梁豐高中20232024學年第一學期高三年級模擬檢測試卷數(shù)學學科一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C.R D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域和值域，可分別化簡集合，，再利用交集的定義求解即可.【詳解】依題意：，，所以.故選：A.2.使“”成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的意思和不等式的性質(zhì)可得答案.【詳解】只有當同號時才有，故錯，，故B錯，推不出顯然錯誤，，而反之不成立，故D滿足題意，故選：D.3.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形的面積公式，底面圓周長等于扇形弧長，即得解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故選：B4.若為等差數(shù)列，是其前項的和，且為等比數(shù)列，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的性質(zhì)分別求得的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導公式化簡求值，即得答案.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，所以，又因為為等比數(shù)列，，所以，當時，；當時，；所以，故選：D.5.與垂直的單位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出與垂直的一個向量，再求出其單位向量即可.【詳解】設(shè)與垂直的向量，于是，令，得，即，與共線的單位向量為，所以與垂直的單位向量是.故選：D6.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式化簡，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性和的范圍即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，當時，，在上單調(diào)遞增，，又，解得：，的最大值為.故選：B.7.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求其導數(shù)結(jié)合條件得出單調(diào)性，再結(jié)合的奇偶性，得出的函數(shù)值的符號情況，從而得出答案.【詳解】設(shè)，則，∵當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當或時，；當或時，.所以當或時，.故選：B.8.求值：（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用積化和差和和差化積公式，結(jié)合半角公式，誘導公式化簡得到結(jié)果.【詳解】由積化和差公式可得，故，由和差化積公式可得，故所以.故選：A【點睛】和差化積公式：，，，積化和差公式：，，，.二、多項選擇題：本還共4小題，每小題5分，共20分．在每小原給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）A.若復數(shù)，則B.若復數(shù)z滿足，則復平面內(nèi)z對應的點Z在一條直線上C.若是純虛數(shù)，則實數(shù)D.復數(shù)的虛部為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算直接計算可知A；由復數(shù)的模的公式化簡可判斷B；根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程直接求解可知C；由虛部概念可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；對于B：設(shè)，代入，得，整理得，即點Z在直線上，故B正確；對于C：是純虛數(shù)，則，即，故C錯誤；對于D：復數(shù)的虛部為，故D錯誤.故選：AB.10.已知過點A（a，0）作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù)a的值可以是（）A.－2 B.4 C.0 D.6【答案】AD【解析】【分析】設(shè)出切點，寫出切線方程，將點代入，化簡后方程有兩根，即可得到的取值范圍.【詳解】設(shè)切點為，則，所以切線方程為：，切線過點A（a，0），代入得：，即方程有兩個解，則有或．故選：AD.11.將三角函數(shù)經(jīng)如下變換后得到的圖象，①將圖象向右平移個單位；②將圖象向左平移個單位；③將圖象向下平移個單位；④將圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍.以下變換順序正確的是（）A.④①③ B.④③①① C.②②③④ D.③①④【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再逐項分析判斷得解.【詳解】依題意，函數(shù)，對于A，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍，得的圖象，再將所得圖象向右平移個單位，得的圖象，然后將所得圖象向下平移個單位，得的圖象，A錯誤；對于B，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍，得的圖象，再將所得圖象向下平移個單位，得的圖象，將所得圖象向右平移個單位，得的圖象，然后將所得圖象向右平移個單位，得的圖象，B正確；對于C，將函數(shù)圖象向左平移個單位，得的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，得的圖象，將所得圖象向下平移個單位，得的圖象，然后將所得圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍，得的圖象，C正確；對于D，將函數(shù)圖象向下平移個單位，得的圖象，再將所得圖象向右平移個單位，得的圖象，然后將所得圖象上所有點的橫坐標擴大至原來的2倍，得的圖象，D正確.故選：BCD12.如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處平面分別在線段和側(cè)面上運動，且，若分別為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是（）A.面積的最大值為B.存在某個位置，使得C.三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為D.三棱錐體積最大時，點到平面的距離的最小值為.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用三角形面積公式，，當時，最大，且最大值為，故A正確；B選項，取的中點，易證，易判斷B錯誤；C選項，三棱錐體積最大時，平面，，找到球心求出半徑得解；D選項，由，得，所以點在以為球心，1為半徑的球面上，求出點到平面的距離得解.【詳解】對于A，由，，則，所以當時，最大，且最大值為，故A正確；對于B，取的中點，連接，顯然，且，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，且，為的中點，則與不垂直，所以與不垂直，故B錯；對于C，易知三棱錐體積最大時，平面平面，交線為，作，因為平面，則平面，取中點，連接，，，則，由勾股定理可得，又，故點為三棱錐的外接球的球心，所以其外接球的半徑為，表面積為，故C正確；對于D，由選項C可知，，點在以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，易知，，，，，，所以點到平面的距離的最小值為，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題；每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用導數(shù)恒為非負，即可利用最值求解.