第15講等邊三角形

等邊三角形是七年級數(shù)學下學期第三章第三節(jié)的內容，本講主要講解等邊三角形的性質

和判定定理；重點是理清性質和判定之間的區(qū)別和聯(lián)系，難點是靈活運用等邊三角形的性質

解決綜合題目，綜合性更強.

模塊一：等邊三角形性質與判定

知識精講

1、等邊三角形的性質

等邊三角形的每個內角都等于60°.

2、等邊三角形的判定

（1）三個內角都相等的三角形是等邊三角形：

（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

例題解析

例1.（2020?山東濰坊市?七年級期末）等邊三角形是（）.

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的分類判斷即可.

【詳解】等邊三角形是銳角三角形，無直角，無鈍角，，是特殊的等腰三角形，

故選：B.

【點睛】此題考查等邊三角形的性質，正確理解性質即可解題.

例2.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學七年級課時練習）下列說法中正確的是（）

A.如果銳角三角形的一個內角是60°,那么這個銳角三角形是等邊三角形

B.三角形的角平分線就是三角形內角的平分線

C.直角三角形的斜邊的長度大于兩條直角邊長度的和

D.任何三角形的高必相交于一點

【答案】B

【分析】根據(jù)等邊三角形的判定、三角形的角平分線、直角三角形的特點及高線的特點依

次判斷即可求解.

【詳解】如果等腰三角形的一個內角是60°,那么這個銳角三角形是等邊三角形.選A

錯：

直角三角形的斜邊的長度小于兩條直角邊長度的和.選C錯；

任何三角形的高（或延長線）必相交了一點.選D錯；

三角形的角平分線就是默認為三角形內角的平分線.選B正確：

故選B.

【點睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質和等邊三角形的判定以及直角三角形的性質,

熟練掌握性質和判定是解題的關鍵.

例3.（2020?全國七年級課時練習）下列推理中，錯誤的是（）

A.,:...△48C是等邊三角形

B.4c，且/QNC,是等邊三角形

C.'：ZA=60°,Z5=60°,a'是等邊三角形

D.'：AB=AC,N6=60°,二是等邊三角形

【答案】B

【解析】.?.△力比是等邊三角形，故正確；

B條件重復且條件不足，故不正確；

CVZJ=60°,N6=60°,小60°,二△48C是等邊三角形60°,故正確；

D根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確.

故選B.

例4.下列說法中錯誤的是（）

A.等邊三角形是等腰三角形

B.等邊三角形是銳角三角形

C.等邊三角形的高、中線、角平分線共有3條

D.含有60°角的三角形是等邊三角形

【難度】★

【答案】D

【解析】含有60°角的三角形不一定是等邊三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的定義和性質.

例5.（1）等腰三角形的一個外角等于120°,則它是三角形；

（2）等邊三角形是軸對稱圖形，它有條對稱軸，分別是.

【難度】★

【答案】（1）等邊三角形：（2）三，三邊的垂直平分線.

【解析】（1）當一個外角等于120°時，與這個外角相鄰的內角為60°,因為是等腰三角形,

所以另外兩個角也為60°,則這個三角形為等邊三角形；

（2）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三邊的垂直平分線.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質.

例6.（1）已知是等邊△48。的高，BE是〃'邊的中線，M與儲交于點F,則N

力陷；

（2）是等邊三角形，AD//BC,CDVAD,則/.

【難度】★

【答案】（1）60"；（2）30".

【解析】（1）?.?AA3C是等邊三角形，

:.ZBAC=60,?.?AD是8c邊上的高，

:.ZCAD=-ZBAC=30°,

3

BE是4c邊上的中線，BE_LAC,4E尸=900,

ZAFE=ZAEF-ZCAD=90°-30°=60；

(2)?.?△ABC是等邊三角形，ZACB=60.

AD/IBC,CDA.AD,ZBCD=90a,

ZACD=90°-60°=30°.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質.

