2023年福建省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題（共8小題，滿分40分）

1.（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足（2-i）2=l-23其中i為虛數(shù)單位，則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,5},5={2,3,4},則

（CuJ）UB=（）

A.{0,6}B.{2,3,4,6}C.{2,4}D.{0,2,3,4,6}

3.（5分）函數(shù)/Cr）=SinX-√5cosx在口，2t]（/>0）上是增函數(shù)，則f的最大值為（）

πTi5TrTr

A.一B?-C.-D.一

64122

4.（5分）設(shè)α=logo.7θ.8,?=logn0.9,C=L1。％那么（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

5.（5分）甲、乙兩個氣象站同時作氣象預(yù)報，如果甲站、乙站預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和

0.7,那么在一次預(yù)報中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報的概率為（）

A.0.8B.0.7C.0.56D.0.38

6.（5分）若圓x2+y2-6X-2y=0上存在兩點關(guān)于直線aχ-^-by-4=0對稱，則ah的最大值

為（）

4428

?-?c?ιd?I

X2y2

7.（5分）己知雙曲線熊—M=1（α>0,b>0）的左、右焦點分別為尸2,過點尸1的

TIT

直線交雙曲線于點4B,且尸遇=今48,NFlBF2=60°,則雙曲線的離心率為（）

A.√3B.2C.√7D.3

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8.（5分）如圖，長方體NBCO-∕ι8ιCjDι中，AB=BC=4,44ι=3,點M是線段DICl

的中點，點N在線段與。上，MN//BD,則長方體/88-∕∣8ιCIol被平面NMN所截

得的截面面積為（）

A.5√6B.7√6C.8√6D.10√6

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知命題p：關(guān)于X的不等式χ2-24x-a>0的解集為R,那么命題P的一個必

要不充分條件是（）

12

A.-l<α<-∣B.一毋VaVOC.-IWaWoD.-1

10.（5分）鄭州、武漢、合肥某月17日至21日的平均氣溫（單位：℃）如圖所示，下列

說法不正確的是（）

鄭

州

武

漢

肥

公

B.20號的平均氣溫合肥最高

C.5天的平均氣溫從高到低分別為鄭州、武漢、合肥

D.武漢5天平均氣溫的方差為12

11.（5分）定義在（0,+8）上的函數(shù)/（χ）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,且/'（X）〈苧，對任意

XI、X2∈（0,+8）,其中X]≠X2,則下列不等式中一定成立的有（）

A.f（X1+X2）</（XI）+f（X2）

B./（X1）+/（X2）<^∕（X1）+≡J∕（X2）

xlx2

C./(2x9<2x7(l)

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D.f（X1X2）</（XI）f（X2）

12.（5分）如圖，正方體/8CQ-ZI8Cιd的棱長為1,E,產(chǎn)是線段81。上的兩個動點,

且EF=今則下列結(jié)論中正確的是（）

B.EF//nABCD

C.△>1￡尸的面積與ABEF的面積相等

D.三棱錐E-/8尸的體積為定值

Ξ.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）已知向量Z=（1,-2）,力=（-3,w）,其中w∈R.若Z,贏線，則向=.

14.（5分）在（1-2x）5（2+x）展開式中，χzt的系數(shù)為.

15.（5分）己知函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且/

（x）+g（x）=IQv,則f（x）=,g（X）=.

16.（5分）已知圓χ2-2x+/-8=0的圓心是拋物線產(chǎn)=2.（p>0）的焦點尸，過點尸的

直線交該拋物線的準(zhǔn)線于點兒與該拋物線的一個交點為8,且易=-3∕?,則|/8|

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知等比數(shù)列｛的｝的各項均為正數(shù),且αι=l,an+2=an+?+2an.

（1）求數(shù)列｛a”｝的通項公式：

,,11.3

（2）記數(shù)歹U｛—+-——----------｝的前〃項和為S”,求證：—≤Sπ<3.

an（∏+l）?∕o52αn+ι2

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18.（12分）在BC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,h,c.已知（gc-α）siM

=CSinC-?sin5.

