專題18三平行相似模型【理論基礎(chǔ)】如圖，，若，則.證明：∵，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.【例1】如圖，的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，CE平分∠BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②；③；④．其中正確的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)已知的條件首先證明是等邊三角形，因此可得，所以可得，再根據(jù)O、E均為AC和AB的中點(diǎn)，故可得，便可證明；②首先證明，因此可得，故可得和的比.③根據(jù)勾股定理可計(jì)算的AC：BD；④根據(jù)③分別表示FB、OF、DF，代入證明即可.【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，

∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確，∵，∴，∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤，設(shè)，則，，，∴，∴，故③正確，∵，∴，∴，∴，故④正確，綜上所述：正確的是①③④，共3個(gè)．故選C．【例2】如圖，，若AC8，BD12，則EF___________．【答案】【分析】根據(jù)，可得△BEF∽△BCA，△AEF∽△ADB，從而得到，即可求解．【解析】解：∵，∴△BEF∽△BCA，∴，∵，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，即，∴，∵AC8，BD12，∴，解得：．故答案為：【例3】如圖：，EG分別交AB、DB、AC于點(diǎn)E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的長(zhǎng)．【答案】【分析】在△ABC中，先證明利用相似三角形的性質(zhì)求解EG，在△BAD中，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解EF，即可求出FG=EG-EF．【解析】解：∵△ABC中，，∴

∴，∵BC=10，AE=3，AB=5，∴，∴EG=6，∵△BAD中，，∴∴，∵AD=6，AE=3，AB=5，∴，∴EF=．∴FG=EG-EF=．一、單選題1．如圖，和表示兩根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的兩根鋼筋，與相交于點(diǎn)M，已知，則點(diǎn)M離地面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知易得△ABM∽△CDM，可得對(duì)應(yīng)高BH與HC之比，易得MHAB，可得△MCH∽△ACB，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得比例式，把相關(guān)數(shù)值代入求解即可．【解析】∵和表示兩根直立于地面的柱子，∴AB⊥BC，CD⊥BC，MH⊥BC，∴ABCDMH，∴∠A=∠MCD，∠ABM=∠D∴△ABM∽△CDM，∴===(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比)，∴=∴=，即=，∵M(jìn)HAB，∴∠A=∠CMH，∠ABC=∠MHC，∴△MDH∽△ADB，∴==，，∴=，解得MH=．∴點(diǎn)M離地面的高度MH為m．故選：A．2．如圖，樹在路燈O的照射下形成投影，已知樹的高度，樹影，樹與路燈O的水平距離，則路燈高的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)直接求解即可．【解析】解：根據(jù)題意可知，，，，，即，解得m，路燈高的長(zhǎng)是m，故選：C．3．如圖1，小明在路燈下筆直的向遠(yuǎn)離路燈方向行走，將其抽象成如圖2所示的幾何圖形．已知路燈燈泡距地面的距離AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距離路燈燈泡的正下方距離BC等于4米，當(dāng)小明走到E點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)影子長(zhǎng)度增加2米，則小明走過的距離CE等于（）A．在3和4之間 B．在4和5之間 C．在5和6之間 D．在6和7之間【答案】A【分析】根據(jù)題意證明△DCM∽△АВМ，得到，代入數(shù)值求出CM=2.4，再證△FEN∽△ABN，得到，即，求出BN=，計(jì)算CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，判斷即可．【解析】由圖可知小明在點(diǎn)C處時(shí)，其影長(zhǎng)為CM，在點(diǎn)E處時(shí)，其影長(zhǎng)為EN，由題意可得AB⊥BN，CD⊥BN，EF⊥BN，EF=CD=1.5米，EN=(CM+2)米，∴∠DCM=∠АВM=9，∵∠CMD=∠BMA，∴△DCM∽△АВМ，∴，∵BM=BC+CM=4+CM，∴，解答CM=2.4，∴EN=CM+2=2.4+2=4.4，∵∠FEN=∠ABN=9，∠ENF=∠BNA，∴△FEN∽△ABN，∴，即，解得BN=，∴CE=BN-BC-EN=-4-4.4=，∵3<<4，∴小明走過的距離CE在3和4之間，故選A．4．如圖，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，作OM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，若AB=4，CD=6，則OM-EF值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形中位線定理分別求得FG=AB=2，EG=CD=3，得到EF=1，再證明△AOB∽△COD和△BOM∽△BDC，利用相似三角形的性質(zhì)求得OM=，據(jù)此即可求解．