例7.已知三角形的一個外角等于與它不相鄰的一個內角的2倍，且有一個內角為60°則這

個三角形是()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

【難度】★

【答案】A

【解析】因為三角形一個外角等于與它不相鄰的一個內角的2倍，且同時等于與它不相鄰的

兩個內角之和，所以與它不相鄰的兩個內角相等，因為有一個內角為60",所以三個內

角均為60°,所以為等邊三角形.

【總結】本題主要考查三角形外角的性質及三角形內角和定理.

例8.已知△/8C是等邊三角形，點〃在AC1.,點￡在四上，BD與龍相交于點F,且BF=CF,

說明應是等邊三角形.

【難度】★

【解析】;BF=CF,:.NFBC=NFCB.

?.?兇8。為等邊三角形，，48=4(7,ZABC=ZACB,NA=60°

ZABD=ZACE,\ABD=\ACE(ASA}

.?.4E=4O,是等邊三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定及全等三角形的判定.

例9.如圖所示，在△45C中，AB=AC,施和△“F都是等邊三角形，且/加后/的C,求

/為C的度數(shù).

【難度】★★

【答案】20°.

【解析】?.?AB=AC,，兇止是等腰三角形.

AAO8和AACE是等邊三角形，ZABD=ZBAD=ZCAE=60.

NDAE=NDBC,ZABC+60=ABAC+60+60",

即NABC=NB4C+60°.

?在2Z4BC+ZBAC=180\.,.2(NBAC+60°)+NBAC=180°,

EP2ABAC+120°+ABAC=180\:.3ZBAC=6(f,ZBAC=20°.

【總結】本題主要考查等邊三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用.

例10.如圖，AABC是等邊三角形，ZCB￡>=90,BD=BC,則N1的度數(shù)是

【難度】★★

【答案】75。.

【解析】?.?41":是等邊三角形，，乙48。=60",AB=BC.

NCBD=90",ZABD=60°+90°=150’,

■.■BD=BC,:.BD=AB,.-.Z2=Z3,

，—180—150._o,,

二.N2=---------=15,ZX=60+15=75.

2

【總結】本題主要考查的是等邊三角形的性質及等腰三角形的性質的綜合運用.

例11.如圖，在等邊三角形/比中，點D、E、b分別是邊AB、BC、。上的動點，且AD-B^CF,

說明△〃跖是等邊三角形的理由.

【難度】★★

【解析】,.,AA2C是等邊三角形，.^.NA=N8=NC=60。，AB=BC=AC.

vAD=BE=CF,;.BD=CE=AF.

AD=BE

在AA￡>尸和ABE。中，,ZA=ZB，,\ADF=ABED(SAS)

AF=BD

.?.￡>F=DE,同理可證：DE=EF,DE=DF=EF,ADEF是等邊三角形.

【總結】本題主要考查等邊三角形的性質和判定的綜合運用.

例12.如圖，在等邊三角形/比的邊比上任取一點D,以切為邊向外作等邊三角形CDE,

連接4〃，BE,試說明止初的理由.

【難度】★★

【解析】A48c是等邊三角形，AC=BC,ZAC￡>=60°.

?.，△CDE是等邊三角形，.^.C。=CE,ZBC￡=60°

在A4C￡>和ABCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,r.\ACD=ABCE(SAS)

CD=CE

BE=AD-

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定.

例13.(2018?上海虹口區(qū)?七年級期末)說理填空：如圖，點E是DC的中點，EC=EB,

ZCDA=120°,DF//BE,且DF平分/CDA,求證：ABEC為等邊三角形.

解：因為DF平分NCDA(已知)

所以NFDC=L/.()

2

因為NCDA=120°(已知)

所以NFDC=°.

因為DF〃BE（已知）

所以/FDC=N_________.（）

所以NBEC=60°,又因為EC=EB,（已知）

所以ABCE為等邊三角形.（）

【答案】ZADC；角平分線的意義；60；ZBEC；兩直線平行，同位角相等；有一個角為

60°的等腰三角形是等邊三角形.

