第05講函數(shù)的單調(diào)性一模型思想的運(yùn)用

一、知識(shí)聚焦

1函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)重要的概念型模型,設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镺.若對(duì)于屬于定義域

。內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值X1，々，當(dāng)玉<々時(shí)，都有/(石)</(馬)(或

/(%,)>/(^)),則/(X)在這個(gè)區(qū)何上是增(或減)函數(shù).若函數(shù)/(X)在某個(gè)區(qū)間是增函

數(shù)或減函數(shù)，則/(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做了(X)的單調(diào)區(qū)間.

2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”.定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，變通法或

復(fù)合函數(shù)法是判斷單調(diào)性的重要方法.

3與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題

與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題主要有由函數(shù)單調(diào)性定義判斷或證明某一函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)

的單調(diào)性;通過(guò)圖像或運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證

明不等式、，比較數(shù)或式的大小、探討函數(shù)的最值等.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1已知函數(shù),f(x)=+1一斯,其中。>0.

(1)若2/(1)=/(-1),求a的值；.

(2)證明：當(dāng)且僅當(dāng)a.1時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,+8)上為單調(diào)函數(shù)；.

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,+w)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

解題策略本例是函數(shù)單調(diào)性研究中的第一類(lèi)題型，即函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明以及

已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，必須扣住單調(diào)性定義關(guān)鍵之處，即對(duì)差式

/(%)—/(%)符號(hào)的判斷.要獲得明確的判斷，必須對(duì)/(不)—/(々)進(jìn)行一系到的恒珀等

變形.對(duì)于積石一忘石這類(lèi)代數(shù)式，“分子有理化”是明智之舉，即將該式乘并除以

+1++1,以此獲得明顯的結(jié)論.第(3)小題的實(shí)質(zhì)是恒成立的狀況下求4的取值范

圍.

解：(1)由2/(1)=/(—1)，可得2垃-2a=C+a,解得a=--

⑵證明：若G..1,任取0?Xj<X2<+00,

則

/（，）一/（工2）=J%；+1-g-J*+1+辦2=（&；+1-也；+1）一〃（）一%）

王一工2（\（\/玉十方\

=/——I-aix,-x）=lx,-x）（-j=^：~;-a）

Jx；+1+&+122Jx；+1+Jq+1

Xy+X

0<%]<J*+l,0<x2<"x；+1,r.0<2<1.

&+1+Jx；+1

a.A,：./(玉)一/(馬)>0....函數(shù)/(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減.

⑶任取：L,王<工2，/(%1)一/(々)=(%-%2)-a單

7

調(diào)遞增,

Xy+X2

.,./（Xj）-/（X2）<O,又-x2<0,那么_0〉0恒成立.

j#+l+j￥+l

.V2%,+%,也

而一<-1■一7—<1,；.0<a,

2“:+1+收+12

變式訓(xùn)練已知函數(shù)/(x)=x+—+機(jī)(1€［1,+8)且//2<1).

X

(1)用定義證明函數(shù)/(X)在U，+w)上為增函數(shù)；

3

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x"(x)+2x+/,若［2,5］是g(x)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，且在該區(qū)間上

g(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

核心例題2已知/(x)定義在上且/(—x)=—/(x)，AD=l,當(dāng)

。+人。0時(shí),

有3世〉。.

a+b

⑴試判斷函數(shù)/(x)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明該結(jié)論；

⑵設(shè);<X,1,求證：/(x)<3x；

⑶若/(1-X2)+/(2-X)<0,求x的取值范圍.

解題策略本例是抽象函數(shù)單調(diào)性的探究與應(yīng)用.第(D問(wèn)是單調(diào)性的探究，對(duì)于條件

>0的作用要分析清楚，它提供了一種不等必系，而單調(diào)性的證明正好需要

a+b

這樣的不等關(guān)系.后兩問(wèn)是單調(diào)性的應(yīng)用，要善于溝通題設(shè)條件和所證得的結(jié)果，合理利用條

件，將題中出現(xiàn)的幾個(gè)看似望無(wú)關(guān)的條件有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題就容易解決了.

解:⑴任取石,巧且X］<%2,則一%2又/(-%)=-/(%).

于是/(%)—f(%)=f(%)+/(-々.(玉一工2)?

