北京市牛山一中2023年高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．設(shè)全集為，集合，，則（）A. B.C. D.2．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.(－∞,4) B.[4,＋∞)C.(－∞,4] D.(－∞,1)∪(1,4]3．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè),用表示不超過(guò)x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù)例如：,,已知函數(shù),則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C.1, D.1,2,4．函數(shù)y＝sin2x，xR的最小正周期是（）A.3π B.πC.2 D.15．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則滿足不等式的整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.6C.8 D.106．已知函數(shù)，下列含有函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B.C. D.7．若sin（），α是第三象限角，則sin（）＝（）A. B.C. D.8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)且時(shí).已知，若對(duì)恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.10．若曲線與直線始終有交點(diǎn)，則的取值范圍是A. B.C. D.11．在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形12．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是（）A. B.C D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，且滿足，則的范圍為_(kāi)_______14．已知指數(shù)函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值是最小值的2倍，則______15．給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②函數(shù)是偶函數(shù)；③若是第一象限角，且，則；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程以上命題是真命題的是_______（填寫序號(hào)）16．已知，則______________三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使和共線18．已知為角終邊上的一點(diǎn)（1）求的值（2）求的值19．已知關(guān)于不等式的解集為.（1）若，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若非空集合，請(qǐng)直接寫出符合條件的整數(shù)的集合.20．（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知，求的值.21．如圖所示，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是中點(diǎn)（）求證：平面（）求直線與平面所成角的正切值22．已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值和的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）令函數(shù)，求在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、B【解析】先求出集合B的補(bǔ)集，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，故選:B.2、D【解析】根據(jù)函數(shù)式的性質(zhì)可得，即可得定義域；【詳解】根據(jù)的解析式，有：解之得：且；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了具體函數(shù)定義域的求法，屬于簡(jiǎn)單題；3、C【解析】由分式函數(shù)值域的求法得：,又,所以,由高斯函數(shù)定義的理解得：函數(shù)的值域?yàn)?得解【詳解】解：因?yàn)?所以,又,所以,由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)的值域?yàn)?故選C【點(diǎn)睛】本題考查了分式函數(shù)值域的求法及對(duì)新定義的理解,屬中檔題4、B【解析】根據(jù)解析式可直接求出最小正周期.【詳解】函數(shù)的最小正周期為.故選：B.5、C【解析】由時(shí)的解析式,可先求得不等式的解集.再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),即可求得整個(gè)定義域內(nèi)滿足不等式的解集,即可確定整數(shù)解的個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí),,解得,所以；當(dāng)時(shí),,解得,所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以不等式的解集為.故整數(shù)的個(gè)數(shù)為8.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】利用零點(diǎn)存性定理即可求解.【詳解】解析：因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，且，，，，.且所以含有函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間為.故選：C7、C【解析】由α是第三象限角，且sin（），可得為第二象限角，即可得，然后結(jié)合，利用兩角和的正弦公式展開(kāi)運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，則，又sin（），所以，即為第二象限角，則，則，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了角的拼湊，重點(diǎn)考查了兩角和的正弦公式，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】由奇偶性分析條件可得在上單調(diào)遞增，所以，進(jìn)而得，結(jié)合角的范圍解不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)且時(shí)，根據(jù)的任意性，即的任意性可判斷在上單調(diào)遞增，所以，若對(duì)恒成立，則，整理得，所以，由，可得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解題關(guān)鍵是利用，結(jié)合變量的任意性，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.9、D【解析】與中間值1和2比較．