【詳解】由得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，因此在對任意的恒成立，所以，故答案為：14.的三個頂點分別是，，，則邊上的高長為__________．【答案】5【解析】【詳解】分析：設(shè)，則的坐標，利用，求得，即可得到，即可求解的長度.詳解：設(shè)，則，所以，因為，所以，解得，所以，所以.點睛：(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.15.已知函數(shù).若，則__________.【答案】##【解析】【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再利用已知及和角的余弦公式求解即可.【詳解】依題意，，由，得，又，即，則，所以.故答案為：16.在如圖所示的三角形數(shù)陣中，用（）表示第i行第j個數(shù)（），已知（），且當時，除第i行中的第1個數(shù)和第i個數(shù)外，每行中的其他各數(shù)均等于其“肩膀”上的兩個數(shù)之和.即（）.若，則正整數(shù)m的最小值為____________.【答案】2026【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律得到，利用分組求和及等比數(shù)列求和公式得到，從而得到不等式，求出整數(shù)m的最小值.【詳解】∵，，∴，因為若，則，即，因為，故，所以，，即，所以正整數(shù)m的最小值為2026.故答案為：2026四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項和為.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系化簡得為等差數(shù)列后求解，（2）由裂項相消法求解．【小問1詳解】，可得，可得，即數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，可得，由，可得；【小問2詳解】，即有.18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為,．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)?，角化邊即可得到，再結(jié)合可得，，利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為,結(jié)合余弦定理，得，即，所以．【小問2詳解】由，即，即即，又，所以，，所以.19.在三棱柱中，四邊形是菱形，AB⊥AC，平面平面ABC，平面與平面的交線為l.（1）證明：；（2）已知，，l上是否存在點P，使與平面ABP所成角為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由四邊形為菱形，得到，根據(jù)平面平面ABC，證得，進而得到平面，從而證得；（2）取中點D，連接AD，證得平面，以為原點，以，，方向分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設(shè)，得到，求得平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】證明：因為四邊形為菱形，所以，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又因為，所以平面，又由平面，所以，因為，所以平面，又因為平面，所以.【小問2詳解】解：上不存在點P，使與平面ABP所成角為60°，理由如下：取中點D，連接AD，因為，所以，又，所以為等邊三角形，所以，因，所以，又因為平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面，以為原點，以，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得,則，，，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，假設(shè)l上存在一點P，使與平面ABP所成角為60°，設(shè)，則，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，取，則，可取，又由，所以，即，此方程無解，因此上不存在點P，使與平所成角為.20.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）作在處的切線交的圖象于另一點，若，求的斜率．【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）3【解析】【分析】（1）求定義域，求導，得到時，并求出函數(shù)單調(diào)性，從而求出極值情況；（2）求出在處的切線方程，構(gòu)造，結(jié)合，設(shè)，對照系數(shù)，得到，從而求出，得到，從而由求出，進而得到切線斜率.【小問1詳解】的定義域為R，，令，解得，列表如下：+00+故在處取得極大值，在處取得極小值，故極大值為，極小值為；【小問2詳解】由（1）得，故在處的切線方程為，化簡得，設(shè)，顯然，則設(shè)，即，于，解得，故，因為在處的切線交的圖象于另一點，所以，即因為，所以，解得或，當時，的斜率為，當時，的斜率為，綜上，切線的斜率為3.【點睛】三次函數(shù)是近兩年高考常考考點，需要對三次函數(shù)圖象理解到位，由于三次函數(shù)的導函數(shù)為二次函數(shù)，故常常利用二次函數(shù)的性質(zhì)來研究三次函數(shù)的性質(zhì)比如三次函數(shù)零點問題，極值點情況等.21.已知數(shù)列中，是其前項的和，，.（1）求，的值，并證明是等比數(shù)列；（2）證明：.【答案】（1），，證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題目條件代入即可求出，的值，利用構(gòu)造法即可證明是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）求出，再結(jié)合放縮法即可進行證明.小問1詳解】由，得，所以，，由，得，所以，.證明如下：由，得，所以，所以，所以，所以，因為，所以，，即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，，，，因為，所以，于是，其中，于是，所以即22.已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）當時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，通過討論函數(shù)單調(diào)性決定函數(shù)零點個數(shù)即可；（2）首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性判斷出，從而求解取值范圍即可.【小問1詳解】由得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且無限趨近于0時，，又，故只有1個零點；當時，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以當時，取得最小值，當時，，所以函數(shù)無零點，當時，恒成立，所以函數(shù)無零點，綜上所述，當時，無零點，當時，只有一個零點；【小問2詳解】由已知有，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，則原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，，記，所以，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單