玉+(一切

據(jù)已知>(),%-々<()得，“X)一/(%2)<0,

%+(-%2)

即/(玉)</(馬),，/(X)在［-1,1］上是增函數(shù)―

(2)證明：由⑴得/(x)在［一1,1］上的最大值為==

又g<冗，1,1.3x>1,.=f(x)<3x,

(3)由./?(1一x2)+/(2—幻<0,得y(i—》2)<一〃2—%)

又/(-%)=-/(x),.??/(1-X2)</(X-2),

由⑴知/(x)在［一1,1］上是增函數(shù)，

-啜J-f1,-揚(yáng)孤夜,

.?「一掇也-X1,o〈掇(k3,

_2

1-x2<x-2-1-713t-1+,x/13

或--------

2

即x的取值范圍是［二!^姮，夜

變式訓(xùn)練1/(x)的定義域?yàn)?0,+oo)且對(duì)一切x>0,y>0都有/'(2)=/(x)—/Xy),

y

當(dāng)x>l時(shí)，有/(x)>0.

⑴求/⑴的值；

(2)判斷/(x)的單調(diào)性并證明；

(3)若/(6)=1,解不等式f(x+3)—/(g)<2.

變式訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且滿足/(xy)=/(x)+f(y).

若/(3)=1,且/(a)>/(4—1)+2,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

ax,x>l,

核心例題3若函數(shù)/(x)=1aR上單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

(4)x+2,x<1

I2

解題策略本例是分段函數(shù)，在R上單調(diào)函數(shù)，應(yīng)從整體上考慮，這是不能疏忽的，而a

是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，又必須對(duì)a>l與0<。<1兩種情況分類(lèi)討論，若事先能夠判斷出

()<〃<1與4-@<0不可能同時(shí)成立，則后一種情況即可直接否定.

2

解：(1)當(dāng)a>l時(shí)，/(x)在(1,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，同時(shí)必須滿足

4-->0,

2

</、解得4,,。<8.

4——xl+2,,a,

A2)

4--<0,

(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)在(l,+o。)上是單調(diào)遞函數(shù)，此時(shí)應(yīng)有，2

(4---)x1+2..”，

I2

a>8.

即1無(wú)解.

.4,4

綜合(1)和(2)可知，4,,a<8.即a的取值范圍是［4,8).

變式訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=\a'滿足Vx產(chǎn)乙都有

(a-3)x+4a,x>0,

/(一)二/(.)<0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

王一赴

變式訓(xùn)練2已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0］上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)相

滿足

/(log3m)+/10g3—L2/(2),貝?。菁拥娜≈捣秶?

核心例題4設(shè)函數(shù)/。)=蛆2_(4+)卜(/《>0),區(qū)間￡)={x|/(x)<0}.

(1)求區(qū)間。的長(zhǎng)度(區(qū)間(a,份的長(zhǎng)度定義為人一a)；

(2)記區(qū)間D的長(zhǎng)度為g(〃?)，試用函數(shù)的單調(diào)性定義證明g(根)在(0,2)上單

調(diào)遞減,

在(2,+8)單調(diào)遞增；

(3)給定常數(shù)f6(0,2),當(dāng)2—度如2+1時(shí),求區(qū)間。的長(zhǎng)度的最大值.

解題策略本例給出了區(qū)間長(zhǎng)度的新數(shù)學(xué)概念，并以此探究長(zhǎng)度函數(shù)g(〃2)的單調(diào)性

以及最小值，構(gòu)思新穎、頗有創(chuàng)見(jiàn).本題單調(diào)性的證明以及由單調(diào)性確定區(qū)間上的最值是核心

要求,其中第(3)問(wèn)為求區(qū)間。的長(zhǎng)度的最大值,須比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小，可用作差比較法.

解(1)由/(X)<0,得巾2_(4+/??)x<0,即[的_(4+7〃2)]X<0.

4

m>Q,:.0<x<m-\——，

4

區(qū)間。的長(zhǎng)度為川+一.

4

(2)證明：g(m)=m+—,在區(qū)間(0,2)上任取兩個(gè)值叫,〃％,且叫<〃?2,

4-4)

貝Ig(mj-g(九)=叫+一+——

0<叫<m2V2,:.-m,<0,叫網(wǎng)>0,機(jī)］m,-4<0,

(町)一g(嗎)>0,即g(肛)>g(生),

g(機(jī))在(0,2)上單調(diào)遞減，同理可證g(/〃)在(2,+8)單調(diào)遞增.

(3)由(2)知g(m)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.

2—掇如2+t,且fe(0,2)

??.8(加)在(2—1,2)上單調(diào)遞減,在(2,2+7)單調(diào)遞增.

又g(2+r)—g(2T)=(2+r+/-1—_+-

I2+t)I2-tJr-4

4