【分析】利用角平分線的性質得出/FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質得出/BEC的度數(shù)，

進而得出ABCE為等邊三角形.

【詳解】解：：DF平分NCDA,（已知）

??,ZFDC--ZADC.（角平分線的意義）

2

；/CDA=120°,（已知）

.*.ZFDC=60°.

VDF/7BE,（己知）

/.ZFDC=ZBEC=60°.（兩直線平行，同位角相等）

AZBEC=60°

又；EC=EB,（已知）

...△BCE為等邊三角形.（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質與判定以及平行線的性質，根據(jù)已知得出/

EDC=ZBEC是解題關鍵.

例14.（2017?上海長寧區(qū)?七年級期末）如圖，點。是等邊A48C中邊4C上的任意一

點，且也是等邊三角形，那么4E與8C一定平行嗎？請說明理由.

Ev_______

【答案】AE與6c一定平行；理由見解析.

【分析】由AABC和4BDE也是等邊三角形得：AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZC=60°,圖

中可知/DBC=/EBI）,從而證明aDBC絲aEBA,根據(jù)三角形全等的性質得到/BAE=N

C=60°,等量代換得NBAE=NABC=60°,即可得AE〃BC.

【詳解】

解：AE與BC一定平行.如圖所示，其理由如下：

AABC和4BDE也是等邊三角形得，

；.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=ZC=60°,

又：ZABC=ZABD+ZDBC,ZDBE=ZABD+ZABE,

ZDBC=ZABE,

在aDBC和AEBA中

AB=CB

?NABE=ZCBD

BE=BD

.,.ADBC^AEBA(SAS),

/BAE=/C=60°,

.,.ZBAE=ZABC=60°,

?\AE〃BC

【點睛】此題考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定，解題關

鍵在于掌握全等三角形的判定.

例15.(2019?上海浦東新區(qū)?七年級期末)如圖，在等邊AABC中，點P在AABC內，點

Q在△ABC外，B,P,Q三點在一條直線上，且/ABP=NACQ,BP=CQ,問4APQ是什么形

狀的三角形？試證明你的結論.

【答案】4APQ是等邊三角形，證明見解析.

試題分析：先證AABPTaACQ得AP=AQ,再證NPAQ=60°,從而得出△APQ是等邊三角

形.

試題解析：4APQ為等邊三角形，證明如下：

VAABC為等邊三角形，

.*.AB=AC,

AB^AC

在aABP與aACQ中，＜ZABP=ZACQ,

BP=CQ

AAABP^AACQ（SAS）,

.\AP=AQ,ZBAP=ZCAQ,

VZBAC=ZBAP+ZPAC=60°,

ZPAQ=ZCAQ+ZPAC=60°,

/.△APQ是等邊三角形.

例16.（2018?上海浦東新區(qū)?）在等邊△/1%中，點夕，0是比邊上的兩個動點（不與點

B、C重合），且4A40.

（1）如圖1,已知，ZW=20°,求/第?的度數(shù)；

（2）點。關于直線力。的對稱點為機分別聯(lián)結4從PM；

①當點P分別在點Q左側和右側時，依據(jù)題意將圖2、圖3補全（不寫畫法）；

②小明提出這樣的猜想：點P、Q在運動的過程中，始終有PA=PM.經(jīng)過小紅驗證，這個

猜想是正確的，請你在①的點P、Q的兩種位置關系中選擇一種說明理由.

【答案】（1）80°（2）①答案見解析②答案見解析

【分析】（1）先利用三角形外角定理得到N/圖的值，再利用等邊對等角轉化即可；

（2）①根據(jù)題中所述步驟補全圖形即可；

②選擇點尸在點0的左側，QM交〃1于點〃，證明再證明AP=AM,最后證

明aAPM是等邊三角形即可.

