綿陽重點(diǎn)中學(xué)高2021級高三上期12月月考試題數(shù)學(xué)（理科）時間：120分鐘滿分：150分本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A．， B．，C．， D．，3．若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．4．若，滿足約束條件，則的最大值為（

）A．25 B．27 C．29 D．305．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

6．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．47．已知的展開式中常數(shù)項為24，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．8．七輛汽車排成一縱隊，要求甲車、乙車、丙車均不排隊頭或隊尾且各不相鄰，則排法有（

）A．48種 B．72種 C．90種 D．144種9．已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象.若的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A． B． C． D．10．已知圓，是圓上的一條動弦，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．11．雙曲線C：（，）的一條漸近線過點(diǎn)，，是C的左右焦點(diǎn)，且，若雙曲線上一點(diǎn)M滿足，則（

）A．或 B． C． D．12．若實(shí)數(shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為.14．已知是各項均不相同的等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，且，則．15．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若軸，則橢圓C的離心率為．16．人臉識別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù).在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.設(shè)，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.已知點(diǎn)，則的最大值近似等于.（保留3位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：.）三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分17．（本小題滿分12分）已知單調(diào)遞增數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和．18．（本小題滿分12分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．(1)求角B；(2)若，，D為AC邊的中點(diǎn)，求的面積．19．（本小題滿分12分）2023年上海書展于8月16日至22日在上海展覽中心舉辦.展會上隨機(jī)抽取了50名觀眾，調(diào)查他們每個月用在閱讀上的時長，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)求x的值，并估計這50名觀眾每個月閱讀時長的平均數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從這兩組觀眾中隨機(jī)抽取6名觀眾，再若從這6名觀眾中隨機(jī)抽取2人參加抽獎活動，求所抽取的2人恰好都在這組的概率.20．（本小題滿分12分）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn).已知，.(1)求橢圓方程.(2)若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn).若，求直線的方程.21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若曲線C和直線l相交于M，N兩點(diǎn)，Q為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)，求．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)R，且的解集為[-1，1].(1)求m的值；(2)若，且，求證：.參考答案1．B2．C3．A4．C5．D6．A7．D8．D9．C10．A11．B12．B由，，，得，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因為，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，于是，又a，，所以；綜上.故選：.13．14．15．/16．設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動，因為，由圖可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，此時與同向，不妨取，則；因為，所以的最大值為.故答案為：.17．(1)；(2).（1）由已知，時，即有，解得，當(dāng)時，由，得，兩式相減，得，即，則，因為單調(diào)遞增，且，則，，所以，即，故是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，的通項公式．（2）由，得，，所以，①則有，②①－②，得，所以．18．(1)(2)（1）由，有，兩邊同乘得，故，即．因為，所以A為銳角，，所以．又因為，所以．（2）在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．19．(1)，平均數(shù)為；(2).（1）由頻率分布直方圖得：，解得，閱讀時長在區(qū)間內(nèi)的頻率分別為，所以閱讀時長的平均數(shù).（2）由頻率分布直方圖，得數(shù)據(jù)在兩組內(nèi)的頻率比為，則在內(nèi)抽取人，記為，在內(nèi)抽取人，記為，從這名志愿者中隨機(jī)抽取人的不同結(jié)果如下：，共15個，其中抽取的人都在內(nèi)的有，共6個，所以所抽取2人都在內(nèi)的概率．20．(1)(2)（1）由題意，，，解得，，，所以橢圓方程為.設(shè)直線為，，，由題意，以為直徑的圓的方程為，則圓心到直線的距離，即，所以，由，消去，整理得，，解得，又，所以，，，，因為，所以，解得，又，所以，所以直線的方程為：或.1．(1)2(2)（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以存在，，使得，即的零點(diǎn)個數(shù)為2．（2）不等式即為，設(shè)，，則，設(shè)，，當(dāng)時，，可得，則單調(diào)遞增，此時當(dāng)無限趨近時，無限趨近于負(fù)無窮大，不滿足題意；當(dāng)時，由，單調(diào)遞增，當(dāng)無限趨近時，無限趨近于負(fù)數(shù)，當(dāng)無限趨近正無窮大時，無限趨近于正無窮大，故有唯一的零點(diǎn)，即，當(dāng)時，，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，可得，單調(diào)遞增，所以，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以因為恒成立，即恒成立，令，，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即，又由恒成立