【解析】解：∵AB=4，CD=6，AB⊥BC，CD⊥BC，OM⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥OM∥FG∥DC，又∵點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴FG=AB=2，EG=CD=3，∴EF=EG-FG=1，∵CD∥AB，∴△AOB∽△COD，∴即，∴，∵OM∥CD，∴△BOM∽△BDC，∴，∴OM=，∴OM-EF=-1=．故選：A．5．如圖，EF是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力和阻力的施力方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的大小變化情況是（

）A．越來越小 B．不變 C．越來越大 D．無法確定【答案】B【分析】由圖證明，從而得到，即，再根據(jù)題意得出答案．【解析】解：∵，，∴，∴，即，∵阻力不變，即ME不變，又∵OM，ON不變，∴由得，NF不變，即的大小不變．故選：B．6．如圖，和中，，斜邊AC、BD交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，若，，則EF的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過證明△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，可得即可求解．【解析】解：∵，∴∠ABC=∠DCB=90°=∠EFC，∴，∴△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，∴，∵，，∴

∴．故選：D．二、填空題7．如圖，已如矩形ABCD，將△BCD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BEF，連接AC，BF，若點(diǎn)A，C，F(xiàn)恰好在同一條直線上，則______．【答案】【分析】設(shè)，，由矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，．易證，即得出，即，將b看作已知數(shù)，根據(jù)公式法即可求出，根據(jù)a>0，可知，最后代入即可．【解析】設(shè)，，由矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，∴，即，∴，整理，得：，∴．∵，∴，∴．故答案為：．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點(diǎn)，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．【答案】【分析】先求出，可得，再根據(jù)題意可得，從而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得∶∶∶∶……∶=，即可求解．【解析】解：當(dāng)x=1時(shí)，，∴點(diǎn)，∴，∴，∵根據(jù)題意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案為：．三、解答題9．如圖，一教學(xué)樓AB的高為20m，教學(xué)樓后面水塔CD的高為30m，已知BC＝30m，小張的身高EF為1.6m．當(dāng)小張站在教學(xué)樓前E處時(shí)，剛好看到教學(xué)樓頂端A與水塔頂端D在一條直線上，求此時(shí)他與教學(xué)樓的距離BE．【答案】55.2m【分析】如圖，過點(diǎn)F作FN⊥CD，交CD于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，構(gòu)造相似三角形：△AMF∽△DNF，由該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得答案．【解析】解：如圖，過點(diǎn)F作FN⊥CD，交CD于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，∵AM∥DN，∴△AMF∽△DNF．∴．由題意知，BE=FM，BC=MN=30m，EF=BM=CN=1.6m，F(xiàn)N=FM+MN=BE+BC=（BE+30）m．∴DN=CD-CN=30-1.6=28.4m，AM=AB-BM=20-1.6=18.4m．∴．解得BE=55.2m．故此時(shí)他與教學(xué)樓的距離BE為55.2m．10．如圖，，E為與的交點(diǎn)，F(xiàn)在上，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可證明結(jié)論【解析】11．如圖，AB＝4，CD＝6，F(xiàn)在BD上，BC、AD相交于點(diǎn)E，且ABCDEF．(1)若AE＝3，求ED的長(zhǎng)．(2)求EF的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）證明，得到，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)，得到，同理得到，兩個(gè)比例式相加再代入計(jì)算，得到答案．【解析】（1）解：，，，，，，，解得：；（2），，，同理：，，，解得：．12．