【詳解】解：(I)加gN/QR

況■是等邊三角形，：.ZB=ZC=&0°,

,；4BA420。,:.NAQB=NAPgNBA段/480°；

(2)①如圖2,3所示:

點一在點0的左側，QM交40于點“，?.?點。關于直線/C的對稱點為M,

：.QII=MH,ZAIIQ=ZAHM,

,:AI=A",:.△AQg/XAMH(SAS),：.AQ=AM,ZQAIf=AMAH,

,：AP=AQ,：.AP=AM,

?：乙BAP=ACAQ,：.ZQAH=AMAH=ZBAP,

NPAM=NPA/NQA出NMAH=NPAaNQAffrNBAP=NBAC=60°,

.'.△41物是等邊三角形，：.PA=PM.

【點睛】本題考查的是三角形的綜合運用，熟練掌握等邊三角形的性質和全等三角形是解

題的關鍵.

例17.如圖，已知在等邊三角形45C中，〃是4C的中點，￡為比延長線上一點，且CE=CD,

DMLBC,垂足為M求證：”是緲的中點.

【難度】★★

【解析】連接班＞

AA2C為等邊三角形，；.ZACB=ZABC=60°

。是AC邊的中點,ZDBC=-NABC=-x60°=30°

22

■.CE=CD,：.ZCDE=ZE

?：ZACB=NCDE+NE,ZE=30",:.NDBC=NE,BD=ED

■：DMIBC,.?.加有幽中點.

【總結】本題主要考查了等邊三角形性質和等腰三角形性質的運用.

例18.(1)如圖所示，已知：△/回是等邊三角形，及A;分別是邊6G出7的中點，AM.

私,相交于點只求N所涉的大??；

(2)如果點收/V分別在比；4C的延長線上，目BM=CN./跖V的大小會發(fā)生變化嗎？

【難度】★★

【答案】(1)60"；(2)不會.

【解析】(1)???A4BC為等邊三角形，.?.乙48c=60".

M是BC的中點,AM1BC,

NPMB=90°

???N是4附中點，BN平分NABC,

ZMBP=30",ZBPM=180"-NPMB-NMBP=180-90°-30°=60°.

(2)?.?AABC是等邊三角形，.^.NBAC=NACB=60°,AC=BC=AB,

;.ZBAN=ZACM=12(),?:BM=CN,:.AN=CM,

.?.A/WN三△CAM(SAS),:.ZN=ZM.

:.NBPM=ZN+/PAN=NM+/CAM=ZACB=60°,

故/出物的大小會不會發(fā)生變化.

【總結】本題主要考查等邊三角形的性質，全等三角形的判定定理和性質定理的綜合運用.

例19.如圖，已知：在等邊a'中，〃在a1邊上，〃在△力應1外，N8AD=15°,/如后70°,

AAAE,求/。ZEDC,N碓'的度數(shù).

A

【難度】★★

【答案】NC4E=25°；ZEDC=50>；Z￡FC=80°.

【解析】是等邊三角形，.?.N8AC=N8=601

VZBAD=\5°,NZME=70",

ZG4E=NBAE-ABAC=15°+70°-60=25°.

-.-AD=AE,ZADE=ZE=-(180,-70°)=55°,

2

ZEFC=ZCAE+ZE=250+55°=80°.

ZADC=ABAD+N3=15°+60°=75°,

NEDC=ZADC-ZADE=75--55°=20°.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用.

例20.下列說法中正確的個數(shù)有()

①有一個外角為120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是

等邊三角形；③有三個外角都相等的三角形是等邊三角形；④有一邊上的高也是這邊上

的中線的三角形是等邊三角形；⑤△49C中三邊為a、6、c,滿足｛a-b)(b-c)(c-a)=0,

則這個三角形是等邊三角形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【難度】★★

【答案】B

【解析】有一個外角為120。的等腰三角形是等邊三角形，所以①正確；有兩個外角相等的

等腰三角形是不一定是等邊三角形，所以②不正確；有三個外角都相等的三角形三個內

角是相等的，是等邊三角形，所以③是正確；有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形

是等腰三角形但不一定是等邊三角形，所以④不正確；△/a1中三邊為a、b、c,滿足

（4-3仍-c）（c-a）=O,則這個三角形是等腰三角形但不一定是等邊三角形，所以⑤不

正確.故選B.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質的綜合運用.

