第八章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用本節(jié)內(nèi)容二、空間曲線的切線與法平面一、向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、曲面的切平面與法線

§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用一、向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定義:給定數(shù)集D

R,稱映射為一元向量值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）,記為定義域自變量因變量向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)都與各分量的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)密切相關(guān),進(jìn)行討論.因此下面僅以n

=3的情形為代表§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用極限：連續(xù)：導(dǎo)數(shù)：向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算法則:設(shè)是可導(dǎo)向量值函數(shù),是可導(dǎo)函數(shù),則C

是常向量,c

是任一常數(shù),§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:在R3中,設(shè)的終端曲線為

,切線的生成表示終端曲線在t0處的切向量,其指向與t的增長方向一致.,則設(shè)§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量,則有

例1.

設(shè)速度向量：加速度向量：解：§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例2.設(shè)空間曲線

的向量方程為

求曲線

上對應(yīng)于解:的點處的單位切向量.故所求單位切向量為其方向與t

的增長方向一致另一與t

的增長方向相反的單位切向量為=6§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例3.一人懸掛在滑翔機上,受快速上升氣流影響作螺求旋式上升,其位置向量為(1)滑翔機在任意時刻

t

的速度向量與加速度向量;(2)滑翔機在任意時刻

t

的速率;(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻.解:(1)(3)由即即僅在開始時刻滑翔機的加速度與速度正交.§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用二、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法平面.置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限位給定光滑曲線

在點法式可建立曲線的法平面方程利用點M(x,y,z)處的切向量及法平面的法向量均為點向式可建立曲線的切線方程§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線方程為參數(shù)方程的情況因此曲線

在點M處的則

在點M的導(dǎo)向量為法平面方程給定光滑曲線為0,切線方程§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例4.求曲線在點M(1,1,1)處的切線方程與法平面方程.解：點(1,1,1)對應(yīng)于故點M處的切向量為因此所求切線方程為法平面方程為即思考:

光滑曲線的切向量有何特點?答:切向量§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用2.曲線為一般式的情況光滑曲線曲線上一點,且有

可表示為處的切向量為§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用則在點切線方程法平面方程有或§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用也可表為法平面方程§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例5.求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用法平面方程即解法2

方程組兩邊對x求導(dǎo),得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用三、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點M,切線方程為不全為0.則

在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為

在該點的切平面.

上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用證:在

上,得令由于曲線

的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用曲面

在點M的法向量:

法線方程切平面方程過M點且垂直于切平面的直線稱為曲面

在點M的法線.§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用曲面時,則在點故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,

當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時,切平面方程法向量§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例6.求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:令所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量即(可見法線經(jīng)過原點，即球心)§8.6向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用例7.確定正數(shù)

使曲面