專(zhuān)題2.6直線(xiàn)的方程（二）-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿(mǎn)分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)a?1x?a+1y+2=0A．1,1 B．1,?1 C．?1,1 D．?1,?1【解題思路】將直線(xiàn)變形為x?ya?x?y+2=0，則x?y=0且?x?y+2=0，即可求出定點(diǎn)【解答過(guò)程】將a?1x?a+1y+2=0變形為：x?ya?x?y+2=0，令x?y=0且?x?y+2=0，解得故選：A.2．（3分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)A2,3且與直線(xiàn)l:2x?4y+7=0平行的直線(xiàn)方程是（

A．x?2y+4=0 B．x?2y?4=0 C．2x?y+1=0 D．x+2y?8=0【解題思路】利用平行直線(xiàn)的特點(diǎn)先設(shè)出待求直線(xiàn)方程，代入所過(guò)點(diǎn)可得答案.【解答過(guò)程】由題意設(shè)所求方程為2x?4y+c=0c≠7因?yàn)橹本€(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3所以2×2?4×3+c=0，即c=8，所以所求直線(xiàn)為x?2y+4=0.故選：A.3．（3分）（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)P(?1,2)且與直線(xiàn)x?2y+1=0垂直的直線(xiàn)方程為（

）A．2x+y+4=0 B．2x+y=0C．x+2y?3=0 D．x?2y+5=0【解題思路】求出與直線(xiàn)x?2y+1=0垂直的直線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)方程.【解答過(guò)程】直線(xiàn)x?2y+1=0的斜率kl=12，因?yàn)閘⊥l'，故l'的斜率k故選：B．4．（3分）（2021·福建·高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:x+(m+1)y+m=0，，l2:mx+2y+1=0，則“A．m=?2 B．m=1C．m=?2或m=1 D．m=2【解題思路】直線(xiàn)l1:x+(m+1)y+m=0，l2【解答過(guò)程】解：∵直線(xiàn)l1:x+(m+1)y+m=0，若l1//l2，則m(m+1)?2=0當(dāng)m=1時(shí)，l1與l2重合，故“l(fā)1//l2”故“l(fā)1//l2”的必要不充分條件是“故選：C．5．（3分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)kx?y+4?k=0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線(xiàn)的方程為（

）A．x?2y?7=0 B．x?2y+7=0 C．2x+y?6=0 D．x+2y?6=0【解題思路】由題意可知，k<0，求出直線(xiàn)kx?y+4?k=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A0,4?k，B【解答過(guò)程】直線(xiàn)kx?y+4?k=0可變?yōu)閗x?1?y+4=0，所以過(guò)定點(diǎn)P1,4，又因?yàn)橹本€(xiàn)kx?y+4?k=0令x=0,y=4?k，所以直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為A0,4?k令y=0,x=1?4k，所以直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為所以4?k+1?4當(dāng)且僅當(dāng)?k=?4k即k=?2時(shí)取等，所以此時(shí)直線(xiàn)為：故選：C.6．（3分）（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長(zhǎng)為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長(zhǎng)為8.4cm.已知蠟燭長(zhǎng)度l(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線(xiàn)方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線(xiàn)方程的斜率k及所過(guò)的點(diǎn)，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程，再求蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡所耗時(shí)間即可.【解答過(guò)程】由題意知：蠟燭長(zhǎng)度l(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線(xiàn)方程，過(guò)(6,17.4),(21,8.4)兩點(diǎn)，故其斜率k=8.4?17.4∴直線(xiàn)方程為l?8.4=?3∴當(dāng)蠟燭燃盡時(shí)，有t?21=14，即t=35，故選：B.7．（3分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx?y?m+3=0相交于點(diǎn)P(P與A,B不重合），則△PAB面積的最大值是（A．10 B．5 C．25 D．【解題思路】由題意結(jié)合直線(xiàn)位置關(guān)系的判斷可得兩直線(xiàn)互相垂直，由直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)可得定點(diǎn)A與定點(diǎn)B，進(jìn)而可得PA2【解答過(guò)程】由題意直線(xiàn)x+my=0過(guò)定點(diǎn)A(0,0)，直線(xiàn)mx?y?m+3=0可變?yōu)閙(x?1)?y+3=0，所以該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B(1,3)，所以AB2又1×m+m×?1所以直線(xiàn)x+my=0與直線(xiàn)mx?y?m+3=0互相垂直，所以PA2所以10=PA2+當(dāng)且僅當(dāng)PA=所以，S△PAB=12PA故選：D.8．