDE√3xAB3xA【例2】ABCDAB=12AE=0.25ABPBCBCPPOEP4B=C=90°AB=BC=12BPECOPBP=x,CP=BC-BP=12-x,ABCDB=C=90°AB=BC=12BEP+EPB=90°AE=0.25ABAE=3BE=AB-AE=9PQEPBEP=QPC444ABCD【例3】ABCDOAEO2DEABP1AEDEAED=90°DEC+AEB=90°CDE+DEC=90°BC90°EBCAEDEEOOEOABGBCOAEB=CDEB=CASADCEPBEDE=PEAD=APAEB=60°OEFAO=2OGAEB=CDEB=CECDABE2DEAB∴AE垂直平分DP,(3)解：如圖，連接OF,POHADH∴△OEF是等邊三角形，1.如圖，△ABC中，BC=6,BC邊上的高為3,點(diǎn)D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，且EF//BC.設(shè)點(diǎn)E到BC的距離為x,△DEF的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是()A.【分析】過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H,所以根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出EF,進(jìn)而求【解析】解：過點(diǎn)A向BC作AH⊥BC于點(diǎn)H,則2.如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1,0),將線段AB平移得到線段DC,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是()A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)【分析】先過點(diǎn)C做出x軸垂線段CE,根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計(jì)算出對應(yīng)D點(diǎn)的坐標(biāo).如圖過點(diǎn)C作x軸垂線，垂足為點(diǎn)E,則BE=2AO=6,EC=20B=2∵點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，∴點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3)∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(6,5),選項(xiàng)D符合題意，3.如圖，已知矩形AOBC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()【答案】A【分析】作BD⊥x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作FE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作FG⊥y軸于點(diǎn)G,先通過角度等量代換證明AEAO-ADOB,求出·再證明△DBO=△FAC,求出FC,AF,則CG=OE-CF,EF=AE+FA,由此可解.【解析】解：如圖，作BD⊥x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作FE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作FG⊥y軸于點(diǎn)G,∵四邊形AOBC是矩形，∴△EAO~△DOB,∵四邊形AOBC是矩形，又∵△EAO~△DOB,EF=AE+FA=1+3=4,PE交CD于點(diǎn)E.若AB=6,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則DE=()【答案】B可求出CE的值，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解.,即5.如圖所示，矩形ABCD中，AD=a,AB=b,若要使BC邊上至少存在一點(diǎn)P,使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似，則a,b間的關(guān)系一定滿足().條件的P點(diǎn)，因此方程的△≥0,由此可求出a、b的大小關(guān)系.【解析】解：若設(shè)PC=x,則BP=a-x,6.如圖，矩形ABCD,E在CD上，連接BE,將四邊形ABED沿BE翻折得到四邊形A'BED',若A'D'恰好經(jīng)過點(diǎn)C,AB=3,AD=5,則線段BE的長為()00【答案】A【分析】設(shè)D'E=DE=x,則CE=3-x,CD′=y,則CA'=5-y,根據(jù)已知條件，證明,即可得出解關(guān)于x、y的方程組即可得出x、y的值，最后根據(jù)勾股定理求出BE即可.【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，根據(jù)折疊可知，∠A'=∠A=90°,∠D'=∠D=90°,D'E=DE,A'B=AB=3,A'D'=AD=5設(shè)D'E=DE=x,則CE=3-x,CD'=y,則CA'=5-y,,故A正確.7.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且始終保持【答案】4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=8,∠B=∠C=90°,進(jìn)而證明∠BAM=∠NMC,得△BAM∽△CMN,即可求得CM的值.【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，解得MC=4故答案為：4.8.如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是邊BC上一動點(diǎn)(與B,C不重合),連接AE.G是BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交∠DCG的平分線于點(diǎn)F,則△CEF面積的最大【答案】8【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的定義證明出FH=CH,設(shè)CE=x,則BE=8-x,然后求出FH=8-x,再根據(jù)三角形的面積公式求出△ECF的面積，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.【解析】解：作FH⊥BC于H,∵四邊形ABCD是正方形，設(shè)CE=x,則BE=8-x,比故答案為：8.9.如圖，正方形ABCD中，AB=12,AE=3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(不與B,C重合),過【答案】4代入解析式，得到y(tǒng)與x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求最值.·:,化簡得。在BC邊上，G為AD邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)G作AD的垂線交DF于點(diǎn)H,連接AH交DE于點(diǎn)P,連接AF,若AB=7,BF=3,HA平分∠GHF,則AG的長度為事:·事:·【分析】過點(diǎn)A作AN⊥DF于點(diǎn)N,延長AB,DF交于點(diǎn)M,設(shè)AE=x,AD=y,由翻設(shè)AE=x,AD=y,BE2+BF2=EF2,DC2+CF2=DF2,,,,,,,,故答案為：7AE=9,DE=2,求EF的長.12.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CD=4DF,BE,求證BE=2EF.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法證明出△ABEO△DEF,再利用性質(zhì)求解.【解析】解：設(shè)AB=4k,在正方形ABCD中，ABCD的邊長.連接EF、求正方形【答案】6【解析】解：∵AE⊥EF,∴△BAE~△CEF,即正方形ABCD的邊長為6.再根據(jù)∠DCE=90°,有∠DCA+∠ECB=90°,(點(diǎn)P與A,D不重合),一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C,另一直角邊與射線AB交于點(diǎn)E.(3)是否存在這樣的點(diǎn)P,使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍?若存在，求出BE的長；若不存在，請說明理由.【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°,再由直角三角形的性質(zhì)，得出又因∠CPE=90°,推出∠EPA+∠DPC=90°,∠PCD=∠EPA,從(2)根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,設(shè)AP=x,則DP=10-x,由△CDP∽△PAE解得x的值，從而得結(jié)論.\?APE=60°,(3)解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P,設(shè)AP=x,則PD=10-x,根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2,16.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,點(diǎn)E在邊BC上，連接AE,【解析】(1)解：∵AE⊥DE,(2)解：設(shè)EC=x,則BE=11-x,,得解得x=3或x=8,【分析】(1)利用一線三等角模型證明△ACP∽△BPD,即可解答；△CPD∽△PBD,即可解答.【解析】(1)解：∵AB=9,AC=3,18.如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,6)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B出發(fā)，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒3個單位長