(1)求角B的大小；

(2)求CoSC+sin8+√^cos∕l的取值范圍.

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19.（12分）第五代移動通信技術(shù)（英語：Sthgenerationmobilenetworks或

5Ihgenerationwirelesssystems>5th-Generation,簡稱5G或5G技術(shù)）是最新一代蜂窩移

動通信技術(shù)，也是繼4G（LTE-A、WiMax）、3G（UMTS、LTE）和2G（GSM）系統(tǒng)之

后的延伸.5G的性能目標(biāo)是高數(shù)據(jù)速率、減少延遲、節(jié)省能源、降低成本、提高系統(tǒng)容

量和大規(guī)模設(shè)備連接.某大學(xué)為了解學(xué)生對“5G”相關(guān)知識的了解程度，隨機(jī)抽取IOO

名學(xué)生參與測試，并將得分繪制成如表頻數(shù)分布表：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人數(shù)4912131163

女性人數(shù)122211042

（1）將學(xué)生對“5G”的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”

（得分低于60分）兩類，完成2義2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生對

“5G”的了解程度”與“性別”有關(guān)？

不太了解比較了解合計

男性

女性

合計

（2）以這100名學(xué)生中“比較了解”的頻率作為該校學(xué)生“比較了解”的概率，現(xiàn)從該

校學(xué)生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名學(xué)生，設(shè)抽到“比較了解”的學(xué)生的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(^ad-bc')2

附：%=(n—α+?+c+J).

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

臨界值表:

P(ΛT2≥?O)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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20.(12分)如圖，在四棱錐尸-/8。中，四邊形NBCD是直角梯形，ABVAD,AB//CD,

ABCD,AB=2AD=2CD=2^,E是尸8的中點.

(1)求證：PALCBx

(2)若三棱錐D-ACE的體積為1,求二面角P-AC-E的正弦值.

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21.(12分)已知直線/：X=叼+1過橢圓C；蕓+吟=1的右焦點尸，且直線/交橢圓C

于4,8兩點，點4,F,8在直線P:x=4上的射影依次為點。，K,E.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/交V軸于點且而=%G,MB=X2BF,當(dāng)m變化時，探究入ι+入2的

值是否為定值？若是，求出入1+入2的值；否則，說明理由；

(3)連接/E,BD,試探究當(dāng)加變化時，直線ZE與8。是否相交于頂點？若是，請求

出定點的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

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22.（12分）已知函數(shù)f（x）=χ2-------a.

（1）若/G）》0,求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若函數(shù)/'（X）有兩個零點X”X2,證明：X1X2<1.

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2023年福建省名校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分）

L（5分）已知復(fù)數(shù)Z滿足（2-i）5=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：因為（2-i*=1-23

匕廠卜1一1—2i43.

所以Z=F=耳一百I,

M43

^z=5+5u

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為G,|）在第一象限.

故選：A.

2.（5分）已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合/={1,3,5},B={2,3,4},則

(CUZ)UB=()

A.{0,6}B.{2,3,4,6}C.{2,4}D.{0,2,3,4,6}

【解答】解：TCwt={0,2,4,6},

J(Cu/)U5={0,2,3,4,6)

故選：D,

3.(5分)函數(shù)/'(X)=SinX-V5cosx在口,2t]（Z>0）上是增函數(shù),則，的最大值為（）

Trπ5πTr

A.-B.-C.—D.-

64122

【解答】解：f(x)=sinx-√3cosx=2sin(X—守)在[32/](/>0)上是增函數(shù),

匚UI、I九,7ΓTTULI、IrTr?Trr「TT〃、

所以z-W≤χ-W≤2r一?j,所以口一百，2/一可歸[—2，~?y

ππ

-->--

則32

乂，>0,所以O(shè)VE≤?ψ?^τι.

-7-T-<7-1

32

故選C

4.(5分)設(shè)α=logo.7θ.8,6=1OgIIO.9,c=l.l09,那么()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a?b

【解答】解：VIogojl=0<a=logo,7θ.8<logo.7θ.7=1,

第9頁共22頁

6=log∣ι0.9<logιιl=0,

c=l.l0?9>l.l0=l;

Λc>a>6.

