第4講圓錐曲線的綜合問題專題六解析幾何母題突破4探索性問題母題思路分析?設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程

↓當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，設(shè)定點(diǎn)Q(t，0)，消去x可得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，＝(my1＋1－t)(my2＋1－t)＋y1y2子題1如果存在點(diǎn)M，由于橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)M一定在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(x0，0)，因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)F(1,0)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得，當(dāng)x0＝2時(shí)，kMA＋kMB＝0，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，存在定點(diǎn)M(2,0)使得kMA＋kMB為定值0.綜上，存在定點(diǎn)M(2,0)使得kMA＋kMB為定值0.子題2設(shè)P(x0，y0)(x0≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴切線y－y0＝x0(x－x0)，即l：y＝x0x－y0，∵Q(x0，t).∵△QMA和△QMB的面積相等，且A，M，B在同一條直線上，則點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，探索性問題的求解策略(1)若給出問題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律.(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語(yǔ)句表述問題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論.規(guī)律方法跟蹤演練(1)求雙曲線C的方程；所以c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，解得a2＝1，(2)設(shè)點(diǎn)B，F(xiàn)分別為雙曲線C的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C上位于第二象限的動(dòng)點(diǎn)，是否存在常數(shù)λ，使得∠AFB＝λ∠ABF？如果存在，請(qǐng)求出λ的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.設(shè)∠AFB＝α，∠ABF＝β，A(x0，y0)，其中x0<－1，y0>0，由(1)知B(1,0)，F(xiàn)(－2,0)，①當(dāng)直線AF的斜率不存在時(shí)，∠AFB＝90°，|FB|＝3，|AF|＝3，所以∠ABF＝45°，此時(shí)α＝2β；②當(dāng)直線AF的斜率存在時(shí)，所以tan2β＝tanα，綜上，存在常數(shù)λ＝2，滿足∠AFB＝2∠ABF.設(shè)直線l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝k(x1－1)＋k(x2－1)＝k(x1＋x2)－2k即23k2＋27＝0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，∴不存在這樣的點(diǎn)D.專題強(qiáng)化練1.(2022·衡水中學(xué)模擬)已知F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，|AB|＝4.(1)求拋物線C的方程；1212當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，|AB|＝2p＝4，解得p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x.12(2)設(shè)直線AB的斜率為1且與拋物線的準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M，拋物線C上存在點(diǎn)P使得直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列，求點(diǎn)P的坐標(biāo).12由題意知直線AB的方程為y＝x－1，因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，所以M(－1，－2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y1＋y2＝4，y1y2＝－4.若點(diǎn)P滿足條件，則2kPM＝kPA＋kPB，12因?yàn)辄c(diǎn)P，A，B均在拋物線上，將y1＋y2＝4，y1y2＝－4代入，解得y0＝±2.將y0＝±2代入拋物線方程，可得x0＝1.則點(diǎn)P(1，±2)為滿足題意的點(diǎn).2.(2022·聊城質(zhì)檢)已知P為圓M：x2＋y2－2x－15＝0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(－1,0)，線段PN的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；12由題意可知圓M：x2＋y2－2x－15＝0的圓心為(1,0)，半徑為4，因?yàn)榫€段PN的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)Q，所以|QP|＝|QN|，所以|QN|＋|QM|＝|QP|＋|QM|＝4，又因?yàn)閨MN|＝2<4，所以Q軌跡是以N，M為焦點(diǎn)的橢圓，1212(2)設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，過點(diǎn)N作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，過點(diǎn)N作直線EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)G，使得|GH|為定值？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.①若兩條直線斜率均存在，設(shè)過點(diǎn)N的弦所在直線l1的方程為x＝ty－1(t≠0)，代入橢圓方程聯(lián)立得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，設(shè)l1與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分