如圖，圓、圓為兩個(gè)不相交的圓，記圓的半徑為，圓的半徑為，有，E是兩圓連心線上的一點(diǎn)，滿足關(guān)系式，點(diǎn)F、G為圓A上任意的動(dòng)點(diǎn)，作直線EF、EG分別與圓C交于H、I、J、K四點(diǎn)，連接IK(1)設(shè)圓、圓的兩條外的公切線分別為，證明總是在點(diǎn)E處相交；(2)若固定點(diǎn)，讓點(diǎn)在圓上移動(dòng)，證明：此時(shí)的值與的位置無關(guān)；(3)當(dāng)IK時(shí)，連接、，設(shè)與交于，證明在上，且滿足【答案】(1)證明過程見詳解(2)證明過程見詳解(3)證明過程見詳解【分析】（1）根據(jù)公切線的性質(zhì)，證明三角形相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求證結(jié)果；（2）利用對(duì)應(yīng)邊成比例證明兩個(gè)三角形相似，利用比例的性質(zhì)即可求證結(jié)果；（3）根據(jù)兩個(gè)三角形全等，對(duì)應(yīng)邊也相等，證明等腰三角形性，利用等腰三角形的三線合一即可求證結(jié)果．【解析】（1）證明：如圖所示，是公切線，是公切線，∵是，的公切線，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是切點(diǎn)，∴，，，，且點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在公切線上，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在公切線上，∴，，，，∴，，∴，∴，的公切線總是在點(diǎn)E處相交．（2）證明：如圖所示，連接，，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的值與的位置無關(guān)．（3）證明：如圖所示，連接，，所在直線是，的直徑，∵，垂足為點(diǎn)，∴直線平分，，，∴，∴，∴，，，在，中，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在的角平分線上．如圖所示，連接，，且，，由等腰三角形，等腰三角形得，，∴，又∵，∴，即．13．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，線段EF交CD于點(diǎn)M．過點(diǎn)F作FG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求證：BE=FG；(2)如果AB?DM=EC?AE，連接AM、DE，求證：AM垂直平分DE．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE與△EFG全等，據(jù)此即可證明BE=FG；（2）證明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL證明△AEM≌△ADM即可解決問題．【解析】(1)證明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)證明：連接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴，即AB?EM=EC?AE，∵AB?DM=EC?AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．14．某天晚上，小明看到人民廣場(chǎng)的人行橫道兩側(cè)都有路燈，想起老師數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)身高與影長(zhǎng)的相關(guān)知識(shí)，于是自己也想實(shí)際探究一下．為了探究自己在兩路燈下的影長(zhǎng)和在兩路燈之間的位置關(guān)系，小明在網(wǎng)上從有關(guān)部門查得左側(cè)路燈（AB）的高度為4.8米，右側(cè)路燈（CD）的高度為6.4米，兩路燈之間的距離（BD）為12米，已知小明的身高（EF）為1.6米，然后小明在兩路燈之間的線段上行走（如圖所示），測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)．(1)若小明站在人行橫道的中央（點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)）時(shí)，小明測(cè)得自己在兩路燈下的影長(zhǎng)FP＝米，F(xiàn)Q＝米；(2)小明在移動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)在某一點(diǎn)時(shí)，兩路燈產(chǎn)生的影長(zhǎng)相等（FP＝FQ），請(qǐng)問時(shí)小明站在什么位置，為什么？【答案】(1)3，2(2)離B地（或離D地），理由見解析【分析】（1）通過證明，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）由（1）得，，，設(shè)，可求出，求出x的值，即可求解．【解析】（1）解：由題意得，，，，，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，，，解得；，，，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，，，解得；故答案為：3；2；（2）小明站在離B點(diǎn)米處的位置，理由如下：由（1）得，，，，設(shè)，，，，，解得，，所以，小明站在離B點(diǎn)米處的位置．15．如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)，，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)求的面積；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接、．將沿折疊得到，交于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)(3)2或5【分