第六章圓

第22講與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)梳理過(guò)關(guān)考點(diǎn)1

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如果圓的半徑是r，點(diǎn)到圓心的距離是d(1)點(diǎn)在圓外?①__d>r__；(2)點(diǎn)在圓上?②__d＝r__；(3)點(diǎn)在圓內(nèi)?③__d<r__考點(diǎn)2

外接圓與外心不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，三角形外接圓的圓心叫做①__外心__；外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等提示?三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)處；鈍角三角形的外心在三角形的外部考點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)①__2__②__1__0圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系d<rd＝r③__d>r__公共點(diǎn)的名稱交點(diǎn)切點(diǎn)無(wú)直線名稱割線切線無(wú)考點(diǎn)4切線的性質(zhì)與判定性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的①__半徑__判定定理過(guò)半徑的外端并且②__垂直于__半徑的直線是圓的切線切線長(zhǎng)經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)可以畫(huà)圓的兩條切線，這點(diǎn)與其中一個(gè)切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)；過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)③__相等__，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角考點(diǎn)5內(nèi)切圓與內(nèi)心內(nèi)切圓與三角形各邊都①__相切__的圓叫做三角形的②__內(nèi)切圓__內(nèi)心三角形③__內(nèi)切圓__的圓心叫做三角形的④__內(nèi)心__，三角形的內(nèi)心就是三角形三條⑤__內(nèi)角平分線__的交點(diǎn)拓展?若已知直角三角形的三條邊分別為a、b、c，且c為斜邊，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝(a＋b－c)典型例題運(yùn)用類型1直線與圓的位置關(guān)系【例1】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA＝6，OB＝8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t≤5)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連接CD、QC.(1)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)．【思路分析】(1)由題意知，CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度，若Q與D重合時(shí)，則AD＋OQ＝OA，列出方程即可求出t的值；(2)由于0<t≤5，當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ＝4，此時(shí)t＝4s，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)．技法點(diǎn)撥?解答這類綜合題時(shí)需要用到直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)需要根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形來(lái)分析，并且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．變式運(yùn)用?1.已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O相交，點(diǎn)O到直線l的距離為3，則⊙O上到直線l的距離為的點(diǎn)共有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)D

變式運(yùn)用?2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D在邊BC上，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，交邊BC于另一點(diǎn)E，交邊AC于F，連接AE，EF.(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)若∠ADB＝3∠CEF，請(qǐng)判斷EF與AB有怎樣的位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．解：(1)證明：由題意可知，AD＝AE＝AF，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB＝∠AEC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∠ADB＝∠AEC，∠B＝∠C，AB＝AC，(2)∵∠ADB＝∠AEC，∠ADB＝3∠CEF，∴∠AEF＝2∠CEF.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝2∠CEF，∴∠CEF＝∠C.∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C，∴∠CEF＝∠B，∴EF∥AB.類型2切線的性質(zhì)與判定【例2】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩點(diǎn)，∠BAC＝∠DAC，過(guò)點(diǎn)C作直線EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC.(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若DE＝1，BC＝2，求劣弧的長(zhǎng)【思路分析】(1)連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠OCA，求得∠DAC＝∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF＝∠AEC＝90°，于是得到結(jié)論；(2)連接OD，DC，根據(jù)∠DAC＝∠BAC，得DC＝BC.根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠ECD＝30°，得到∠OCD＝60°，得到∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，于是得到結(jié)論．技法點(diǎn)撥?(1)遇切線，連半徑，得直角(垂直)；(2)證明切線的方法：①待證直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，先把公共點(diǎn)與圓心相連，再證垂直；②待證直線與圓未指明有公共點(diǎn)時(shí)，先過(guò)圓心作待證直線的垂線，再證垂線段之長(zhǎng)等于半徑．變式運(yùn)用?3.如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，AB＝10，∠P＝30°，則AC的長(zhǎng)度是()A變式運(yùn)用?4.已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，⊙O半徑為4，∠B＝30°.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)求DE的長(zhǎng)．解：(1)證明：如圖所示，連接OD.則OD＝OB，∴∠B＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠ODB＝∠C.∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴DE是⊙O的切線.真題全練命題點(diǎn)

切線的性質(zhì)與判定1．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過(guò)圓心O，過(guò)點(diǎn)C的切線與邊AD所在直線垂直于點(diǎn)M，若∠ABC＝55°，則∠ACD等于()A．20°B．35°C．40°D．55°AA∵圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過(guò)圓心O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝125°，∠BAC＝90°－∠ABC＝35°.∵過(guò)點(diǎn)C的切線與邊AD所在直線垂直于點(diǎn)M，∴∠MCA＝∠ABC＝55°，∠AMC＝90°.∵∠ADC＝∠AMC＋∠DCM，∴∠DCM＝∠ADC－∠AMC＝35°，∴∠ACD＝∠MCA－∠DCM＝55°－35°＝20°.2．如圖，半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)C，連接CD交直線OA于點(diǎn)E，若∠B＝30°，則線段AE的長(zhǎng)為_(kāi)_3．如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H，過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作⊙O的切線，切點(diǎn)為F.若∠ACF＝65°，則∠E＝___．50°50°連接BC、OF.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠ACF＝65°，∴∠FCB＝25°，∴∠BOF＝50°，∠FOH＝130°.直徑AB過(guò)弦CD的中點(diǎn)，∴AB⊥CD，即∠BHE＝90°.∵EF為⊙O的切線，∴∠OFE＝90°.∴∠E＝360°－90°－90°－130°＝50°.4．如圖，P為⊙O的直徑BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC與⊙O相切，切點(diǎn)為C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，連接PD.已知PC＝PD＝BC.下列結(jié)論：(1)PD與⊙O相切；(2)四邊形PCBD是菱形；(3)PO＝AB；(4)∠PDB＝120°.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)

A5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不成立的是()A．OC∥AEB．EC＝BCC．∠DAE＝∠ABED．AC⊥OEDD由C為的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得出OC⊥BE，由AB為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到AE⊥BE，即可確定出OC∥AE，選項(xiàng)A正確；由C為利用等弧對(duì)等弦，得到EC＝BC，選項(xiàng)B正確；由AD為⊙O的切線，得到AD⊥OA，進(jìn)而確定出一對(duì)角互余，再由直角三角形ABE中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE＝∠ABE，選項(xiàng)C正確；AC不一定垂直于OE，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．6．如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，則的的長(zhǎng)為()A．πB．2πC．3πD．5πBB如圖所示，連接OB.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠ABO＝90°.∵∠ABC＝120°，∴∠OBC＝30°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝30°，∴∠BOC＝120°，∴得分要領(lǐng)?證明圓的切線的基本方法：一、要證明是圓的切線的直線與圓有公共點(diǎn)，且存在連接公共點(diǎn)的半徑，此時(shí)可直接根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半