例21.等邊△47C中，AD=BE=CF,D、E、尸不是各邊的中點，AE、BF、必分別交于點只M

N在每一組全等三角形中有三個三角形兩兩全等，那么在圖中全等的三角形的組數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

A

【難度】★★

【答案】D

【解析】ACFB=ABEA=MDC-.AC4E=ABCD=AABF；

△CMB三ISBPA三MNC；\CFMaABEP^/SADN：

△CNEwABMD三AAPF,共5組.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質.

例22.如圖，在等邊AABC中，點DE分別在邊BC,他上，且4D與CE交

于點F.

（1）求證：AD=CE；（2）求/。FC的度數(shù).

【難度】★★★

【答案】（1）見解析；（2）60°.

【解析】（1）???AA8C是等邊三角形,

/.ZBAC=ZB=60°,AB=AC,

?.?AE=BD,MEC=BDA(SAS),

/.AD=CE；

(2),.?AAEC3MD4,.\ZACE=ZBADt

.\ZDFC=ZFAC+ZACF=ZFAC+ZBAD=ZBAC=60°.

【總結】本題主要考查J'等邊三角形的性質和三角形外角的性質的綜合運用.

模塊二：等邊三角形綜合

知識精講

將等邊三角形的性質作為一直條件，運用到解題中.

例題解析

例1.如圖，已知△/S。是等邊三角形，￡是力。延長線上一點，選擇一點〃使得△儂是等

邊三角形，如果M是線段力〃的中點，N是線段班,的中點，求證：ac娜是等邊三角形.

【難度】★★

【解析】「AABC和△(%>￡■是等邊三角形

ZACB=AECD=60°,AC=BC,CD=CE

NACB+NBCD=NECD+ZBCD,NACD=NBCE

AC=BC

在AACQ和ABCE中，■ZACD=NBCE

CD=CE

：.\ACD=\BCE(SAS),：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

???M是線段AO的中點，N是線段BE的中點，.[AM=BN

AC=BC

在MMC和A8NC中，ZCAD=ZCBE

AM=BN

\AMC三ABNC(SAS),CM=CN,ZACM=NBCN

ZNCM=4BCN-ZBCM,NACB=ZACM-ZBCM

ZNCM=ZACB=60°,

ACMN是等邊三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質的綜合運用.

例2.如圖，已知〃是等邊三角形的邊47邊延長線上一點，血的垂直平分線HE交AC

延長線于點E,那么CE與相等嗎?試說明理由.

【難度】★★

【答案】相等，見解析.

【解析】過點“作“G//BC,交AE于點G.

AABC是等邊三角形，，NA=NABC=60,AB=AC

HG//BC,NAHG=NABC=60°,NAHG=NA=60°,

.-.AAHG為等邊三角形，.?.HG=AG=AH

HE為的垂直平分線，,ZAHE=90°,BH=DH

NGHE=ZAHE-NAHG=30°,ZGEH=180°-ZAHE-NA=30°,

NGHE=ZGEH,EG=HG=AG=AH

:.CE=AE-AC=2AG-AC=2AH-AC=2AB+2BH-AC

=AB+2BH=AB+BH+DH=AD.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，注意輔助線的添加.

例3.如圖，已知：等邊三角形48G在4?上取點〃，在然上取一點反使作等邊

三角形PC。、/￡和必心，則只Q、/?為頂點的三角形是等邊三角形，請說明理由.

【難度】★★

【解析】連接8P

A4BC和APC￡＞為等邊三角形，

AC=BC,DC=PC,NACB=ABAC=NABC=ZDCP=60°,:.ZACD=NBCP

AC=BC

在AAOC和ABPC中，\DC=PC,\ADCs\BPC(SAS)

NACD=NBCP

AD=BP,ZDAC=ZPBC=60°

A/MB和A0AE為等邊三角形

ZRAB=Z.RBA=ZR=ZQAE=60°,RA=RB,AQ=AE

ZRAB+ZBAC+ZQAE=60°+60°+60°=180°,R,A、。三點共線.