【詳解】，，，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪與對(duì)數(shù)的大小比較，在比較對(duì)數(shù)和冪的大小時(shí)，能化為同底數(shù)的化為同底數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較，否則可借助中間值比較，如0，1，2等等．10、A【解析】本道題目先理解的意義，實(shí)則為一個(gè)半圓，然后利用圖像，繪制出該直線與該圓有交點(diǎn)的大致位置，計(jì)算出b的范圍，即可.【詳解】要使得這兩條曲線有交點(diǎn)，則使得直線介于1與2之間，已知1與圓相切，2過(guò)點(diǎn)（1，0），則b分別為，故，故選A.【點(diǎn)睛】本道題目考查了圓與直線的位置關(guān)系，做此類題可以結(jié)合圖像，得出b的范圍．11、D【解析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡(jiǎn)已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，由可得：，即，所以，所以，所以或，因?yàn)?，，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選：D.12、A【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷BCD，根據(jù)定義判斷的奇偶性.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)都是增函數(shù)，所以BCD錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，A正確.故選：A二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求出解析式，利用奇偶性和單調(diào)性去掉轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得：，所以，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，且在和上單調(diào)遞減，所以可化為，可得，解得：，所以的范圍為，故答案為：．14、或2【解析】先討論范圍確定的單調(diào)性，再分別進(jìn)行求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，得；②當(dāng)時(shí)，，得，故或2故答案為：或2.15、②④【解析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：①因?yàn)?，故不存在?shí)數(shù)，使得成立，錯(cuò)誤；②函數(shù)，由于是偶函數(shù)，故是偶函數(shù)，正確；③若，均為第一象限角，顯然，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，由于是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程，正確.故正確的命題是：②④故答案為：②④16、100【解析】分析得出得解.【詳解】∴故答案為：100【點(diǎn)睛】由函數(shù)解析式得到是定值是解題關(guān)鍵.三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）轉(zhuǎn)化為證明向量，共線，即可證明三點(diǎn)共線；（2）由共線定理可知，存在實(shí)數(shù)λ，使，利用向量相等，即可求解值.【詳解】（1）證明：，，，，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線（2）和共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使，即，.，是兩個(gè)不共線的非零向量，，.18、（1）；（2）【解析】分析：（1）直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求的值.(2)先求的值，再求的值.詳解：（1）由題得（2）∵在第一象限，∴∴點(diǎn)睛：（1）本題主要考查三角函數(shù)坐標(biāo)定義和同角的三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)點(diǎn)p(x,y)是角終邊上的任意的一點(diǎn)（原點(diǎn)除外）,r代表點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則sin=cos=tan=.19、（1）3；（2）；（3）.【解析】(1)由給定解集可得2，3是方程的二根即可求解作答.(2)根據(jù)給定條件列出關(guān)于a的不等式求解作答.(3)分a大于2或小于2兩類討論作答.【小問(wèn)1詳解】因方程的根為或，而不等式的解集為，則2，3是方程的二根，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，即有，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】因非空，則，當(dāng)時(shí)，，顯然集合不是集合的子集，當(dāng)時(shí)，，而，則，所以整數(shù)的集合是.20、（1）-1（2）-3【解析】（1）根號(hào)下是，開(kāi)方后注意，而，從而所求值為.（2）利用誘導(dǎo)公式原式可以化簡(jiǎn)為，再分子分母同時(shí)除以，就可以得到一個(gè)關(guān)于的分式，代入其值就可以得到所求值為.解析：（1）.（2）.21、（1）見(jiàn)解析（2）.【解析】（1）設(shè)BC1與CB1交于點(diǎn)O，連接OD，利用三角形中位線性質(zhì)，證明OD∥AC1，利用線面平行的判定，可得AC1∥平面CDB1（2）過(guò)D作DE⊥BC，連結(jié)B1E，則DE⊥平面BCC1B1，于是∠DB1E為直線DB1與平面BCC1B1所成的角．利用勾股定理求出DE，B1E，計(jì)算tan∠DB1E【詳解】（1）證明：設(shè)BC1與CB1交于點(diǎn)O，則O為BC1的中點(diǎn)在△ABC1中，連接OD，∵D，O分別為AB，BC1的中點(diǎn)，∴OD為△ABC1的中位線，∴OD∥AC1，又AC1?平面CDB1，OD?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1（2）過(guò)D作DE⊥BC，連結(jié)B1E，則DE⊥平面BCC1B1，∴∠DB1E為直線DB1與平面BCC1B1所成的角∵D是AB的中