專項(xiàng)8帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題1．一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界如圖中虛線所示，ab為半徑為R的半圓，ac、bd與直徑ab共線，a、c間的距離等于半圓的半徑R.一束質(zhì)量為m、電荷量均為－q(q＞0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac以不同速度射入磁場，不計(jì)粒子所受重力及粒子間的相互作用．則在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A．eq\f(4πm,3qB)B．eq\f(2πm,3qB)C．eq\f(πm,3qB)D．eq\f(πm,4qB)2．[2023·上海市控江中學(xué)高二期中]如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，三個(gè)質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子a、b、c，以不同的速率對準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入磁場，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．若帶電粒子只受磁場力的作用，則下列說法正確的是()A．三個(gè)粒子都帶負(fù)電荷B．c粒子運(yùn)動(dòng)速率最小C．c粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短D．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的周期Ta<Tb<Tc3．[2023·浙江永嘉中學(xué)高二]如圖所示，等邊三角形abc區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，d、e分別是ac、bc邊上的某點(diǎn)．三個(gè)相同的帶電粒子分別以相同的速率從a點(diǎn)沿不同方向垂直磁場射入，分別從d點(diǎn)、c點(diǎn)和e點(diǎn)離開磁場，粒子重力不計(jì)．下列說法正確的是()A．粒子帶負(fù)電B．從e點(diǎn)離開的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的路程一定最大C．從d點(diǎn)離開的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定最短D．從c點(diǎn)離開的粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定大于從e點(diǎn)離開的粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間4．如圖所示，直角邊長為a的等腰直角三角形ABC與勻強(qiáng)磁場垂直，比荷為eq\f(q,m)的帶負(fù)電粒子以速度v0從A點(diǎn)沿AB邊射入，要使該粒子從BC邊穿過，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值范圍為()A．B<eq\f(2\r(3)mv0,aq)B．B>eq\f(2\r(3)mv0,aq)C．B>eq\f(（\r(2)＋1）mv0,aq)D．B<eq\f(（\r(2)＋1）mv0,aq)5．[2023·貴州高二學(xué)業(yè)考試]如圖所示，一長為2L、寬為L的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)(包括邊界)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，P為BC邊的中點(diǎn)．A處有一粒子源，可以沿AD方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量為＋q的粒子(不計(jì)重力與粒子間的相互作用).從PC段射出的粒子初速度大小的范圍為()A．eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(5qBL,2m)B．eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(7qBL,2m)C．eq\f(2qBL,m)≤v≤eq\f(9qBL,2m)D．eq\f(2qBL,m)≤v≤eq\f(11qBL,2m)6．如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，∠a＝60°，∠b＝90°，邊長ac＝L.一個(gè)粒子源在a點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子中，速度的最大值是()A．eq\f(qBL,2m)B．eq\f(\r(3)qBL,6m)C．eq\f(\r(3)qBL,4m)D．eq\f(qBL,6m)[答題區(qū)]題號123456答案7.利用磁場實(shí)現(xiàn)離子偏轉(zhuǎn)是科學(xué)儀器中廣泛應(yīng)用的技術(shù)．如圖所示，Oxy平面(紙面)的第一象限內(nèi)有足夠長且寬度均為L、邊界均平行x軸的區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，其中區(qū)域Ⅰ存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1的勻強(qiáng)磁場，區(qū)域Ⅱ存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2的磁場，方向均垂直紙面向里，區(qū)域Ⅱ的下邊界與x軸重合．位于(0，3L)處的離子源能釋放出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度方向與x軸夾角為60°的正離子束，沿紙面射向磁場區(qū)域．不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用，并忽略磁場的邊界效應(yīng)．(1)求離子不進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ的最大速度v1及其在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；(2)若B2＝2B1，求能到達(dá)y＝eq\f(L,2)處的離子的最小速度v2；(3)若B2＝eq\f(B1,L)y，且離子源射出的離子數(shù)按速度大小均勻地分布在eq\f(B1qL,m)～eq\f(6B1qL,m)范圍，求進(jìn)入第四象限的離子數(shù)與總離子數(shù)之比η.8．[2023·河南宜陽縣第一高級中學(xué)高二期中]如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為＋q的粒子沿y軸正方向以速度v0從O點(diǎn)射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從點(diǎn)b處穿過x軸，速度方向與x軸正方向的夾角為30°.粒子的重力不計(jì)，試求：(1)圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積；(2)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；(3)b到O的距離．專項(xiàng)8帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題1．答案：B解析：根據(jù)分析可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡所對應(yīng)的弦與所給圓相切時(shí)對應(yīng)的圓心角θ最小，如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可知θ＝120°，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(120,360)T，其中T＝eq\f(2πm,qB)解得t＝eq\f(2πm,3qB)，ACD錯(cuò)誤，B正確．