ZRBA+ZABC+ZPBC=60°+60°+60°=180°,:.R,B、P三點共線

-.-AQ=AE=AD=BP,RQ=RA+AQ=RB+BP=RP

?.?NR=60。，.?.以P、Q、R為頂點的三角形是等邊三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質的綜合性運用，難度較大.

例4.如圖，已知：在等邊三角形中，D、￡分別是18、/C邊上的點，且除力￡,EB與

切相交于點0.斯與切垂直于點F,試說明0^2OF.

【難度】★★

【解析】過點尸作NOFG=60。，交OE于點G

B

?.?八48(7是等邊三角形，，44=448。=60°,AB=BC

AB=BC

在AABE與ABC。中，＜ZA=NABC,

AE=BD

\ABEs^BCD(S.A.S),:.ZABE=ZBCD

^ADO=ZABC+ZBCD,又ZADO=NBOD+ZABE,

ZBOD=ZABC=60°,/EOF=60°,

AOFG為等邊三角形,;.OG=OF=GF

■：EFLCD,.-.ZOF￡=90%ZOEF=30°,ZGFE=30°,

NOEF=NGFE,:.GE=GF=OF,:.OE=OG+GE=2OF.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質的綜合運用，注意對方法的選擇.

例5.如圖，點。是等邊△/比?內的一點，N4眥110°,N80俏135°,試問：

(1)以刃、龍、Z為邊，能否構成一個三角形，若能，求出該三角形各角的度數(shù)；若不能，

說明理由；

(2)如果//仍的大小保持不變，那么當N6勿等于多少度時，以總、OB、0c為邊的三角

形是一個直角三角形.

【難度】★★

【解析】(1)以OC為邊作等邊AOS,連

A4BC是等邊三角形，，NACB=60。，AC=BC

ZBCO=600-ZACO=ZACD,\BCOS\ACD{S.A.S)

OB=AD,/ADC=ZBOC,

.?.△。4。是以線段。4、OB、OC為邊構成的三角形

NAO2=110°,NBOC=135°,ZAOC=115°,ZAOD=115°-60°=55°

ZADC=\35°,ZADO=135°-60°=75°,

ZOAD=180°-55°-75°=50°.

以線段OA、OB、OC為邊構成的三角形的各角是50。、55。、75°.

(2)ZAOB+ZAOC+ZBOC=ZAOB+ZAOC+ZADC

=ZAOB+(ZA。。+NOOC)+(NAOO+NC。。)

=Z110°+(ZAO￡>+60。)+(NACO+60°)=360°,

:.ZAOD+ZADO=\3QP>，NO4￡>=50°.

當NAOD是直角時，..4407)=90。，ZAOC=90°+60°=150°,/.ZBOC=100°；

當NAO混直角時，:.ZADO^90°,NAPC=90。+60。=150。，..ZBOC=150。，

綜匕當/80c等于100°或150°時，以/、()B、比為邊的三角形是一個直角三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，注意利用旋轉的思想去解題.

例6.△G43與宏是有公共頂點C的兩個等邊三角形，△吸繞點。順時針旋轉至以下各

位置：

(1)當少在8c下方時，說明48%

(2)當6在比1邊上如圖2、當￡在44%7內如圖3、當￡在47邊上如圖4,當CE//

然時，如圖5,4分緲還成立嗎?請一一說明理由.

【難度】★★★

【解析】(1)?.?AA8C是等邊三角形,AC=BC,ZACB=60°.

???△COE是等邊三角形，.?.CZ)=CE,NDCE=60。

ZBCE=60°-NBCD=ZACD,\BCE=AACD(SAS),

AD=BE.

(2)成立.方法同(1),可證AAC￡＞二ABCE,所以

【總結】本題主要考查J'等邊三角形的性質及全等三角形的判定和性質的綜合運用.

