第1課時直線與平面垂直的判定【學習目標】(1)了解直線與平面垂直的定義．(2)理解直線和平面垂直的判定定理并能運用其解決相關問題．(3)理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角．題型1直線與平面垂直的定義【問題探究1】如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？例1(多選)下列說法中正確的是()A．如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則l⊥αB．如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥αC．如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)沒有與l垂直的直線D．如果直線l不垂直于平面α，則平面α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直學霸筆記：直線與平面垂直的定義具有兩重性，既是判定又是性質(zhì)．是判定，指它是判定直線與平面垂直的方法；是性質(zhì)，指如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線，即“l(fā)⊥α，a?α?l⊥a”．這是證明線線垂直的一種方法．跟蹤訓練1設m，n是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題中正確的是()A．若m⊥α，n?α，則m⊥nB．若m∥α，n∥α，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α題型2直線與平面垂直的判定定理【問題探究2】請同學們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗：過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD(如圖(1))，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)(1)折痕AD與桌面垂直嗎？(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？(3)在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？如果我們把折痕抽象為直線l，把BD、CD抽象為直線m，n，把桌面抽象為平面α(如圖(3))，那么你認為保證直線l與平面α垂直的條件是什么？例2如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上異于A，B的任意一點，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.學霸筆記：直線與平面垂直的判定方法(1)①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)．②判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法利用推論：①a∥b，a⊥α?b⊥α；②α∥β，a⊥α?a⊥β.跟蹤訓練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.題型3直線與平面所成的角【問題探究3】當一支鉛筆一端放在桌面上，另一端逐漸離開桌面，鉛筆和桌面所成角逐漸增大，觀察思考鉛筆和桌面所成角怎樣定義？例3如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點．求直線BE與平面ABB1A1所成角的正弦值．一題多變本例條件不變，求直線BE與平面A1B1C1D1所成的角的正弦值．題后師說求直線與平面所成角的步驟跟蹤訓練3如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值．隨堂練習1．直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則直線l與平面α的位置關系是()A．平行B．垂直C．在平面α內(nèi)D．無法確定2．直線a與平面α斜交，那么在α內(nèi)與a垂直的直線()A．沒有B．有一條C．有無數(shù)條D．有n條(n為大于1的整數(shù))3．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC4．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中點，F(xiàn)是BB1的中點，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為________．課堂小結(jié)1.直線與平面垂直的定義．2．直線與平面垂直的判定定理．3．直線與平面所成的角．第1課時直線與平面垂直的判定問題探究1提示：旗桿所在直線AB始終與影子BC所在直線垂直．例1解析：由直線和平面垂直的判定定理知A正確；由直線與平面垂直的定義知，B正確；當l與平面α不垂直時，l可能與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故C不對，D正確．答案：ABD跟蹤訓練1解析：A選項，根據(jù)線面垂直的定義可知，若m⊥α，n?α，則m⊥n，A選項正確．B選項，若m∥α，n∥α，則m，n可能平行，所以B選項錯誤．C選項，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，所以C選項錯誤．D選項，若m∥α，m⊥n，則n與α平行、相交或n?α，所以D選項錯誤．故選A.答案：A問題探究2提示：(1)當AD與BC不垂直時，翻折后的紙片豎起放置在桌面上，折痕AD與桌面不垂直；當AD與BC垂直時，翻折后的紙片豎起放置在桌面上，折痕AD與桌面垂直．(2)若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則該直線垂直于這個平面．(3)l與平面α內(nèi)的兩條相交直線m，n垂直．例2證明：設圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點M為圓周上一點，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，PA，AM?平面PAM，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又∵AN⊥PM，∴AN與PM、BM兩條相交直線互相垂直，PM，BM?平面PBM.故AN⊥平面PBM.跟蹤訓練2證明：如圖，連接AC，∴AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.問題探究3提示：鉛筆和它在桌面上的射影所成的角．例3解析：如圖所示，取AA1的中點M，連接EM，BM，因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EM∥AD.又在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角．設正方體的棱長為2，則EM＝AD＝2，BE＝22+于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝2即直線BE與平面ABB1A1所成角的正弦值為23一題多變解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴BE與平面ABCD所成的角與所求的角相等．連接BD，則∠EBD即為直線BE與平面ABCD所成的角．設正方體的棱長為2，則在Rt△BDE中，sin∠EBD＝DEBE＝1即直線BE與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為13跟蹤訓練3解析：由題意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影為AC.∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角．又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×32＝5在Rt△MAB中，MA＝MB2-AB2在Rt△MAC中，sin∠MCA＝MAMC＝353即MC與平面CAB所成角的正弦值為23[隨堂練習]1．解析：由線面垂直的判定定理知，當平面α內(nèi)的兩條直線相交時，則l⊥α；再由線面平行的性質(zhì)定理和線線垂直的定義知，當l∥α或l?α時，都有無數(shù)條直線與l垂直．故選D.答案：D2．解析：如圖，過點B作BC⊥α，垂足為C，連接AC，則直線a在平面α內(nèi)的射影為AC，在平面α內(nèi)過點A作AC的垂線b，則b⊥平面ABC，而a?平面ABC，所以a⊥b，又因為平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與直線b平行，所以在平面α內(nèi)與a垂直