故選：C.

5.(5分)甲、乙兩個氣象站同時作氣象預(yù)報，如果甲站、乙站預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和

0.7,那么在一次預(yù)報中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報的概率為()

A.0.8B.0.7C.0.56D.0.38

【解答】解：甲、乙兩個氣象站同時作氣象預(yù)報，

甲站、乙站預(yù)報的準(zhǔn)確率分別為0.8和0.7,

則在一次預(yù)報中兩站恰有一次準(zhǔn)確預(yù)報的概率為：

尸=0.8義(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.

故選：D.

6.(5分)若圓/+y2-6x-2y=0上存在兩點關(guān)于直線4x+勿-4=0對稱，則qb的最大值

為()

4428

A?-B.-C.二D.二

9333

【解答】解：由圓的對稱性可得，直線αx+by-4=0必過圓心(3,1),所以3α+b=4?

所以4=3α+6≥2百筋，所以M≤∕當(dāng)且僅當(dāng)6=2,α=鄂寸取等號，

故選：B.

X2V2

7.(5分)已知雙曲線”一臺=1(a>。，b>0)的左、右焦點分別為Q,F2,過點Q的

TIT

直線交雙曲線于點4B,且FM=/AB,NFIBF2=60°,則雙曲線的離心率為()

A.√3B.2C.√7D.3

TIT

【解答】解：設(shè)IFM=機(jī)，由Fla=Wa8,可得MBl=2相，且點/在雙曲線的左支上，點

8在雙曲線的右支上，

連接“尸2,由|/尸2|-w∣=2α,可得∣∕F2∣=2α+",由尸ι∣-|892∣=2m

可得囚附=|BFIl-2a=?BA?V?AF??-2a=3m-2a,

在AB4∕72中,(2α+m)2=(2m)2+(3m-2a)2-2×2w×(3/n-2a)×cos60°,

整理可得〃?=2"，

在48∕7ι∕72中，(2c)2=(3m)2+(3m-2a)2-2×3m×(3m-2a)×cos60o,

第10頁共22頁

可得9m2-6ma+4a2-4c2—O,

2

代入m=2α,可得7q2=c,

所以e=-?=√7.

a

故選：C.

8.（5分）如圖，長方體/8CA-∕ι8ιCιOι中，AB=BC=4,/4=3,點M是線段DICl

的中點，點N在線段SCI上，MN//BD,則長方體488-小被平面4WN所截

得的截面面積為（）

C.8√6D.10√6

【解答】解：如圖，點"是線段。I。的中點，點N在線段BiCI上，MN//BD,

所以N為BiCj的中點，E,F分別為88ι的三等分點，

因此截面為五邊形AEMNF,其中AE=AF^2√5,EM=FN=√5,MN=2√2,EF=4√2,

SAEMNF-^AEF+SEMNF~?X4√2×2√3+漢學(xué)匹X國=7遍,

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）已知命題p：關(guān)于X的不等式X2-2“X-“>0的解集為R,那么命題P的一個必

第11頁共22頁

要不充分條件是()

12

A.-l<α<-∣B.-∣<α<0C.-IWaWoD.心-1

【解答】解：?.?p:關(guān)于X的不等式f-20χ-α>0的解集是R,

；.△=(-2a)2-4×(-a)=4(a2+α)<0,

解得-l<α<O,

?.?(-1,O)i[-1,0],

...命題P的一個必要不充分條件是[-1,0],

故選：CD.

