2023-2024學(xué)年南通市高一上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．專家對(duì)某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢(shì)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計(jì)時(shí)間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時(shí)約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B.C. D.2．函數(shù)的部分圖象大致為（）A B.C. D.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.且C.且D.4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.1C.2 D.45．“”是“”成立的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要6．已知，，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解集為A. B.C. D.8．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．已知集合，集合，則（）A.{-1，0，1} B.{1，2}C.{-1，0，1，2} D.{0，1，2}10．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)___________.12．已知函數(shù)則___________.13．已知，，則_________.14．已知（其中且為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.15．潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽(yáng)）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運(yùn)動(dòng).習(xí)慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動(dòng)稱為潮流.早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r(shí)刻，把發(fā)生在早晨的高潮叫潮，發(fā)生在晚上的高潮叫汐，這是潮汐名稱的由來(lái).下表中給出了某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系（夜間零點(diǎn)開始計(jì)時(shí)）.時(shí)刻（t）024681012水深（y）單位：米5.04.84.74.64.44.34.2時(shí)刻（t）141618202224水深（y）單位：米4.34.44.64.74.85.0用函數(shù)模型來(lái)近似地描述這些數(shù)據(jù)，則________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16．已知平面向量.(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.17．已知函數(shù)（且）.（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；（2）若在上最小值大于1，求的取值范圍.18．已知，函數(shù).（1）若有兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，記為集合中元素的最大者與最小者之差.若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.20．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示（1）求的解析式及對(duì)稱中心坐標(biāo)：（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，求的值域

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】根據(jù)列式求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解?故選：B.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，再結(jié)合已知得，進(jìn)而根據(jù)解方程即可得答案，是基礎(chǔ)題.2、C【解析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，利用排除法分析可得答案.詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)，有函數(shù)，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A、B；當(dāng)時(shí)，，則恒有，排除D；故選：C.3、C【解析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組作答.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域?yàn)榍?故選：C4、C【解析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，利用給定點(diǎn)求出解析式即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，設(shè)，則有，解得，于得，所以.故選：C5、B【解析】通過(guò)和同號(hào)可得前者等價(jià)于或，通過(guò)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得后者等價(jià)于或，結(jié)合充分條件，必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】或，或，即“”是“”成立必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及充分條件，必要條件的判定，屬于中檔題.6、B【解析】根據(jù)題意不妨設(shè)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)x，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出y的取值范圍，利用指數(shù)冪的運(yùn)算求出z，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由，不妨設(shè)，則，，，所以，故選：B7、B【解析】根據(jù)為偶函數(shù)，可得；根據(jù)在上遞減得；然后解一元二次不等式可得【詳解】解：為偶函數(shù)，所以，即，，由在上單調(diào)遞減，所以，，可化為，即，解得或故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用以及一元二次不等式的解法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】利用線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及垂直，平行的判斷和性質(zhì)判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則或異面，故A不正確；B.缺少垂直于交線這個(gè)條件，不能推出，故B不正確；C.由垂直關(guān)系可知，或相交，或是異面，故C不正確；D.因?yàn)?，所以平面?nèi)存在直線，若，則，且，所以，故D正確.故選：D9、B【解析】由交集定義求得結(jié)果.【詳解】由交集定義知故選：B10、C【解析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選：C二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】由可得圖像所過(guò)的定點(diǎn).【詳解】當(dāng)時(shí)，，故的圖像過(guò)定點(diǎn).填.【點(diǎn)睛】所謂含參數(shù)的函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)，是指若是與參數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)，則函數(shù)的圖像必過(guò).我們也可以根據(jù)圖像的平移把復(fù)雜函數(shù)的圖像所過(guò)的定點(diǎn)歸結(jié)為常見(jiàn)函數(shù)的圖像所過(guò)的定點(diǎn)（兩個(gè)定點(diǎn)之間有平移關(guān)系）.12、5【解析】先求出，再根據(jù)該值所處范圍代入相應(yīng)的解析式中計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題意可得，則，故答案為：5.13、【解析】利用兩角差的正切公式可計(jì)算出的值.【詳解】由兩角差的正切公式得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】設(shè)，可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)正解，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)，由有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)正解，所以，解得，即，故答案為：.15、##【解析】根據(jù)題意條件，結(jié)合表內(nèi)給的數(shù)據(jù)，通過(guò)一天內(nèi)水深的最大值和最小值，即可列出關(guān)于、之間的關(guān)系，通過(guò)解方程解出、，即可求解出答案.【詳解】由表中某市碼頭某一天水深與時(shí)間的關(guān)系近似為函數(shù)，從表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)的最大值為5.0，最小值為4.2，所以,解得，，故.故答案為：或?qū)懗?三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16、（1）；（2）【解析】（1）由數(shù)量積公式，得夾角余弦值為；（2），所以。試題解析：(1)∵向量，∴.∴向量與的夾角的余弦值為.(2)∵向量與互相垂直，∴.又.∴.點(diǎn)睛：本題考查數(shù)量積的應(yīng)用。數(shù)量積公式，學(xué)生要熟練掌握數(shù)量積公式的應(yīng)用，能夠轉(zhuǎn)化到求夾角公式。兩向量垂直，則數(shù)量積為零。本題為基礎(chǔ)題型，考查公式的直接應(yīng)用。17、（1）.（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)的解析式，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解；（2）由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，分類討論，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，得.（2）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不成立.綜上：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中由指數(shù)函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的不等式，以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.18、（1）函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減，理由見(jiàn)解析（2）【解析】（1）運(yùn)用單調(diào)性的定義去判斷或者根據(jù)函數(shù)本身的性質(zhì)去判斷即可；（2）區(qū)間與二次函數(shù)的對(duì)稱軸比較，從而的情況中分類討論，而后得到的解析式，通過(guò)函數(shù)解析式求出最小值，再解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】方法1：因?yàn)?，由題意得，即，所以時(shí)，即，所以，，對(duì)于任意設(shè)，所以，因?yàn)?，又，所以而，所以，所以，所以函?shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減的.方法2：因?yàn)?，由題意得，即，所以時(shí)，即，所以，，因?yàn)椋院瘮?shù)圖像的對(duì)稱軸方程為，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上是單調(diào)遞減的.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)稱軸為，①當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，②當(dāng)即時(shí)，，③當(dāng)即時(shí)，，④當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，綜上可得：可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，對(duì)，恒成立，只需即可，解得，所以a的取值范圍是.19、（1）（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，利用，結(jié)合條件及可得解；（2）分析可得在上遞增，進(jìn)而得，從而得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，為上的奇函數(shù)，且，；（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以在上遞增，因?yàn)椋杂煽傻?，所以不等式的解集?0、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由點(diǎn)D、E分別為AB、AC中點(diǎn)得知DE∥BC,由此證得DE∥平面PBC;(2)要證CD⊥平面PAB,只需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線與即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，所以DE∥BC又因?yàn)镈E?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因?yàn)镃A＝CB，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，所以CD⊥AB因?yàn)镻A⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PA⊥CD又因?yàn)镻A∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,線面垂直的證明,屬于基礎(chǔ)題.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證