（3分）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知△ABC的頂點(diǎn)A2,0,B0,1，且AC=BC，則△ABCA．2x+4y?3=0 B．x?2y?3=0C．2x?y?3=0 D．4x?2y?3=0【解題思路】因?yàn)锳C=BC，結(jié)合題意可知△ABC的歐拉線(xiàn)即為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，利用點(diǎn)斜式求方程．【解答過(guò)程】∵AC=BC，結(jié)合題意可知△ABC的歐拉線(xiàn)即為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)AB的中點(diǎn)為M1,12，斜率kAB則△ABC的歐拉線(xiàn)的方程為y?12故選：D．二．多選題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:x+my+6=0，l2A．當(dāng)m=3時(shí)，l1與l2重合 B．若lC．l1過(guò)定點(diǎn)(?6,0) D．l【解題思路】當(dāng)m=3時(shí)，分別求出兩直線(xiàn)方程，可判斷選項(xiàng)A；由兩直線(xiàn)平行的公式計(jì)算得出m，可判斷選項(xiàng)B；將(?6,0)代入直線(xiàn)方程，可判斷選項(xiàng)C；當(dāng)m=2時(shí)，直線(xiàn)l2與x【解答過(guò)程】當(dāng)m=3時(shí)，直線(xiàn)l1:x+3y+6=0，直線(xiàn)當(dāng)l1∥l2時(shí)，有m(m?2)=3且因?yàn)?6+m×0+6=0，所以直線(xiàn)l1過(guò)定點(diǎn)(?6,0)當(dāng)m=2時(shí)，直線(xiàn)l2:y=?4故選：AC．10．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)l:x?(a2?a+1)y?1=0，其中a∈RA．若直線(xiàn)l與直線(xiàn)x?y=0平行，則a=0B．當(dāng)a=1時(shí)，直線(xiàn)l與直線(xiàn)x+y=0垂直C．直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)1,0D．當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【解題思路】根據(jù)直線(xiàn)方程的相關(guān)性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)，若直線(xiàn)l與直線(xiàn)x?y=0平行，則a2對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)a=1時(shí)，直線(xiàn)l為x?y?1＝0，斜率為1，而直線(xiàn)x+y=0斜率為－1，∴兩條直線(xiàn)垂直，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，x?(a2?a+1)y?1=0恒成立時(shí)，令y對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)l為x?y?1=0，令x=0?y=?1，令y=0?x=1，所以橫截距和縱截距互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（4分）（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1:(a+1)x+ay+2=0,lA．l1恒過(guò)點(diǎn)(2,2) B．若l1C．若l1⊥l2，則a=±1 D．當(dāng)【解題思路】對(duì)于選項(xiàng)A，將直線(xiàn)l1的方程化為a(x+y)+x+2=0，再由x+y=0,x+2=0對(duì)于選項(xiàng)B，通過(guò)斜率相等可以求解；對(duì)于選項(xiàng)C，通過(guò)斜率之積等于?1可以求解；對(duì)于選項(xiàng)D，將直線(xiàn)化為斜截式，再根據(jù)斜率和截距建立不等式可以求解.【解答過(guò)程】直線(xiàn)l1:(a+1)x+ay+2=0，則由x+y=0x+2=0，得x=?2,y=2，所以l1恒過(guò)定點(diǎn)由l1//l2可得：由l1⊥l2可得：由l2:ax+(1?a)y?1=0，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a≠1時(shí)，l2:y=aa?1x+所以a的取值范圍為0≤a≤1，所以D正確；故選：BD.12．（4分）（2022·河北·高一階段練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線(xiàn)上，后人稱(chēng)這條直線(xiàn)為歐拉線(xiàn)．已知△ABC的頂點(diǎn)A(?2,0),B(0,2)，其歐拉線(xiàn)方程為x?y+1=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是（