10.(5分)鄭州、武漢、合肥某月17日至21日的平均氣溫(單位：°C)如圖所示，下列

說法不正確的是()

鄭

而

合

B.20號的平均氣溫合肥最高

C.5天的平均氣溫從高到低分別為鄭州、武漢、合肥

D.武漢5天平均氣溫的方差為12

【解答】解：由圖知，鄭州5天的平均氣溫為2(22+27+25+15+17)=21.2(℃),極差

為27-15=12(℃)；

武漢5天的平均氣溫為3(12+21+16+21+20)=18(℃),極差為21-12=9(℃)；

1

合肥5天的平均氣溫為g(12+21+18+14+16)=16.2(℃),極差為21-12=9(℃),

所以5天平均氣溫中極差最大的是鄭州，所以選項Z正確；

由圖知20號的平均氣溫武漢最高，所以選項8錯誤;

由圖知5天的平均氣溫從高到低依次為鄭州、武漢、合肥，所以選項C正確;

第12頁共22頁

1

武漢5天平均氣溫的方差為W(12-18)2+(21-18)2+(16-18)2+(21-18)2+(20

-18)2]=12.4,所以選項。錯誤.

故選：BD.

11.(5分)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(χ)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且f'(x)VqI對任意

XI、X2∈(0,+8),其中X1≠X2,則下列不等式中一定成立的有()

A.f(X1+X2)Vf(Xl)+f(X2)

1

B./(Xi)+/(X2)V孑fS)+JZ(X2)

xlx2

C./(2χι)<2xι∕(l)

D.f(XlX2)</(XI)f(X2)

【解答】解：設(shè)g(X)=畢，則g'(X)=色寫3,

因為定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且f'(x)V?,

所以/(x)X-f(x)<0,所以g'(x)<0?

故g(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

由XI+X2>X1,可得g(X1+X2)Vg(XI),

即△且<3,即qfg+χ2)</(xl))

%l+%2?lXl+×2

同理----f(X1+X2)Vz(X2)，

%l+%2

相加可得/(式1+工2)</(XI)+f(X2)?故4正確；

由g(X)在(0,+o°)單調(diào)遞減，

可得(Xl-X2)[g(Xl)-g(X2)]<0,

即(Xl-X2)[曲?也為<0,

Xl%2

1

所以/(?i)+/(X2)V孑/1)+∣∕(X2),故3正確；

xlx2

因為2%>1,所以g(2'ι)<g(l),即"20f(l),即/(2皿)<2、，/⑴，故C正確：

取/'(X)=1,它符合題意，則/(X1X2)—f(XI)./,(X2)>故D錯誤.

故選：ABC.

12.(5分)如圖，正方體∕8CO-∕ι8ιCI。的棱長為1,E,尸是線段小。1上的兩個動點，

且EF=*,則下列結(jié)論中正確的是()

第13頁共22頁

A.ACLBE

B.EF∕∕^-^^ABCD

C.的面積與48EF的面積相等

D.三棱錐E-NBF的體積為定值

【解答】解：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，OOil?平面/88,而NCU平面/8C。，則。1。

LAC,

又4BCD為正方形,.".ACLBD,

?"D}D∏BD=D,且8Z)u平面。。/由，；./C_L平面。。山山，

EU平面。。山出，.".ACA-BE,故力正確；

'JB?D?∕∕BD,β∕)?3F≡ABCD,8ιD∣C平面Z8CZ),

平面45CD,而EF在BiDi上，〃平面N88,故8正確；

點B到EF的距離為正方體的棱長，A到EF的距離大于棱長，則A4EF的面積與48EF

的面積不相等，故C錯誤；

如圖所示，連接8。，交/C于。，則/0為三棱錐4-BEN的高，

?1,,1I1?1_11√2√2

SABEF=,ErFr'BnBni=2x2X1~4,Vd-BEF=NSABEF?A0=WX/X^y=24)

乃

則VBF=^A-BEF=為定值，故D正確.

故選：ABD.

GBl

第14頁共22頁

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)已知向量聯(lián)=(1,-2),b=(-3,∕M),其中機(jī)CR.若Z共線，則向=_3逐一

【解答】解：?.q,1共線,

?二〃？-6=0,

?'?m=6,b=(—3,6),

：.\b\=3√5.

故答案為：3瓜

14.(5分)在(1-2x)5(2+x)展開式中，√t的系數(shù)為80.

【解答】解：由已知可得：含有/的項為C式―2x)4×2+Cj(-2X)3×X=160X4-80x4

=80x3

所以xzt的系數(shù)為80,故答案為：80.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且/

10x+10-xIOX-I(TX

(x)+g(x)=IOl則/(x)=_-------------g(x)=_-------------------_?

