《三角函數(shù)及解直角三角形》三角函數(shù)定義：如圖Rt△ABC中，∠C＝90°sinA

AsinAa斜邊 ccosA

AcosAb斜邊 ctanA

A的對(duì)邊的鄰邊

a；tanAb依據(jù)定義，寫(xiě)出∠B的三個(gè)三角函數(shù)值sinB ；cosB ；tanB ；Bc aA b C三角函數(shù)之間關(guān)系同角三角函數(shù)關(guān)系sinAtanA

cosA；sin2

2

A1仿照寫(xiě)出：tanB

2

B1互余角三角函數(shù)關(guān)系〔A＋B＝90〕sinAcosB；cosAsinB；tanA·tanB＝1一個(gè)角的正弦等于它余角的余弦；一個(gè)角的余弦等于它的余角的正弦特別角的三角函數(shù)值30°、45°、60°三角函數(shù)三角函數(shù)30°45°60°sincostan會(huì)設(shè)計(jì)并依據(jù)三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算15°、75°角的三角函數(shù)BC A D依據(jù)表格中數(shù)據(jù)總結(jié)正弦、余弦、正切的增減性0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而 ；cos隨的增大而 ；tan隨的增大而 一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值〔依據(jù)三角函數(shù)關(guān)系〕2例題：sinA＝5cosA、tanA〔1〕形任憑套用定義；ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ與Ａ的乘積，是三角形函數(shù)記號(hào)，是一個(gè)整體“ｓｉｎＡ”表示一個(gè)比值，其他三個(gè)三角函數(shù)記號(hào)也是一樣的；銳角三角函數(shù)值與三角形三邊長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)?！?〕當(dāng)０°≤α≤９０°時(shí)，０≤sincos≤１。解直角三角形的定義及應(yīng)用仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。視線仰角俯角視線仰角俯角水平線視線坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i

hl。坡度一1:m的形式，如i1:5等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么hiltan。90,OA、OB、OC、OD45°〔東北方向〕，南偏東45°〔東南方向，南偏西4°〔西南方向，北偏西4°〔西北方向。解非直角三角形的方法對(duì)于非直角三角形，往往要通過(guò)作關(guān)心線構(gòu)造直角三角形來(lái)解，作關(guān)心線的一般思路是：作垂線構(gòu)成直角三角形；利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊。解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用的步驟審題①分析題意，理解實(shí)際問(wèn)題的意義，看懂題目給出的示意圖或自己畫(huà)出的示意圖，找出要解的直角三角形；②把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)移到直角三角形的各元素上，找出元素和未知元素；③依據(jù)元素和未知元素之間的關(guān)系，選擇適宜的三角函數(shù)關(guān)系式。解題留意準(zhǔn)確度答留意答的完整及注明單位解斜三角形所依據(jù)的定理(在△ABCa b c正弦定理：

sinA

sinB

sinC

＝2R. (R△ABC余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC；b2＝c2＋a2－2cacosB；a2＝c2＋b2－2bccosA.如圖，在△ABC中，證明上面公式中的一個(gè)即可CA BS

1 1 1 absinC bcsinA acsinBABC

2 2 2在下面圖形中證明上面面積公式中的一個(gè)即可CB解直角三角形應(yīng)用常見(jiàn)根本圖形A6363245°3D60°121245°21245°130°D3A2B 30° -3 1

2 145°1 DAA26 3 2322 345°B -31

60°C

1 D B 30°

60°2 C 1 D例題講解1：計(jì)算〔1〕

22 sin45°＋sin60°－2cos45°；〔2〕(1＋2

12)0-｜1-sin30°｜1＋(22

)-1；〔3〕sin60°＋

11tan60

11 2； 〔4〕2-3－(2003＋π)1 252：sinα+cosα4，求sinα·cosα的值33：α為銳角，假設(shè)sinα＜3

2 ,求α的范圍3α為銳角，假設(shè)cosα＜3

2 α的范圍12sin12sincos5：如下圖，AB100km.〔即線段AP在A城市的北偏東3°和B城市的北偏西45°上.森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P50km的這條高速大路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).為什么？〔結(jié)果保存根號(hào)〕6：如圖，AB，DCAB⊥BC，DC⊥BCBD的仰角α60°，從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)Dβ30°，甲建筑物高AB＝36m。求乙建筑物的高DC；求甲、乙兩建筑物之間的距離BC〔結(jié)果保存根號(hào)。7：如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE,F落在AD上.求證：△ABE∽△DFE1假設(shè)sin∠DFE＝

tan∠EBC的值.3F DEC8：：四邊形ABCDA＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.求：ACDCDA B9：：如圖，要測(cè)量山ABB同始終線上的C，D處,分別測(cè)得對(duì)A角的度數(shù)為nm，CD＝a.試寫(xiě)出表示AB6例題10：：△ABC中，∠A＝45，AB＝ ，BC＝2，求AC及∠ACB.(福建省初中數(shù)6學(xué)聯(lián)賽題)111：：二次方程mx2－(m－2)x4(m－1)＝0三角形兩個(gè)銳角的正弦值.求：這個(gè)直角三角形的斜邊與斜邊上的高的比.練習(xí)試題

322 ，sinC＝5，則△ABC的面積是【 】221A．2

B．12 C．14 D．213如下圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長(zhǎng)度3是【 】33A．10m B．10 m C．15m D．5 m332假設(shè)△ABC中，sinA＝cosB＝22

，則以下最精準(zhǔn)的結(jié)論是【 】A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形32121C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是銳角三角形4．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，則sinB的值是【 】3212175714

5

7

14如圖，是一張寬mABCD，一球從點(diǎn)M〔M在長(zhǎng)邊CD上〕動(dòng)身沿MNBCABP點(diǎn).假設(shè)MCn，CMN.P點(diǎn)與B點(diǎn)的距離為 .AA地的北偏東60°方向的C處，200mB30°方向走，恰能到達(dá)目的地C(如圖)，那么，由此可知，B、C兩地相距 m.如圖，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫(huà)射線OB，則cos∠AOB的值等于 ．5如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.假設(shè)AC= ,BC=2,則sin∠ACD的5值為【 】5552555A. B. C.3 5 2

2D. 3如圖，某高速大路建設(shè)中需要確定隧道AB1500mC處的飛機(jī)上，測(cè)量人員測(cè)得正前方A、B60°45°．求隧道AB的長(zhǎng)．〔參考數(shù)據(jù)：3=1.73〕ABAB。ABC一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)CFD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°,∠E＝45°,∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長(zhǎng)．11．ABC中，B45，AC4，A75，則ABC外接圓半徑為 ；ABCABcBCaACb，假設(shè)a、b、c滿足a2

abc2，求C大小。ABC三邊a、b、c與面積SSc2ab)2，求C的余弦值。R為ABC外接圓半徑，求證：面積Sabc4R中sin2

sin2

B5sin2C，求cosC的最小值。c cosC：在△ABC中，bcosB，則此三角形為【 】直角三角形 B.等腰直角三角形