例7.已知4、B、。三點共線，分別AC,灰7為邊，在直線加同側作等邊△◎1可和等邊△以肌,

易得AM=BN.

(1)將△山"繞點。旋轉一定的度數(shù)，得到圖(2),試問：4佐5V嗎？

(2)將(1)中等邊△?？稍倮@點。旋轉一定角度，得到圖(3),上述4游比還成立嗎?請

說明理由；

(3)在旋轉過程中，直線4M和直線氏V所夾的銳角的大小隨著旋轉角的改變而改變嗎?說

說你的理由.

MM

M

【難度】★★★

【解析】(1)???△04%為等邊三角形，「.04=。村，ZACN=60°.

???ABCM為等邊三角形,CM=CB,NBCM=60°

??.ZACM=60°+NNCM=NNCB

\ACM=&VC3(S.A,S),z.AM=BN.

(2)成立.方法同(1).

(3)不變.令直線AM和直線8N所夾銳角為a,所夾鈍角為夕，

???AACM=ANCB，.tZAMC=4NBC

邛=4NBM+NAMB=4NBM+ZAMC+ABMC

=4NBM+ZNBC+ZBMC=NCBM+NBMC

=60°+60°=120°

二.Na=60°.

【總結】本題主要考查「等邊三角形的性質及全等三角形的判定和性質的綜合運用.

隨堂檢測

1.三個內角都相等的三角形是_______三角形，每個內角都等于.

【難度】★

【答案】等邊；60°.

【解析】略.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的定義和性質.

2.在等腰三角形中，已知兩底角之和等于頂角的2倍，則這個三角形是()

A.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.銳角三角形但不等邊

【難度】★

【答案】C

【解析】設等腰三角形的頂角為a,則底角和為2a,

.?.a+2a=180°,:.a=6O°.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故選C.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定及三角形內角和定理的運用.

3.如圖，△/!比中，AB-AC,ZJ=60°,BDLAC于點D,DG〃AB交.BC于點、G,￡在比的延長

線上，C^CD.(1)/斤；(2)ABDB=；(3)圖中的等腰三角形有—

個；(4)圖中的等邊三角形有個.

【難度】★

【答案】(1)30°：(2)120°;(3)5；(4)2.

【解析】(1)-.-AB=AC,ZA=60°

A4BC是等邊三角形，NACB=60°

BDA.AC,ZABD=30°,ZBDC=90°

CD=CE,ZE=ZCDE=30°,:.NBDE=120。.

(3)等腰三角形有：AABC,\CDG,\CDE,\BGD,即DE；

(4)等邊三角形有：AABC,\CDG.

【總結】本題主要考查了等腰三角形的性質和判定及等邊三角形的性質和判定.

4.下列三角形：①有兩個角等于60°；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個外角(每

個頂點處各取一個外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角

形.其中是等邊三角形的有()

A.①②③B.④C.①③D.①②③④

【難度】★★

【答案】D

【解析】①、②正確，是等邊三角形的判定定理，③三個外角相等則三個內角必相等，則一

定是等邊三角形，故正確；④利用等腰三角形的三線合一，可知，該三角形也是等邊三

角形，正確，故選D.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的判定.

5.如圖，D、E、尸分別是等邊△49C各邊上的點，宜A2BE=CF,則△兩的形

狀是()

A.等邊三角形B.腰和底邊不相等的等腰三角形

C.直角三角形D.不等邊三角形

A

【難度】★★

【答案】A

【解析】?.?AA3C為等邊三角形，.-.ZA=ZB=60°,AB^AC.

■：AD=CF,:.AF=HD,MDF=^BED(S.A.S')

DF=ED,同理可證：DF=FE.

DF=ED=FE,A￡?EF是一個等邊三角形.

【總結】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定的綜合運用.

6.已知應△然C中，ZO90°,N4=30°,在直線比?或/IC上取一點夕，使得△必6是等腰三角

形，則符合條件的。點有()

B.2個