）A．2,0 B．1,0 C．0,?1 D．0,?2【解題思路】根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式進(jìn)行求解判斷即可.【解答過(guò)程】設(shè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y)，所以重心坐標(biāo)為(?2+x因?yàn)闅W拉線(xiàn)方程為x?y+1=0，所以?2+x3A：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為2,0時(shí)，顯然不滿(mǎn)足x?y=1；B：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為1,0時(shí)，顯然滿(mǎn)足x?y=1；C：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?1時(shí)，顯然滿(mǎn)足x?y=1；D：當(dāng)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,?2時(shí)，顯然不滿(mǎn)足x?y=1，故選：BC.三．填空題（共4小題，滿(mǎn)分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)1,0，且與直線(xiàn)3x+2y?4=0平行，則直線(xiàn)l的一般式方程為3x+2y?3=0.【解題思路】先利用平行假設(shè)直線(xiàn)l為3x+2y+C=0C≠?4，再將1,0【解答過(guò)程】解:因?yàn)橹本€(xiàn)l與直線(xiàn)3x+2y?4=0平行，所以假設(shè)直線(xiàn)l為3x+2y+C=0C≠?4因?yàn)橹本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)1,0，所以3+C=0，解得C=?3，所以直線(xiàn)l的一般式方程為3x+2y?3=0，故答案為:3x+2y?3=0.14．（4分）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線(xiàn)mx?y?m+2=0過(guò)定點(diǎn)A，則過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)x+2y?1=0垂直的直線(xiàn)方程為2x?y=0．【解題思路】由已知得直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)(1,2)，由兩直線(xiàn)垂直其方程間的關(guān)系設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為2x?y+c=0，代入可求得答案.【解答過(guò)程】解：因?yàn)閙x?y?m+2=0，所以y?2=m(x?1)，所以直線(xiàn)mx?y?m+2=0恒過(guò)定點(diǎn)(1,2)，即A(1,2)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)x+2y?1=0垂直，所以設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)方程為2x?y+c=0，所以2×1?2+c=0，即c=0，所以所求直線(xiàn)方程為2x?y=0，故答案為：2x?y=0.15．（4分）（2022·河南·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2,0),B(?3,4)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠AOB的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y=2x.【解題思路】設(shè)∠AOB的平分線(xiàn)的傾斜角為θ，根據(jù)斜率公式結(jié)合kOB=tan2θ可得【解答過(guò)程】由題意，可設(shè)∠AOB的平分線(xiàn)的傾斜角為θ，如圖，則tan2θ=kOB則tanθ=2或?12，又0<2θ<故k=tan故∠AOB的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為y=2x，故答案為：y=2x16．（4分）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my+m=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx?y?m+2=0交于點(diǎn)P(x,y)，則|PA|+|PB|的取值范圍是[【解題思路】由題意可得A,B點(diǎn)坐標(biāo)及PA⊥PB，設(shè)∠ABP=θ，利用三角函數(shù)分別表示|PA|=10sinθ【解答過(guò)程】由題意可知，動(dòng)直線(xiàn)x+my+m=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,?1)，動(dòng)直線(xiàn)mx?y?m+2=0，即m(x?1)?y+2=0，經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B(1,2)，∵m≠0時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)x+my+m=0和動(dòng)直線(xiàn)mx?y?m+2=0的斜率之積為?1，兩條直線(xiàn)垂直，m=0時(shí)，兩條直線(xiàn)也垂直，P又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，∴PA⊥PB，∴???設(shè)∠ABP=θ，則|PA|=10sinθ由|PA|?0且|PB|?0，可得θ∈[0,π∴??∵θ∈[0,π∴θ+π∴sin(θ+π∴25sin(θ+故答案為：[10四．解答題（共6小題，滿(mǎn)分44分）17．（6分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）一根鐵棒在40℃時(shí)長(zhǎng)12.506m，在80℃時(shí)長(zhǎng)12.512m．已知長(zhǎng)度l（單位：m）和溫度t（單位：℃）之間的關(guān)系可以用直線(xiàn)方程來(lái)表示，試求出這個(gè)方程，并根據(jù)這個(gè)方程求出這根鐵棒在100℃時(shí)的長(zhǎng)度．【解題思路】用直線(xiàn)的斜截式方程寫(xiě)出l與t的關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求出方程并求解作答.