專題1.8空間向量及其運算的坐標(biāo)表示-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2020秋?西昌市期末）空間直角坐標(biāo)系中，點P（﹣1，2，﹣3）關(guān)于平面yOz對稱的點P1的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，﹣2，﹣3） B．（1，2，﹣3） C．（1，﹣2，﹣3） D．（1，2，3）【解題思路】直接利用點關(guān)于面的對稱的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：空間直角坐標(biāo)系中，點P（﹣1，2，﹣3）關(guān)于平面yOz對稱的點P1的坐標(biāo)為B（1，2，﹣3）．故選：B．2．（3分）（2021秋?欽州期末）已知a→=（1，2，1），b→=（2，﹣4，1A．（4，﹣2，0） B．（4，0，3） C．（﹣4，0，3） D．（4，0，﹣3）【解題思路】利用向量坐標(biāo)運算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：2a→+b→=2（1，2，1）+（2，﹣4，1）＝（4故選：B．3．（3分）（2021秋?張家界期末）已知直線l的一個方向向量m→=（2，﹣1，3），且直線l過A（0，y，3）和B（﹣1，2，z）兩點，則y﹣A．0 B．1 C．32 D．【解題思路】根據(jù)AB→=k【解答過程】解：AB→=（﹣1，2﹣y，z﹣∴AB→=k∴﹣1＝2k，2﹣y＝﹣k，z﹣3＝3k．解得k=?12，y∴y﹣z＝0．故選：A．4．（3分）（2022春?成都期中）已知a→=(cosα，?1，sinα)，A．90° B．60° C．30° D．0°【解題思路】根據(jù)題意，求出a→+b→和a→?b【解答過程】解：根據(jù)題意，a→=(cosα，則a→+b→=（cosα+sinα，﹣2，sinα+cosα），a→?b→=（cosα﹣sin則（a→+b→）?（a→?b→）＝（cos2α﹣sin2α）+（sin2故向量a→+b→與a→?b故選：A．5．（3分）（2022?西湖區(qū)校級模擬）已知a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，t，t），則A．63 B．423 C．143 【解題思路】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積定義，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出|b→?【解答過程】解：a→=（1﹣t，2t﹣1，0），b→=（3，則b→?a→=（2+t，1∴(b→?a→)2=（2+t）2+（1﹣t）2+t2＝3t∴t=?13時|b→故選：B．6．（3分）（2021秋?吉林期中）已知M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），若|PQ→|=3|MN→A．（2，5，0） B．（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0） C．（3，4，1） D．（3，4，1）或（﹣3，﹣2，﹣5）【解題思路】設(shè)Q（x，y，z），則PQ→=（x+1，y﹣2，z+3），MN→=（1，1，1），由|PQ【解答過程】解：∵M（1，2，3），N（2，3，4），P（﹣1，2，﹣3），∵|PQ→|=3|MN→|，且PQ→∥MN∴PQ→=（x+1，y﹣2，z+3），MN→=（1，∴(x+1)解得x＝﹣4，y＝﹣1，z＝﹣6或x＝2，y＝5，z＝0，∴Q點的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1，﹣6）或（2，5，0）．故選：B．7．（3分）（2021?寶山區(qū)二模）設(shè)向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中A．向量v→與z軸正方向的夾角為定值（與c，d之值無關(guān)）B．u→?vC．u→與v→的夾角的最大值為D．a(chǎn)d+bc的最大值為1【解題思路】在A中，取z軸的正方向向量t→=（0，0，t），求出n→與t→的夾角即可判斷命題正確；在B中，計算u→?v→=ac+bd【解答過程】解：由向量u→=(a，b，0)，v→=(c，d，1)，其中在A中，設(shè)z軸正方向的方向向量z→=（0，0，向量v→與zcosα=z→?v→∴向量v→與z軸正方向的夾角為定值45°（與c，d之值無關(guān)），故A在B中，u→?v→=ac且僅當(dāng)a＝c，b＝d時取等號，因此u→?v→的最大值為在C中，由B可得：|u→?v→|≤1，∴﹣∴cos＜u∴u→與v→的夾角的最大值為3π4在D中，ad+bc≤a2∴ad+bc的最大值為1．故D正確．故選：B．8．（3分）（2021秋?寧波期末）在空間直角坐標(biāo)系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c?1，d，1)，O為坐標(biāo)原點，滿足a2+bA．OA→?OB→的最小值為﹣6 B．C．|AB|最大值為26 D．|AB|最小值為1【解題思路】設(shè)a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，則OA→?OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac+2bd﹣2a＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，從而OA→?OB→的最小值為﹣6，OA→?OB→的最大值為6；AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，【解答過程】解：在空間直角坐標(biāo)系中，OA→=(2a，2b，0)，OB→=(c?1，d，1)，O為坐標(biāo)原點，滿足a2+b設(shè)a＝cosα，b＝sinα，c＝2sinβ，d＝2cosβ，在A中，OA→?OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，∴當(dāng)α＝0，β=?π2，OA→?在B中，OA→?OB→=2a（c﹣1）+2bd＝2ac＝4sinβcosα+4cosβsinα﹣2cosα＝4sin（α+β）﹣2cosα，∴α＝π，β＝π+π2時，OA→?OB在C中，AB→=（c﹣2a﹣1，d﹣2b，1）＝（2sinβ﹣2cosα﹣1，2cosβ﹣2sinα，∴|AB→|=∴α=0，β=3π2時，|AB→|在C中，|AB→|=10?8sin(α+β)?4sinβ+4cosα=10+4cosα?4[(2cosα+1)sinβ+2sinαcosβ]≥10+4cosα?4=10+4cosα?4令4cosα+5=t則|AB→|=10+4cosα?4當(dāng)cosα=?故|AB→|取最小值1．故D故選：B．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?三明期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（）A．點B1的坐標(biāo)為（4，5，3） B．點C1關(guān)于點B對稱的點為（5，8，﹣3） C．點A關(guān)于直線BD1對稱的點為（0，5，3） D．點C關(guān)于平面ABB1A1對稱的點為（8，5，0）【解題思路】利用空間點的對稱性即可得出．【解答過程】解：由圖形及其已知可得：點B1的坐標(biāo)為（4，5，3），點C1（0，5，3）關(guān)于點B對稱的點為（8，5，﹣3），點A關(guān)于直線BD1對稱的點為C1（0，5，3），點C（0，5，0）關(guān)于平面ABB1A1對稱的點為（8，5，0）．因此ACD正確．故選：ACD．10．（4分）（2022春?安溪縣期末）若a→=(?1，λ，?2)，b→=(2，A．17 B．﹣17 C．﹣1 D．1【解題思路】利用向量夾角公式直接求解．【解答過程】解：∵a→=(?1，λ，?2)，b→∴cos120°=a解得λ＝﹣1或λ＝17．故選：AC．11．（4分）（2021秋?海珠區(qū)期末）已知直線l1、l2的方向向量分別是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），若|AB→|＝6且l1⊥l2A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解題思路】由|AB→|＝6且l1⊥l2，列出方程組，求出x，y的值，由此能求出x+y【解答過程】解：∵直線l1、l2的方向向量分別是AB→=（2，4，x），CD→=（2，y，2），|AB→|＝6且l∴4+16+x2=6∴x=4y=?3或x=∴x+y＝1或x+y＝﹣3．故選：AC．12．（4分）（2021秋?鳳城市校級月考）已知空間四點O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），則下列說法正確的是（）A．OA→?OB→=?2C．點O到直線BC的距離為5 D．O，A，B，C四點共面【解題思路】直接利用空間向量，向量的模，向量垂直的充要條件，共面向量基本定理，向量的夾角的應(yīng)用判定A、B、C、D的結(jié)論．【解答過程】解：空間四點O（0，0，0），A（0，1，2），B（2，0，﹣1），C（3，2，1），則OA→=（0，1，2），OB→=（2，所以|OA→|=5，|OB→對于A：OA→?OB→對于B：cos＜OA→，OB→對于C：由于OB→=（2，0，﹣1），BC→=（1，所以O(shè)B→?故OB→所以點O到直線BC的距離d＝|OB→|=5，故對于D：根據(jù)已知的條件求出：OA→=（0，1，2），OB→=（2，0，﹣1），OC→=（易知：OA→假設(shè)：OA→則存在實數(shù)λ和μ使得OC→所以3=2μ2=λ故：OA→，OB故選：ABC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春?寧德期末）已知A（1，2，3），B（4，5，9），AC→=13AB→，則AC→的坐標(biāo)為（【解題思路】直接根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解即可．【解答過程】解：∵A（1，2，3），B（4，5，9），∴AB→=（3，3，∴AC→=13AB→=故答案為：（1，1，2）．14．（4分）（2022春?南崗區(qū)校級期末）動點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的對角線BD1上，記D1PD1B=λ，當(dāng)∠APC為鈍角時，λ【解題思路】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，利用向量法求出即可．【解答過程】解：由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），∴D1B→=（1，1，﹣1），∴D1P→PA→=PD1→+D1A→=（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣PC→=PD1→+D1C→=（﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，∴PA→?PC→＜0，∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范圍是（13，1故答案為：（13，115．（4分）（2021秋?遼寧期中）已知向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，1，1），點A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．則|2a→+3b→|＝74；在直線AB上存在一點E，使得OE→⊥b→，則點E的坐標(biāo)為【解題思路】利用向量坐標(biāo)運算求則先求出2a→+3b→，由此能求出|2a→+3b→|的值；求出OE→=OA→+AE→=OA→+t【解答過程】解：∵向量a→=（1，﹣3，2），b→=（﹣2，∴2a→+3b→=（2，﹣6，4）+（﹣6，3，3）＝（﹣∴|2a→+3b→∵點A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直線AB上，存在一點E，∴OE→=OA→+AE→=OA→+tAB→=（﹣3，﹣1，4）+t（1，﹣1，﹣∵OE→⊥b∴OE→?b→=6﹣2t﹣1﹣t+4﹣解得t=9∴點E的坐標(biāo)為(?6故答案為：74；(?616．（4分）（2021秋?遵化市期中）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，給出以下結(jié)論：①點A（﹣2，1，3）關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)是（2，﹣1，3）；②點B（4，﹣2，5）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（4，2，﹣5）；③若AB→=(0，?1，2)其中所有正確結(jié)論的序號是①③．【解題思路】利用對稱知識可求對稱點的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式計算即可．【解答過程】解：①點A（﹣2，1，3）關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)是（2，﹣1，3），故①正確；②點B（4，﹣2，5）關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（﹣4，﹣2，5），故②錯誤；③cos＜AB→，CD→＞=AB→故答案為：①③．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021秋?青銅峽市校級月考）已知點A，B關(guān)于點P（1，2，3）的對稱點分別為A′，B′，若A（﹣1，3，﹣3），A'B'→=（3，1【解題思路】由題意可知AB→=B'A'→=?A'B'→，且P【解答過程】解：由題意可知AB→=B'A'→=?A'B'→，且P設(shè)B（x，y，z），則AB所以x+1=?3y?3=?1∴點B的坐標(biāo)為（﹣4，2，﹣8）．18．（6分）（2021秋?遼源期末）已知：a→=（x，4，1），b→=（﹣2，y，﹣1），c→=（3，﹣2，z），a→（1）a→，b→，（2）a→+c【解題思路】（1）由向量的平行和垂直可得關(guān)于x，y，z的關(guān)系式，解之即可得向量坐標(biāo)；（2）由（1）可得向量a→+c【解答過程】解：（1）∵a→∴x?2解得x＝2，y＝﹣4，故a→=（2，4，1），b→=（﹣2，﹣又因為b→⊥c→，所以b→?c→=0，即﹣6+8故c→=（3，﹣2，（2）由（1）可得a→+c→=（5，2，3），b→+設(shè)向量a→+c→與則cosθ=5?12+319．（8分）（2021秋?天河區(qū)校級期中）如圖，BC＝2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)為（32，12，0），點D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝（1）求向量CD→（2）求AD→與BC【解題思路】（1）過D作DE⊥BC于E，則DE＝CD?sin30°=32，OE＝OB﹣BDcos60°=12，由此能求出（2）AD→與BC→的夾角的余弦值cos【解答過程】解：（1）過D作DE⊥BC于E，則DE＝CD?sin30°=3OE＝OB﹣BDcos60°＝1?1∴D的坐標(biāo)為D（0，?12，又∵C（0，1，0），∴CD→=（0，?3（2）依題設(shè)有A點坐標(biāo)為A（32，12，∴AD→=（?32，?1，32則AD→與BCcos＜AD20．（8分）（2021秋?福田區(qū)校級期中）已知a→=（1，1，0），b→=（﹣1，（1）求|2a→?（2）若ka→+b→與2【解題思路】（1）先求出2a→?b→=（3，2，﹣（2）求出ka→+b→=（k﹣1，k，2），2a→?b→=（3，2，﹣2），從而（ka→+b→）?（2a【解答過程】解：（1）a→=（1，1，0