故選B.2．答案：C解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合左手定則可知，三個(gè)粒子都帶正電荷，A錯(cuò)誤；根據(jù)qvB＝meq\f(v2,r)，可得r＝eq\f(mv,qB)，三個(gè)帶電粒子的質(zhì)量、電荷量相同，在同一個(gè)磁場中，當(dāng)速度越大時(shí)、軌道半徑越大，則由圖知，a粒子的軌跡半徑最小，則a粒子速率最小，c粒子的軌跡半徑最大，c粒子速率最大，B錯(cuò)誤；三個(gè)帶電粒子的質(zhì)量和電荷量都相同，由粒子運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB)，可知三粒子運(yùn)動(dòng)的周期相同，即Ta＝Tb＝Tc，D錯(cuò)誤；粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)T，θ是粒子軌跡對應(yīng)的圓心角，也等于速度的偏轉(zhuǎn)角，由圖可知，a在磁場中運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角最大，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，c在磁場中運(yùn)動(dòng)的偏轉(zhuǎn)角最小，c粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，C正確．3．答案：D解析：由圖可知，從c點(diǎn)離開的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的路程最大，B錯(cuò)誤；由Bqv＝meq\f(v2,r)和T＝eq\f(2πr,v)得T＝eq\f(2πm,Bq)，由于為同種粒子，則運(yùn)動(dòng)周期相等，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θ,2π)T，又θ1＝θ2>θ3，則從e點(diǎn)離開的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，C錯(cuò)誤，D正確．4．答案：D解析：如圖，要想使得粒子從BC邊穿出，則臨界條件為軌跡與BC邊相切，則R＋eq\f(R,cos45°)＝a由qv0B＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),R)解得B＝eq\f(（\r(2)＋1）mv0,aq)，則要使該粒子從BC邊穿過，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B的取值范圍為B<eq\f(（\r(2)＋1）mv0,aq)，故選D.5．答案：A解析：若粒子從P點(diǎn)射出，則半徑R＝L根據(jù)qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(qBL,m)若粒子從C點(diǎn)射出，則r2＝(2L)2＋(r－L)2，解得r＝2.5L根據(jù)qvB＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\f(5qBL,2m)則從PC段射出的粒子初速度大小的范圍為eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(5qBL,2m)故選A.6．答案：A解析：根據(jù)題意可知，當(dāng)粒子沿ab方向射入并且運(yùn)動(dòng)軌跡與bc相切時(shí)，粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，速度最大，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)軌跡半徑為R，根據(jù)幾何知識可知ab＝eq\f(1,2)L，四邊形abdO是正方形，則粒子軌道半徑R＝eq\f(L,2)；由于qvB＝meq\f(v2,R)，得到v＝eq\f(qBL,2m)，選項(xiàng)A正確．7．答案：(1)eq\f(2B1qL,m)eq\f(2πm,3qB1)(2)eq\f(4B1qL,m)(3)60%解析：(1)當(dāng)離子不進(jìn)入磁場Ⅱ時(shí)速度最大，軌跡與邊界相切，則由幾何關(guān)系r1cos60°＝r1－L解得r1＝2L根據(jù)qv1B1＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),r1)解得v1＝eq\f(2B1qL,m)在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB1)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(2,3)T＝eq\f(2πm,3qB1)(2)作出離子恰好能到達(dá)y＝eq\f(L,2)處的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示若B2＝2B1，由r＝eq\f(mv,qB)可知離子在區(qū)域Ⅰ中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為r2＝eq\f(r′1,2)由幾何關(guān)系可等效為B2＝B1時(shí)離子恰好運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)＝0處，如圖2由軌跡圖中幾何關(guān)系可得sin30°＝eq\f(r′1－2L,r′1)解得r′1＝4L離子在區(qū)域Ⅰ磁場中運(yùn)動(dòng)，有qv2B1＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),r′1)解得v2＝eq\f(4qB1L,m)(3)由區(qū)域Ⅱ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2＝eq\f(B1,L)y，可知其可等效為勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為eq\f(B1,2)，若再把區(qū)域Ⅱ中磁場等效為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的勻強(qiáng)磁場，則磁場寬度則等效為eq\f(L,2).畫出恰好不能進(jìn)入第四象限的離子運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3由軌跡圖中幾何關(guān)系得sin30°＝eq\f(r3－1.5L,r3)解得r3＝3L由洛倫茲力提供向心力有qv3B1＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),r3)解得v3＝eq\f(3qB1L,m)即速度大于v3＝eq\f(3qB1L,m)的離子都能夠進(jìn)入第四象限進(jìn)入第四象限的離子數(shù)與總離子數(shù)之比為η＝eq\f(\f(6qB1L,m)－\f(3qB1L,m),\f(6qB1L,m)－\f(qB1L,m))×100%＝60%.8．答案：(1)eq\f(3πm2veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4q2B2)(2)eq\f(2πm,3qB)(3)eq\f(3mv0,qB)解析：(1)作出軌跡如圖所示帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由洛倫茲力提供向心力qv0B＝meq\f(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),R)由分析可知帶電粒子從O處進(jìn)入磁場，轉(zhuǎn)過120°后離開磁場，再做勻速直線運(yùn)動(dòng)從b點(diǎn)射出，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，連接粒子在磁場區(qū)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的弦長為l＝2Rcos30°要使圓形磁場區(qū)域面積最小，其半徑剛好為l的一半