【解答過(guò)程】解：依題意，設(shè)l與t的關(guān)系式為：l=kt+b，k,b是常數(shù)，于是得12.506=40k+b12.512=80k+b，解得k=0.00015則l與t的關(guān)系式為l=0.00015t+12.5，當(dāng)t=100時(shí)，l=12.515，所以所求直線(xiàn)的方程為l=0.00015t+12.5，鐵棒在100℃時(shí)的長(zhǎng)度是12.515m.18．（6分）（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2,1).(1)若直線(xiàn)l與直線(xiàn)x+2y?5=0垂直，求直線(xiàn)l的方程；(2)若直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線(xiàn)l的方程.【解題思路】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直，設(shè)直線(xiàn)l的方程2x?y+c=0，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出參數(shù)c的值即可；（2）分直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)設(shè)直線(xiàn)l的方程為x?y=a，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出參數(shù)a的值即可；【解答過(guò)程】解：（1）解：直線(xiàn)l與直線(xiàn)x+2y?5=0垂直，設(shè)直線(xiàn)l的方程2x?y+c=0，將定點(diǎn)A(2,1)代入可得4?1+c=0，解得故直線(xiàn)l的方程為2x?y?3=0；（2）解：①當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可得直線(xiàn)l的方程為：y=12x②當(dāng)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x?y=a，把點(diǎn)2,1代入可得2?1=a，解得a=1，可得直線(xiàn)l的方程為x?y?1=0，綜上所述：所求的直線(xiàn)l的方程為：x?2y=0或x?y?1=0.19．（8分）（2022·四川省高一階段練習(xí)（理））已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,1)?B(3,?3)?C(7,?1)．(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在△ABC中，求邊BC的高線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．【解題思路】（1）利用平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解；（2）求出直線(xiàn)BC的斜率，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系求出邊BC的高線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率，從而利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出答案.【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)平行四邊形的中心為E，E為AC和BD的中點(diǎn)，其中1+72=4,1?1設(shè)D（x,y），則有3+x2=4,?3+y2=0，解得：x=5,y=3（2）易知直線(xiàn)BC的斜率為kBC=?1+37?3=∴BC的高線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y?1=?2x?1即2x+y?3=0.20．（8分）（2022·河南開(kāi)封·高二階段練習(xí)）已知直線(xiàn)l1的方程為3x?4y+2=0，按照下列要求，求直線(xiàn)l(1)l與l1垂直，且過(guò)點(diǎn)(1,3)(2)l//l【解題思路】（1）由兩線(xiàn)垂直，設(shè)所求直線(xiàn)為4x+3y+m=0，根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上求參數(shù)，即可得直線(xiàn)方程；（2）由兩線(xiàn)平行，設(shè)所求直線(xiàn)為3x?4y+n=0，求截距并利用三角形面積公式求參數(shù)，即可得直線(xiàn)方程.【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)閘1⊥l，所以直線(xiàn)l可設(shè)為將點(diǎn)(1,3)代入方程得m=?13，因此所求的直線(xiàn)方程為4x+3y?13=0.（2）因?yàn)閘1//l，所以直線(xiàn)l可設(shè)為令x=0，得A(0,n4)，令y=0所以三角形ABC的面積S=12OA?OB=因此直線(xiàn)l的方程為3x?4y+12=0或3x?4y?12=0.21．（8分）（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知一條動(dòng)直線(xiàn)3m+1(1)求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線(xiàn)與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為6，求直線(xiàn)的方程.【解題思路】（1）整理直線(xiàn)方程得(3x+y?6)m+3x?y?2=0．由3x+y?6=0且3x?y?2=0可求；（2）由（1）知，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(43,2)，討論直線(xiàn)與（3）設(shè)直線(xiàn)的方程xa+y（1）【解答過(guò)程