【解答】解：函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則/(x)為偶函數(shù)，/(-x)=∕(x);

函數(shù)g(X)的圖象關(guān)于原點對稱，則g(X)為奇函數(shù)，g(-x)=-g(X).

又?.?∕(x)+g(x)=IOT①，

:.f(-x)+g(-x)=10",

.?./(x)-g(x)=IO-X②,

華得：/(X)=竺產(chǎn)?,

2Z

竺④得:g⑴=”產(chǎn)才.

L乙

IoX+1OrIOJIOr

故答案為:

22

16.(5分)已知圓χ2-Zr√-8=0的圓心是拋物線∕=2px(p>0)的焦點R過點廠的

直線交該拋物線的準(zhǔn)線于點力，與該拋物線的一個交點為8,且向1=-3港，則M8∣=

32

22

【解答】解：圓Λ-2χ+y-8=0即(X-I)2+f=9,圓心坐標(biāo)為(1,。),

則］=1,拋物線方程為∕=4x,所以IZ)P=2.

第15頁共22頁

如圖，F(xiàn)A=-3FB,所以MF|：∣F5∣=3:1,

又Iz)F|：?BC?=?AF?i?AB?,所以2：IBCl=3：4,

得∣8Cl=IBFI=*所以MBl=4∣BFl32

T-

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）已知等比數(shù)列他“｝的各項均為正數(shù)，且αι=l,α,,+2=αrt÷ι+2‰.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

113

(2)記數(shù)列｛—+~——;-------｝的前〃項和為S”，求證：-≤Sfl<3.

an(n+iyiog2an+12

【解答】(1)解：設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為4(q>0),

23

由題設(shè)可得：anq=anq+2an,

Vaw>0,???夕2-1-2=0,解得:q=2,

又m=l,

n］

：.an=2；

r.,1111Ill

(2)證明：由(1)可得：—+-------=÷=+--——，

aπ11

an(n+l)?∕o^2n+ι2n(n+l)2"nn+1

1-?ill111111

???S"=可+1-2+)一可+…+%—E=2一行+1一中=3-(布+μ)<3.

又S,隨“增大而增大，

???S〃2Si=3-(1+少=協(xié)

3

≤5w<3.

18.(12分)在a48C中，內(nèi)角力，B,C所對的邊分別為α,b,c.已知(WC-a)sinA

=CSinC-bsinB.

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（1）求角B的大小;

(2)求COSC+siaδ+V5cos4的取值范圍.

【解答】解：(1)V(V3c—a)SirL4=csinC-6sin5,

222

由正弦定理得，√3ac-a=c-bf

2

即Q2+C2—b=√3αc,

由余弦定理得,C=必薩=字

由8為三角形內(nèi)角得，8=30°,

=Sin（4+至）+于

由OV4V-5^,得E<?i+?,V-^^,

177

所以一2VSin（Tl+?-）≤1,

3

故原式的范圍（0,-].

19.（12分）第五代移動通信技術(shù)（英語：Sthgenerationmobilenetworks或

Sthgenerationwirelesssystems?Sth-Generation,簡稱5G或5G技術(shù)）是最新一代蜂窩移

動通信技術(shù)，也是繼4G（.LTE-A,IViMax）.3GCUMTS.LTE）和2G（GSM）系統(tǒng)之

后的延伸.5G的性能目標(biāo)是高數(shù)據(jù)速率、減少延遲、節(jié)省能源、降低成本、提高系統(tǒng)容

量和大規(guī)模設(shè)備連接.某大學(xué)為了解學(xué)生對“5G”相關(guān)知識的了解程度，隨機(jī)抽取100

名學(xué)生參與測試，并將得分繪制成如表頻數(shù)分布表：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人數(shù)4912131163

女性人數(shù)122211042

（1）將學(xué)生對“5G”的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”

（得分低于60分）兩類，完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生對

“5G”的了解程度”與“性別”有關(guān)？

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不太了解比較了解合計

男性

女性

合計

(2)以這IOO名學(xué)生中“比較了解”的頻率作為該校學(xué)生“比較了解”的概率，現(xiàn)從該

校學(xué)生中，有放回的抽取3次，每次抽取1名學(xué)生，設(shè)抽到“比較了解”的學(xué)生的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

,n(ad-bc)2

附：片=-_-..----——-("=α+6+c+d).

