北京三帆中學(xué)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=（x—-3的最小值是（）

A.IB.-1C.-2D.-3

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標(biāo)志分別是可回收物、

廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.B.ZX

3.將拋物線y=2x?平移，得到拋物線y=2（x—4尸+1,下列平移方法正確的是（）

A.先向左平移4個單位，在向上平移1個單位

B.先向左平移4個單位，在向下平移1個單位

C.先向右平移4個單位，在向上平移1個單位

D.先向右平移4個單位，在向下平移1個單位

k

4.反比例函數(shù)y=—（&>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一2,〃），（一1加）,（3,c）,則b,c的大小

x

關(guān)系為（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

5.如圖，A3是。O的直徑，點(diