1數(shù)字信號處理多媒體教學課件武漢大學計算機學院《數(shù)字信號處理》教學組2前言《數(shù)字信號處理》是一門技術基礎課，主要介紹數(shù)字信號處理的基本原理和方法。通過本課程的學習掌握計算機應用系統(tǒng)中信號處理的基本原理和數(shù)學描述，以及數(shù)字信號的一些基本處理方法。本課程的知識為進一步學習計算機多媒體技術、計算機控制技術、計算機網(wǎng)絡和通信技術等打下基礎。教學內(nèi)容安排：教材1——8章，第9章自學，第10章簡介。學習方法要點：（1）注意數(shù)學方法與物理意義的緊密結(jié)合。（2）掌握離散問題的分析方法和數(shù)學工具。（3）弄清時域分析與頻域分析的關系。教材：金子一、周利清、門愛東編著《數(shù)字信號處理基礎》北京郵電大學出版社2002、93數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版參考書目：

1．A.V.OppenheimandR.W.Shafer，DigitalSignalProcessing，（中譯本）董士嘉等譯，《數(shù)字信號處理》，科學出版社1980

2．何振亞，《數(shù)字信號處理的理論與應用》，人民郵電出版社，1983

3．W．D．Stanley，DigitalSignalProcessing，（中譯本）?；刈g，《數(shù)字信號處理》，科學出版社，1979

4．顧福年胡光銳，《數(shù)字信號處理》習題解答，科學出版社，1983

(其余參考資料參見教材P215）課程教學環(huán)節(jié)包括：授課、作業(yè)、考核、實驗和考試。4第1章引論本章主要介紹關于數(shù)字信號處理的一些基本概念和術語。1.1前言1.1.1信號處理的作用和意義

所謂信號處理廣義來說，就是人類在與自然界及人類社會接觸時，從接收到的各種信號中獲取信息的過程。（直接或通過其他機器設備，如計算機）

所謂信息廣義來說，就是對外界能感知，并可以作出反應的實體（如人、動物、植物、機器人等）對外界的感覺；對所接收的信號的理解。信號處理初級技術：感受信號；從信號中獲取有用信息。

高級技術：從信號中獲取更多、更深刻的信息，并且用信息去控制系統(tǒng)的工作，如機器人、人工視覺、語言識別等。5（1）信號的定義：信號是信息的載體，以某個物理量的變化形式出現(xiàn)。信號的數(shù)學表示：函數(shù)y=x(t)，y某個物理量，t自變量，如時間。離散信號：取樣信號（在離散的時間點上出現(xiàn)），數(shù)字信號（對取樣信號的值數(shù)字化表示）x(n)n1.1.2信號：x(t)t

（2）信號的分類：模擬信號：連續(xù)時間信號(在連續(xù)的時間范圍內(nèi)出現(xiàn)）6

（3）信號形式的變換：模擬信號取樣信號數(shù)字信號平滑濾波抽樣A/D變換量化D/A變換x(t)tx[n]nx(n)n問題：信號形式的變化，會不會引起信號所表示的信息的變化呢？

從計算機多媒體語音、數(shù)字CD音樂、數(shù)碼相機等等數(shù)字化的信息設備中不難得出結(jié)論?？梢詮臄?shù)字化信號得到原本信息。但是，信息的不變是不是有條件的？這個問題在本課程中要解決。（數(shù)字量16位2進制PCM碼表示，如）10110111101010117（1）信號處理系統(tǒng)的定義：能反映輸入信號x(t)和輸出信號y(t)的因果關系的設備或運算稱為信號處理系統(tǒng)。表示為：y(t)=f[x(t)]或x(t)y(t)，xyTT（2）系統(tǒng)特性：信號處理系統(tǒng)的系統(tǒng)特性用輸入信號x(t)和輸出信號y(t)的變換關系T說明。如果變換關系T不隨信號的變化（主要指幅度和時間）而變化，則該系統(tǒng)的特性是線性時不變的。（3）信號處理系統(tǒng)分類：模擬信號處理系統(tǒng)：輸入信號和輸出信號之間的變換由模擬電路完成；數(shù)字信號處理系統(tǒng)：輸入信號和輸出信號之間的變換（處理運算）由數(shù)字電路（或數(shù)字計算機軟件）完成。1.1.3信號處理系統(tǒng)：81.2數(shù)字信號處理1.2.1數(shù)字信號處理的一般過程

A/D

量化

抽樣

數(shù)字處理

D/A

變換

平滑濾波xa(t)xa(n)x(n)y(n)ya(t)ya(n)說明：（1）在自然界中大量的信號是模擬信號，所以數(shù)字信號處理系統(tǒng)一般輸入為模擬信號xa(t)。（2）模擬信號xa(t)經(jīng)過抽樣處理得到離散信號xa(n)，再經(jīng)A/D量化得數(shù)字信號x(n)，輸入數(shù)字處理單元。（3）經(jīng)數(shù)字處理單元輸入數(shù)字信號x(n)變換成輸出數(shù)字信號y(n)。（4）輸出數(shù)字信號y(n)經(jīng)過D/A變換和平滑濾波得模擬信號ya(t)輸出。（5）因為系統(tǒng)中輸入、輸出信號之間的變換是由數(shù)字處理單元完成，所以該系統(tǒng)是數(shù)字信號處理系統(tǒng)。

91.2.2數(shù)字信號處理的優(yōu)點（1）精度高：模擬系統(tǒng)中高精度模擬元件、電路精度只能達10-２～10-3

數(shù)字系統(tǒng)精度可達10-3～10-5，甚至更高（2）可靠性高：模擬系統(tǒng)信號容易受干擾，產(chǎn)生失真；二進制的數(shù)字信號在傳輸、存儲、處理中不容易丟失信息。（3）靈活性強：模擬系統(tǒng)要改變系統(tǒng)特性一般要改變元件值、或改變電路連接，比較困難。數(shù)字系統(tǒng)中，特別是計算機數(shù)字信號處理系統(tǒng)可以通過修改信號處理軟件參數(shù)，或運行不同的程序模塊就可以進行不同的處理?？梢院苋菀椎貙崿F(xiàn)多路信號的同時處理等要求。

另外，數(shù)字電路容易實現(xiàn)大規(guī)模集成電路；數(shù)字信號容易加密等等優(yōu)點也是數(shù)字信號處理系統(tǒng)獲得廣泛應用的原因。101.2.3數(shù)字信號處理的研究范圍

數(shù)字信號處理系統(tǒng)由于數(shù)字計算機的應用而得到廣泛地使用。數(shù)字信號處理技術已廣泛地應用到數(shù)字通信、電子測量、遙感遙測、生物醫(yī)學工程以及數(shù)字圖象技術、震動分析等等領域，可以說數(shù)字信號處理技術在各個生產(chǎn)、科學、技術領域都有十分廣泛的應用。本課程的研究范圍：（1）數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學描述；（第2章）（2）數(shù)字信號的付氏變換及其快速算法；（第3、4章）（3）數(shù)字濾波器的設計和實現(xiàn)方法。（第5、6、7章）數(shù)字信號處理的兩個基本處理方法：（1）信號形式變化，以便獲取更多信息；（2）濾除信號無用成分，突出有用成分，以便取得有用信息。數(shù)字信號處理研究的核心問題就是如何從數(shù)字化信號中獲取信息。111.3有關的數(shù)學知識1.3.1

付氏變換物理含義：若函數(shù)x(t)表示信號，t——時間。則X(f)表示信號的頻譜，f——頻率?！穷l率。

12若x(t)是以T為周期的函數(shù)，則付氏變換可以用付立葉級數(shù)表示物理含義：若函數(shù)x(t)表示周期信號，t——時間。T——周期。則Cm表示信號的離散頻譜，f——頻率?！穷l率。13x(t)是以T為周期的矩形函數(shù)，則其付立葉級數(shù)表示為：基波（1次諧波）3次諧波5次諧波7次諧波……14對以T為周期的矩形波的正弦諧波疊加逐次逼近：1次諧波1、3次諧波1、3、5次諧波1、3、5、····、19次諧波1、3、5·····、39次諧波1、3、5、······、199次諧波1、3、5、······、1999次諧波151.3.2

特殊函數(shù)sinc(x)xrect(t)Tt1617數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版18數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版第1章結(jié)束19數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版第2章

離散時間信號與離散時間系統(tǒng)數(shù)字信號處理20第2章離散時間信號與離散時間系統(tǒng)2.1連續(xù)信號的采樣與恢復

2.1.1、連續(xù)信號的采樣

1、采樣電路

2、數(shù)學模型p(t)x(t)x[n]xp(t)Ax(t)p(t)x[n]去A/D變換器21數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版222.1.2、采樣信號的頻域表示采樣脈沖是以T為周期，可以用付立葉級數(shù)表示兩邊作付立葉變換，得：代入得：23連續(xù)信號采樣分析圖結(jié)論：連續(xù)時間信號采樣后，其頻譜被周期化。假如采樣頻率大于信號的最高頻率成分的兩倍，則頻譜之間沒有混疊。截取主周期得到原信號頻譜，可以恢復原信號。如果不滿足這一條件，就會發(fā)生混疊，原信號不能恢復。24聲音1：采樣頻率22.05KHz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。離散信號的信息與采樣頻率的關系（示例）聲音1：采樣頻率1.38KHz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。聲音1：采樣頻率689Hz，數(shù)字化16Bit，雙聲道錄音。聲音2：采樣頻率11.025KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率5.51KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率689Hz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。聲音2：采樣頻率2.526KHz，數(shù)字化8Bit，單聲道錄音。252.1.3、采樣定理：

如連續(xù)時間信號（模擬信號）是有限帶寬信號，當采樣頻率fs大于信號的最高頻率成分fmax

的兩倍（fs

>2fmax），則從采樣信號（離散時間信號）可以完全恢復原信號（模擬信號）

。當fs=2fmax

時fs為臨界采樣頻率，也稱為Laiquest采樣頻率。說明：1、對實際信號直接進行采樣一般是不能滿足采樣定理條件的，因為實際信號中往往都包括了很高的頻率成分。所以在對實際模擬信號采樣之前需要進行抗混疊濾波。通過抗混疊濾波器濾除信號中高于臨界采樣頻率1/2的高頻成分，再進行采樣。2、以上從理想采樣脈沖序列得出的采樣定理，對于有一定寬度的實際采樣脈沖仍然是正確的。用實際采樣脈沖得到的采樣信號的頻譜在周期頻移時要多乘一個系數(shù)Cm（C0=1）（見P12圖2.5）。具體數(shù)學證明，見參考資料。3、因為在采樣信號的恢復時，僅僅截取主周期頻譜。所以用實際采樣脈沖得到的采樣信號與理想采樣脈沖序列得出的采樣信號在恢復時是一樣的。262.1.4、采樣信號的恢復：1、濾波器處理：

使用低通濾波器對x(n)進行處理，截取采樣信號的主周期頻譜（具體濾波處理運算第5章再介紹）。濾波器頻域特性為：272、插值公式處理：上述濾波器的輸出x(t)為：通過采樣值x（n）可以計算任意時刻t的模擬信號值。（當然包括非采樣時刻的信號值）。插值恢復公式可以計算出原來信號。A283、電子D/A器件恢復：

濾波器D/Ax(n)

x(t)

x(t)D/A輸出x(n)

電子D/A器件硬件恢復方法具有實時特性，在聲卡、視頻卡、CD播放機等數(shù)字電子設備中廣泛使用。292.2離散時間信號序列2.2.1離散時間信號的序列表示302.2.2序列的運算規(guī)則

:同一時間的值相運算。加減x(n)w(n)y(n)積x(n)w(n)y(n)

標乘x(n)w(n)A延時x(n)w(n)Z-1分支x(n)w2(n)w1(n)312.2.3幾種常用序列1、單位沖擊序列：2、單位階躍序列：3、矩形序列：324、正弦序列：（1）它是正弦信號的采樣序列：定義：為數(shù)字角頻率，單位是弧度。（3）正弦序列的周期性：

（2）序列周期性：若對于任意的n有成立。周期為N。思考題：正弦序列不一定是周期序列。在滿足上述條件時，它才是周期序列。在什么情況下，正弦序列不具有周期性？正弦序列的周期性與哪些參數(shù)有關？335、復指數(shù)序列：序列的沖擊響應表示：說明：復指數(shù)序列是正弦序列的組合。是為了方便數(shù)學演算而引入的一種表示方式。從物理意義上來說，復指數(shù)序列也可以看作是正弦信號的采樣序列。說明：任意離散序列可以表示為單位取樣延時的幅度加權之和。這種序列的表示方式有利于對序列的一些數(shù)學運算。342.3離散系統(tǒng)及其特性2.3.1離散系統(tǒng)（離散信號處理系統(tǒng)）的定義：能反映輸入信號序列x(n)和輸出信號y(n)的因果關系的設備或運算稱為離散系統(tǒng)。記為：如：某離散系統(tǒng)（平均值系統(tǒng)）運算流程圖：x(n)Z-1y(n)1/2352.3.2線性非時變離散系統(tǒng)1、系統(tǒng)的線性特性362、系統(tǒng)的時不變特性：系統(tǒng)的時不變特性（又稱為非移變、非時變）是指系統(tǒng)的特性不隨時間變化

對于實際的離散信號系統(tǒng)，在一定的使用條件下可以看成線性非時變系統(tǒng)（LTI系統(tǒng)）。主要是信號幅度要限制在系統(tǒng)的線性工作區(qū)域，系統(tǒng)工作時間內(nèi)特性不變。372.3.3離散線性卷積1、系統(tǒng)的單位沖擊響應2、LTI系統(tǒng)對任意輸入信號的響應：383、離散序列的線性卷積：4、離散卷積的性質(zhì)：39說明：卷積運算的結(jié)合性可以表示串聯(lián)系統(tǒng)的等效特性。40說明：卷積運算的分配性可以表示并聯(lián)系統(tǒng)的等效特性。41卷積運算的說明：在LTI系統(tǒng)中，單位沖擊響應h(n)唯一地確定了一個系統(tǒng)特性。通過卷積運算可以得到任意輸入信號x(n)的響應y(n)。2.3.4線性卷積的計算（1）直接計算式計算：對于不同的n值逐點計算所有k的乘積、疊加求和。42（2）作圖法計算：按轉(zhuǎn)折平移n相乘疊加輸出n+1h(n)x(n)y(n)x(k)k3210h(k)k11101h(0-k)k11101y(0)k30h(1-k)k11101y(1)n305h(2-k)k11101y(2)n3056h(3-k)k11101y(3)n30566h(4-k)k11101y(4)n305663h(5-k)k11101y(5)n315663h(6-k)k11101y(6)n3156630432.3.5LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性

LTI系統(tǒng)特性可以由單位沖擊響應h(n)來說明，包括它的穩(wěn)定性和因果性。1、LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性：一個離散系統(tǒng)，當輸入信號有界，其輸出信號也有界，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：442、LTI系統(tǒng)的因果性：一個離散系統(tǒng)，當輸出信號變化不會發(fā)生在輸入信號變化之前，則此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)因果性的充要條件是：452.3.6LTI系統(tǒng)的差分方程描述

LTI系統(tǒng)特性可以由單位沖擊響應h(n)來說明，也可以用差分方程來描述。1、差分運算：一個離散時序信號的變化可以用差分運算來描述。一階（后向）差分二階差分K階差分

描述離散時序信號的變化的差分運算可以表示成不同時間序列分量的線性組合。K階差分可以表示成K個時間的序列值的線性組合。所以，離散差分運算可以分解成有限長序列的代數(shù)運算。462、LTI系統(tǒng)的差分方程表示：一個離散LTI系統(tǒng)的工作情況可以用其輸入信號和輸出信號的變化關系（差分方程）來描述。差分方程：把高階差分展開式代入差分方程并整理得：或：說明：（1）差分方程說明在LTI系統(tǒng)中，某一時間的輸出信號值取決于前

M個時間的輸入信號值和前N個時間的輸出信號值的線性組合。（2）系數(shù)和為常數(shù)，取決于系統(tǒng)特性。（3）差分方程中輸出信號的有效時延N稱為此方程的階數(shù)，N階差分方程。（4）一般差分方程為遞歸型（有反饋系統(tǒng)）。如果差分方程系數(shù)滿足，差分方程為非遞歸型（無反饋系統(tǒng)）。473、LTI系統(tǒng)的差分方程的解：一個離散LTI系統(tǒng)的工作情況可以用差分方程來描述。與微分方程類似，要唯一確定一個系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號的關系，還必須有附加約束條件（如系統(tǒng)初始狀態(tài)）。482.4離散信號與離散系統(tǒng)的頻域表示(付氏變換）2.4.1問題的提出492.4.2離散序列的傅氏(Fourier)變換:502.4.3離散序列的傅氏(Fourier)變換的性質(zhì)5152532.4.4離散LTI系統(tǒng)的頻域表示：542.5離散信號的Z變換為了將離散系統(tǒng)的差分方程的解法，轉(zhuǎn)換成代數(shù)解法引入Z變換。2.5.1Z變換的定義及其收斂域55

上例說明序列的Z變換可能在某個區(qū)域內(nèi)收斂，在收斂域中其Z變換可以表示成一個解析函數(shù)。根據(jù)級數(shù)收斂的條件，X(z)收斂的條件是級數(shù)絕對可和?？梢姡粋€解析函數(shù)在不同的收斂域可能表示不同的序列的Z變換。所以，在說明某解析函數(shù)是某個序列的Z變換時，要同時給出收斂域。562、收斂域定義及特性：不同特點的序列和其收斂域的關系：（1）有限長序列：

定義：使序列x(n)的Z變換X(z)收斂的復平面上所有Z的集合，稱為該Z變換的收斂域。記為ROC(RegionofConvergence)。57（2）右邊序列：（3）左邊序列：58

（4）雙邊序列：

結(jié)論：雙邊序列的Z變換收斂域一般是Z平面上的圓環(huán)。單邊序列的情況下，內(nèi)環(huán)可能為原點；外環(huán)可能為無窮遠點。也可能是整個Z平面，也可能沒有收斂域；。59序列Z變換的收斂域ROC∞602.5.2Z變換的性質(zhì)：(相關的證明見教材P31~33）2、時移特性：3、頻移特性：1、線性性：614、卷積特性：5、序列乘積的Z變換：6、初值特性：62其余特性見P37表1-3。7、的導數(shù)：8、帕斯瓦爾定理：632.5.3Z反變換根據(jù)X(z)和ROC求x(n)。1、冪級數(shù)法642、部分分式法6566673、反演公式法：公式證明見P37。反演公式的留數(shù)計算方法：68692.6單變Z變換：2.6.1定義

說明：對于因果序列單變Z變換與雙邊Z變換相同。所以可以用單Z變換來解給定初始條件的LTI因果系統(tǒng)問題。當然，也可以直接使用雙邊Z變換來解。我們可使用單邊Z變換來解給定初始條件的LTI因果系統(tǒng)問題，但如果把單變Z變換靠成雙邊Z變換一種特殊情況，所有的問題都可以直接使用雙邊Z變換。在以后的使用中，如果不做特別說明，則Z變換就是指的雙邊Z變換。70離散信號Z域表示頻域表示S域表示2.7幾種變換之間的關系712.8用Z變換分析LTI系統(tǒng)2.8.1系統(tǒng)函數(shù)的Z域形式2.8.2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程722.8.3系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)特性1、系統(tǒng)穩(wěn)定性：2、系統(tǒng)因果特性：732.8.4系統(tǒng)函數(shù)的另、極點位置對系統(tǒng)特性的影響74單位圓零、極點矢量圖75討論：1、幅頻特性：2、相位特性：767778數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版第3章

離散傅氏變換DFT數(shù)字信號處理79傅氏變換的幾種形式80離散化頻譜討論1、在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計算機上演算。2、第四變換對，稱為周期序列的離散傅氏級數(shù)（DFS）。3、周期序列取其主值區(qū)間（n=0,~,N-1)可以得到有限長序列。有限長序列也可以通過周期延拓得到周期序列。根據(jù)以上的討論，我們首先研究離散周期序列的傅氏變換。周期序列813.1離散傅氏級數(shù)(DFS)和離散傅氏變換（DFT）的導出3.1.1周期序列的離散傅氏級數(shù)(DFS)82定義周期序列的傅氏變換：8384說明（1）有限長序列的DFT為N點有限長離散頻譜。

（2）有限長序列DFT與周期與N點的周期序列的DFS主值序列相同。

（3）如果把有限長序列x(n)通過補另加長為N1>N點，則可以得到N1點離散頻譜。3.1.2離散傅氏變換DFT的定義及用途1、離散傅氏變換DFT的定義852、一般模擬信號的DFT處理過程

離散傅氏變換雖然適合于在計算機上計算實現(xiàn)，但它是針對有限長離散信號（或離散周期信號）定義的。對于一般的連續(xù)非周期信號x(t)，如何使用DFT計算頻譜？解決了這一問題DFT才具有實際意義。連續(xù)信號x(t)連續(xù)頻譜（幅度譜圖）

說明：如果信號不滿足采樣定理可能產(chǎn)生混疊誤差。在采樣前要進行抗混疊濾波，使它成為滿足采樣定理的有限帶寬信號。86采樣信號x[n]頻譜（幅度譜）（1）采樣：

時域離散化，頻域周期化。87截斷信號x(n)·w(n)頻譜折積，產(chǎn)生泄漏（2）截斷：

時間序列x(n)被截斷為有限長；周期頻譜產(chǎn)生折積波紋。（此過程會產(chǎn)生泄漏誤差，可以采取窗函數(shù)修正減小泄漏誤差）88（3）時域周期化：時間序列周期化，周期頻譜離散化。（DFS）（頻域采樣，柵欄效應，頻率分辨率F）離散化頻譜時域周期化89有限長離散化頻譜（4）取主值區(qū)域計算：有限長時間序列（N點），有限長離散頻譜（N點）。計算DFT。有限長離散信號90結(jié)論

對于一般連續(xù)信號通過采樣、截斷、周期化和主值計算的處理，可以使用DFT計算其頻譜。處理過程中，可能產(chǎn)生混疊誤差、泄漏誤差和頻譜采樣柵欄效應。但只要采取適當?shù)姆椒?，可以在滿足一定的精度要求之下，用DFT計算結(jié)果作為原連續(xù)信號頻譜。混疊誤差處理：抗混疊濾波；提高采樣頻率。泄漏誤差處理：截斷窗函數(shù)的修正。頻譜采樣柵欄效應：使頻譜的頻率分辨率滿足分析要求（頻率分辨率F=1/NT），截斷數(shù)據(jù)長度N的選定，即連續(xù)信號分析時間為tp=NT。913.2DFT的性質(zhì)1、對稱性：定義：旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)：92（1）、當x(n)為實序列：93當x(n)為偶對稱實序列x(n)=x(N-n)：（2）、當x(n)為復數(shù)序列：（3）、反變換第二形式：942、線性特性3、平移特性4、調(diào)制特性955、序列加長后的頻譜結(jié)論：頻譜不變，但分辨率提高r倍。（頻譜rN點）如果序列作周期性延長r倍，頻譜會如何變化？（課后練習）96數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版3.3序列Z變換和DFT的關系3.3.1Z變換在單位圓上的取樣：

結(jié)論：有限長序列x(n)n=0~N-1的DFTX(k)等于序列的Z變換X(z)在單位圓上的等距離取樣值。(相鄰點相位角間隔為）12N-1N-2Z平面在這些點上的X(z)就是X(k)r=1973.3.2Z變換的內(nèi)插表示：

結(jié)論：有限長序列x(n)n=0~N-1的Z變換X(z)在任意z點的值可以由其DFTX(k)通過以上插值公式求得。12N-1N-2Z平面知道這些點上的X(k)就可以求出任意點的X(z)r=1983.4線性卷積的DFT計算定義周期序列的卷積：(稱為圓周卷積)3.4.1圓周卷積：

周期序列的圓周表示：當序列x(n)為周期序列時，可以將序列元素按反時針方向順序排列在N等分的圓周上。序列時移m，是將序列在圓周上順時針旋轉(zhuǎn)m個位置。1、圓周卷積定義：n=0992、圓周卷積與DFT根據(jù)DFS定義可以證明：在主周期可以用DFT計算DFS。1003.4.2循環(huán)卷積1、定義：1012、循環(huán)卷積的性質(zhì)：102數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版1033、循環(huán)卷積的矩陣計算方法：

循環(huán)卷積的計算方法除了前面介紹的同心圓周圖型法外，還可以用解析式的矩陣計算方法。1043.4.2線性卷積與循環(huán)卷積3.4.3DFT與線性卷積：105數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版1063.5線性卷積的分段計算方法：根據(jù)長序列分段計算卷積后的各段結(jié)果組合方法分段卷積可以有兩種方法：重疊相加法和重疊保留法1073.5.1重疊相加法：108重疊相加法計算步驟：109

這里采用DFT方法計算各段線性卷積可以減少計算量。這個問題將在下一章中具體討論。1101113.5.2重疊保留法：112重疊保留法計算步驟：1131141153.6相關運算（滯后乘積）：116快速傅立葉變換FFT是DFT計算的高效、快速算法。1、問題的提出：直接計算DFT的計算量：所以直接計算的計算量為N2數(shù)量級，需要改進算法提高計算效率。1965年庫利——圖基發(fā)表DFT的快速算法FFT。使計算量降到(N/2)log2N。N24816326412825651210242048N24166425610244096163846553626211410485764194304N/2log2N1412328019244810242304512011264計算量比較表1172、FFT算法的引入：（1）把長序列分解成短序列計算，然后再組合出結(jié)果。（3）根據(jù)這兩點提高計算效率的方法，提出了多種不同的算法。如庫利——圖基算法（時間抽取基2FFT算法）；桑德——圖基算法（頻率抽取基2FFT算法）；WFTA算法（小N素數(shù)組合算法）；CZT算法（線性調(diào)頻Z變換算法）；ZFFT算法（局部頻譜細化算法）等等。1184.1庫利——圖基算法（時間抽取基2FFT算法）4.1.1基本原理為了便于分解，設序列的長度N為2的整數(shù)次方，N=2K。119120基本蝶形運算2點DFT運算121N=8基2時間抽取，可得出如下計算流程圖：W0W1W2x[0]x[2]x[6]x[1]x[5]x[3]x[7]x[4]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[7]X[6]W0W0W0W0W0W2W2W0W31224.1.2計算量和算法特點（1）以碟形運算為基礎進行組合計算，計算因子WK的指數(shù)K與運算所在的級數(shù)和組內(nèi)位置有關。（2）中間數(shù)據(jù)的存儲，可采用原位存儲法。即每次碟形運算的結(jié)果可以存儲在原數(shù)據(jù)的同一個存儲單元。這樣在高速硬件實現(xiàn)時，可節(jié)省存儲器。（3）輸入序列的混序。因為DFT輸入序列是順序采樣的，所以在計算FFT之前需要進行序列按混序要求排序。排序算法很多，較常用的計算混序號的方法有二進制序號反轉(zhuǎn)算法。如：序號n

和混序號用3位二進制數(shù)表示，它們互為反轉(zhuǎn)。1234.2桑德——圖基算法（頻率抽取基2FFT算法）124基本蝶形運算2點DFT運算125N=8基2頻率抽取，可得出如下計算流程圖：x[0]x[2]x[6]x[1]x[5]x[3]x[7]x[4]X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[7]X[6]W0W2W2W0W0W0W0W0W0W1W2W31264.2.2計算量和算法特點（1）以蝶形運算為基礎進行組合計算，計算因子WK的指數(shù)K與運算所在的級數(shù)和組內(nèi)位置有關。（2）中間數(shù)據(jù)的存儲，可采用原位存儲法。即每次蝶形運算的結(jié)果可以存儲在原數(shù)據(jù)的同一個存儲單元。這樣在高速硬件實現(xiàn)時，可節(jié)省存儲器。（3）輸出序列為混序。因為DFT輸出序列要求是順序的，所以在計算FFT之后需要進行序列按混序要求排序。輸出序列混序與時間抽取方法的輸入序列混序相同。所以排序算法相同。

兩種FFT算法的計算量相同，計算過程也類似。所以，在實際應用中兩種算法可以任意選用。FFT算法大大地減少了DFT的計算量，使計算機數(shù)字信號處理得以廣泛應用。127128（1）軟件實現(xiàn)。用于各種多媒體系統(tǒng)。（2）單片信號處理微機（DSP）實現(xiàn)。如著名的TMS320系列信號處理機。具有固化的FFT程序，計算1024點浮點數(shù)據(jù)只需2mS；128階FIR數(shù)字濾波器可處理10MHz的信號。用于實時多媒體系統(tǒng)，如可視電話，語言識別系統(tǒng)等。4.3.1FFT的實現(xiàn)方法：（3）陣列處理機實現(xiàn)。如信號處理陣列機；并行處理機等。用于大型圖象信號處理，如氣象衛(wèi)星云圖處理等。4.3.2FFT的應用1、信號的頻譜分析：抗混疊濾波器

抽樣A/D

頻譜分析FFT

窗口截斷x(t)x[n]X[k]

主要誤差的處理：混疊誤差（抗混疊濾波，提高采樣頻率）；泄漏誤差（窗口函數(shù)的修正）；柵欄效應（采樣點數(shù)N的選定，延長采樣時間t=NT）。

A/D變換器的精度要求要根據(jù)實際情況，使頻譜X(k)滿足分析要求。4.3FFT的實現(xiàn)方法與應用129

例：某FFT信號分析處理器采樣頻率為5.12KHz。為了便于計算，取信號數(shù)據(jù)點數(shù)N是2的整數(shù)次方。問該處理器信號分析的頻率范圍是多少？若信號分析要求頻譜的分辨率達10Hz，求信號采樣持續(xù)時間至少為多長？信號數(shù)據(jù)點數(shù)應為多少？|H(k)|fs/2-fs/2tp1302、快速卷積FFT計算（快速算法）：一般應用中，有M>>N。這時，可以采用分段計算方法，進一步減少計算量。分段計算，可以用重疊相加法和重疊保留法。1314.4線性調(diào)頻Z變換算法

DFT頻譜是序列的Z變換在單位圓上的等間隔取樣。但在一些應用中，需要計算某一段范圍的較密集取樣點的頻譜；或非等間隔取樣點的頻譜；甚至可能要求頻譜的取樣點不在單位圓上，而在某一條螺旋線上。對于這樣一些頻譜計算要求，DFT計算無法滿足。在這些情況下，采用線性調(diào)頻Z變換算法（ChirpZTrasnationCZT)是很有效的。4.4.1CZT算法的基本原理132CZT計算流程1334.4.2CZT算法的快速算法：1344.4.2CZT算法的快速算法計算步驟：1354.4.3CZT算法的計算量：1364.5實數(shù)序列的FFT高效算法和高效卷積：

FFT計算為復數(shù)運算，所以輸入序列x(n)在運算時可以為復數(shù)數(shù)據(jù)。如果是實序列一般是把虛部置另。如果利用虛部數(shù)據(jù)可以提高計算效率。所以，通過組合后計算一次N點FFT可以得出2個N點實數(shù)序列的DFT頻譜。4.5.1實數(shù)序列的FFT高效算法137

如果希望計算2N點實數(shù)序列的FFT，也可以采用組合方法提高計算效率。138

高效卷積可用于：一次快速卷積可計算兩個信號分別輸入一個LTI系統(tǒng)的兩個輸出；或一個信號分別輸入兩個LTI系統(tǒng)的輸出。用于分段卷積可以一次計算兩個分段。4.5.2實數(shù)序列的FFT高效卷積算法1394.5實數(shù)序列的FFT高效算法和高效卷積：

FFT計算為復數(shù)運算，所以輸入序列x(n)在運算時可以為復數(shù)數(shù)據(jù)。如果是實序列一般是把虛部置另。如果利用虛部數(shù)據(jù)可以提高計算效率。所以，通過組合后計算一次N點FFT可以得出2個N點實數(shù)序列的DFT頻譜。4.5.1實數(shù)序列的FFT高效算法140

如果希望計算2N點實數(shù)序列的FFT，也可以采用組合方法提高計算效率。141

高效卷積可用于：一次快速卷積可計算兩個信號分別輸入一個LTI系統(tǒng)的兩個輸出；或一個信號分別輸入兩個LTI系統(tǒng)的輸出。用于分段卷積可以一次計算兩個分段。4.5.2實數(shù)序列的FFT高效卷積算法142數(shù)字信號處理第五章

數(shù)字濾波器的結(jié)構143第五章數(shù)字濾波器的結(jié)構

濾波的定義：對輸入信號通過一定的處理得輸出信號，這個處理通常是濾除輸入信號的某些頻率成分；保留信號中某些頻率范圍內(nèi)的有用信號成分。所以把這種處理的過程稱為濾波。5.1引言

濾波器的定義：實現(xiàn)濾波處理的運算電路、或設備稱為濾波器。

一般情況下，數(shù)字濾波器是完成濾波處理的一個LTI線性時不變系統(tǒng)。

數(shù)字濾波的定義：對數(shù)字信號序列通過一定的算法進行處理，提取信號中某頻率范圍內(nèi)的信號成分的過程稱為數(shù)字濾波。1445.1.1數(shù)字濾波器的表示：H(z)X(z)Y(z)系統(tǒng)函數(shù)表示差分方程表示為了便于實現(xiàn)處理運算，數(shù)字濾波器的表示通常使用以下形式。1455.1.2數(shù)字濾波器的分類及特性1、按信號通過系統(tǒng)時的特性（主要是幅頻特性）來分類：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類型。|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf146|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω1|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π147|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω12、按系統(tǒng)沖擊響應（或差分方程）分類其他較復雜的特性濾波器可以由基本濾波器組合而成。

可以分成無限沖擊響應IIR和有限沖擊響應FIR濾波器兩類。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實各種基本濾波器頻率特性要求，但它們在計算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。148FIR濾波器（非遞歸型）IIR濾波器（遞歸型）1495.2LTI系統(tǒng)的信號流圖1、方框圖法方框圖法簡明且直觀，其三種基本運算如下圖所示：

z-1單位延時:a乘常數(shù):相加:150例如：已知差分方程如下

y(n)得計算方框圖：b0x(n)

x(n)1512、信號流圖法信號流圖表示系統(tǒng)運算過程的信號流通，對于較復雜的計算過程可以得到比較簡潔的表示。其三種基本運算如下圖所示：基本延時：乘常數(shù)：相加：

說明：對于同一個傳遞函數(shù)可以有不同形式的信號流圖來實現(xiàn)。一般應選擇結(jié)構簡單、系數(shù)變化靈敏度低的實現(xiàn)流圖。算法結(jié)構的選擇對于系統(tǒng)的實現(xiàn)是很重要的。152例如：已知差分方程如下1235467可得信號流圖：a1y(n-1)b0x(n)1535.3IIR濾波器的結(jié)構：沖擊響應有無窮項。是有反饋系統(tǒng)，有N個極點和M個另點。為了保持系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點應在單位圓內(nèi)。系統(tǒng)在無窮遠點收斂（因果性），要求N>=M。系統(tǒng)設計中要確定階數(shù)M、N和系數(shù)bi、ak。為了防止有限字長效應引起系統(tǒng)不穩(wěn)定，一般采用低階系統(tǒng)，或多個低階系統(tǒng)的級連的實現(xiàn)形式。.

特點：154IIR

濾波器的直接實現(xiàn)（I型）計算信號流圖：5.3.1IIR濾波器直接實現(xiàn)：z-1z-1z-1z-1z-1z-1b0b1b2bMa1a2aNx(n)y(n)方框圖：1555.3.2IIR濾波器直接實現(xiàn)II型將系統(tǒng)函數(shù)變形為2級運算：156得IIR濾波器直接實現(xiàn)II型信號流圖：

在直接實現(xiàn)II型信號流圖中一部分時延單元的輸入相同，可以合并簡化。得正準型實現(xiàn)流圖。

157IIR濾波器正準型信號流圖

正準型流圖是對直接II型的簡化。因為M個時延單元具有相同的輸入：x，(n)

，所以可以合并M個基本時延單元，節(jié)省了時延單元。1585.3.3IIR濾波器的級聯(lián)實現(xiàn)：

因為IIR濾波器是遞歸運算，所以對高階系統(tǒng)有誤差積累和容易不穩(wěn)定的缺點。可以采取使用低階系統(tǒng)來級聯(lián)或并聯(lián)的方法實現(xiàn)。1、級聯(lián)實現(xiàn)：先將系統(tǒng)函數(shù)按零、極點進行因式分解

其中，pk為實零點，ck為實極點；qk，qk*表示復共軛零點，dk，dk*表示復共軛極點，M=M1+2M2，N=N1+2N2再將共軛因子展開，構成實系數(shù)二階因子，則得：159

為了方便，分子取正號，分母取負號；這樣，流圖上的系數(shù)均為正。最后，將兩個一階因子組合成二階因子（或?qū)⒁浑A因子看成是二階因子的退化形式），則有：其中：

對于每個二階環(huán)節(jié)可用正準型實現(xiàn)：160

特點：僅影響第k對零點，同樣僅影響第k對極點，子網(wǎng)絡的零、極點也是整個系統(tǒng)的零、極點。便于調(diào)節(jié)濾波器的頻率特性。A1612.并聯(lián)型：將H（Z）展成部分分式形式。其中，均為實數(shù)，與復共軛；當M<N時，不包含項；M=N時，該項為G0。一階環(huán)節(jié)：二階環(huán)節(jié)：傳遞環(huán)節(jié)：162其結(jié)構圖如下：163|H(ejω)|π-πωArg(H(ejω))π-πω1645.4FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構：特點：*無反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)只有一個極點Z=0，為M階極點。ROC：|Z|>0。

*無論差分方程的系數(shù)取任何有效的值，系統(tǒng)都是因果穩(wěn)定的。

*沖擊響應等于差分方程系數(shù)：h(n)=bnn=0,1,·····,M

*設計時選定階數(shù)M和系數(shù)bn使系統(tǒng)特性滿足設計指標。1655.4.1FIR數(shù)字濾波器計算直接實現(xiàn)流程圖：z-1z-1z-1b0b1b2bMx(n)y(n)1、直接實現(xiàn)方框圖：h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)2、直接實現(xiàn)信號流圖（橫截型）：1665.4.2FIR數(shù)字濾波器計算級聯(lián)實現(xiàn)流程圖：系統(tǒng)函數(shù)可以表示成二階因式的乘積：得級聯(lián)實現(xiàn)的信號流圖：特點：便于靈活調(diào)整零點位置。但設計時系數(shù)的計算量增大。1675.4.3FIR數(shù)字濾波器的快速算法實現(xiàn)流程圖：

因為FIR數(shù)字濾波器的沖擊響應h(n)為有限長度，所以可以采用FFT方法（快速算法）計算DFT：當M>>N時，可以采用分段卷積方法提高計算效率，減少計算量。168Arg(H(ejω))π/2-π/2π-πω|H(ejω)|π-πω169數(shù)字信號處理多媒體教學系統(tǒng)版權所有：yuning2003。3第2版第六章

IIR數(shù)字濾波器的理論與設計數(shù)字信號處理1706.1IIR濾波器的設計概述6.1.1.數(shù)字濾波器的設計

數(shù)字濾波器的設計就是按照給定的濾波處理系統(tǒng)的性能要求，設計一個因果、穩(wěn)定的數(shù)字系統(tǒng)去逼近這個性能要求；并且用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個系統(tǒng)。171IIR濾波器的設計方法：（1）以模擬濾波器函數(shù)為基礎的變換法；（2）直接設計法：根據(jù)另、極點對系統(tǒng)特性的影響，調(diào)整另極點位置滿足系統(tǒng)特性。然后由另、極點值求得得H(z)。（3）最優(yōu)化設計法：（計算機輔助設計）在某種最小化誤差準則下，建立差分方程系數(shù)ak、bi

對理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程組得到最佳逼近系統(tǒng)。由于此方法計算量大，需要借助于計算機進行設計。本章主要討論第1種方法。6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設計方法

這些特性經(jīng)常被特定地說明為特征頻率點的性能指標，如截止頻率（3dB損耗頻率點）；最小阻帶衰耗；通帶波動范圍等。1726.1.3利用模擬濾波器來設計IIR數(shù)字濾波器的方法：1736.2理想濾波器的特性及逼近方法6.2.1理想濾波器特性：（1）、理想濾波器的特性：174175結(jié)論：理想濾波器的幅度頻率特性在通帶內(nèi)是矩形特性，阻帶內(nèi)為零；理想濾波器的相位頻率特性在通帶內(nèi)與頻率成線性關系（阻帶內(nèi)可以不作要求）。理想濾波器的沖擊響應為非因果、無窮延伸的。理想濾波器的群延時為常數(shù)（即所有正弦波分量都有相同的相位延時，輸出波形不變）。h(t)t|H(jΩ)|ΩΩ

c-Ω

c理想低通濾波器特性：176

理想濾波器具有非因果無窮的沖擊響應和不連續(xù)的頻率特性，要用穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)來實現(xiàn)這樣的特性是不可能的。工程上是用有限沖擊響應的因果LTI系統(tǒng)或具有連續(xù)頻率特性的LTI系統(tǒng)來逼近理想特性。在滿足一定的誤差要求的情況下用可實現(xiàn)函數(shù)來逼近理想濾波特性。A0.707Aβ*A|H(jΩ)|Ω

cΩ

sΩ

對相位特性的逼近在一般的應用中可以不作要求。（2）理想濾波器特性的逼近方法：實際低通濾波器特性：177（3）逼近函數(shù)的平方幅度響應表示

所以在工程設計中，使用連續(xù)頻率函數(shù)來逼近理想濾波器特性時，通常用平方幅度響應來表示逼近函數(shù)。然后再求出相應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)。（可以通過設計表格來得到H(s)。）

在數(shù)字濾波器的設計中，可以利用成熟的模擬濾波器設計技術，先設計出符合性能指標的模擬濾波器（原型濾波器，用傳遞函數(shù)H(s)表示）。然后將H(s)進行轉(zhuǎn)換得到數(shù)字濾波器。1786.3模擬濾波器設計

一般模擬濾波器的設計是要找到一個比較簡單的連續(xù)函數(shù)來逼近理想濾波器特性（通常是幅度頻率特性），逼近誤差滿足所要求的指標。說明：

*為了方便給出設計公式或設計表格，只討論低通濾波器的設計。其他類型的濾波器可以由原型低通濾波器變換而得到。*為了使設計中的數(shù)據(jù)標準化，對頻率坐標進行歸一化處理，即采用為設計曲線頻率坐標。歸一化的低通濾波器截止頻率為1。這樣設計數(shù)據(jù)與實際頻率無關。*為了達到既滿足設計指標，又使逼近函數(shù)盡量簡單便于實現(xiàn)的目的，通常給出一組帶參數(shù)的設計函數(shù)，設計中可以調(diào)整參數(shù)來滿足設計要求。6.3.1問題的提出：

*逼近函數(shù)的表達式一般采用平方幅度函數(shù)。通過計算式或設計表格可求得系統(tǒng)函數(shù)H(s)。1796.3.2巴特沃斯（Butterworth)濾波器（B型）：|H(jΩ)|Ω

/Ω

c110.707k=1k=2k=51、Butterworth濾波器幅度頻率特性1802、Batterworth低通濾波器的特點：

181

3、Butterworth濾波器的設計：根據(jù)逼近要求通過查特性曲線或計算求取階數(shù)

k，再查表求得H(s)

。1821831846.3.3切比雪夫（Chebyshev）濾波器(C型）：1、切比雪夫函數(shù)特性：1851862、切比雪夫（Chebyshev）濾波器幅度頻率特性：|H(jΩ)|2Ω

/Ω

c111/(1+ε2)k=3ε=0.5k=6ε=0.31873、Chebyshev低通濾波器的特點：k=3

k=4

k=5

k=6

188k=3

k=4

k=5

k=6

189

k=3

k=3

k=6