(α+fa)(c+d)(α+c)(h+d)

臨界值表：

P(犬22例)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：(1)由題意可得列聯(lián)表如下：

不太了解比較了解總計

男性253358

女性53742

總計3070100

K2=≈11,291>10.828,

OvX/UXzrZXjo

所以有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生對“5G”的了解程度”與“性別”有關(guān);

707

(2)由題意抽取的100名學(xué)生中“比較了解”的頻率為==,

1007107

7

故抽取該校1名學(xué)生對“5G”“比較了解”的概率為77，

10

所以X?8(3,?),P(X=k)=C3(?)fc(?)3-fe>4=0，1，2,3,

即X的分布列如下：

X0123

P27189441343

1000100010001000

771

所以E(X)—77/2=3×-?θ=yθ.

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20.(12分)如圖，在四棱錐尸-/88中，四邊形ZBCD是直角梯形，ABVAD,AB//CD,

PCL^ABCD,AB=2AD=2CD=2y∏,E是尸8的中點.

(1)求證：PALCB-,

(2)若三棱錐。-∕CE的體積為1,求二面角P-ZC-E的正弦值.

【解答】(1)證明：SCc^FffiABCD,

：.BCLPC,

因為直角梯形/8CZ)中，AB=2√2,AD=CD=立,所以4C=8C=2,

所以AC2+BC2-=AB2,所以BCkAC,

又NC∩PC=C,所以8CJ_平面弘C.

又因為RlU平面PAC,

所以8C_LR1.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，CB,CA,?P為X,y,z軸的正方向建系如圖,

易知C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),

設(shè)尸(0,0,2h),則E(1,0,〃)，

?

易知ANCO的面積為彳×√2×√2-1,

由三棱錐。-4CE,即三棱錐E-ZCo的體積為1,

得］XhXl=1,故h—3

即P(0,0,6),E(1,0,3),

由(1)知，m=CB=(2,0,0)是平面以C的一個法向量，

設(shè)￡=(x,y,Z)是平面EZC的一個法向量,

CA=(0,2,0),CE=(1,0,3),

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貝亞?g=o

即解得取Z=-1，則x=3,

Vn?CE=O

故n=(3,0,-1)，

—?—>

設(shè)二面角尸-∕c-E大小為。，則cos。=號軍=丁票=島,

?m??n?2×vz10710

21.(12分)己知直線/：X=吁1過橢圓C：勞+[=1的右焦點凡且直線/交橢圓C

于“，8兩點，點A,F,5在直線小x=4上的射影依次為點。，K,E.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/交V軸于點且忌=入υ?,MB=A2BF,當(dāng)機(jī)變化時，探究入ι+入2的

值是否為定值？若是，求出入ι+入2的值；否則，說明理由；

(3)連接/E,BD,試探究當(dāng)機(jī)變化時，直線ZE與8。是否相交于頂點？若是，請求

出定點的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由.

【解答】解：(1)易知橢圓的右焦點為F(1,0),

所以c=l,

拋物線∕=4g的焦點坐標(biāo)為(0,√3),

所以h=√3,

α2=62+c2=3+l=4,

2y2

所以橢圓C的方程為χ了++=1.

43

1

(2)易知，m≠0,且/與V軸的交點為M(0,

設(shè)直線/交橢圓于/(xι,yι),B(x2,y2),

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x=my+1

χ2y2_,得(3〃，+4)爐+6〃?廠9=0,

fT+T=1

所以△=(6m)2+36(3∕M2+4)=144(m2+l)>0,

所以"+J'2=-淄PyLn=一而|轉(zhuǎn)'

又由忌=入Iik

所以(xι,yι+?)=λ?(In,-yι),

11

所以入=7一電,同理入2=-1一礪，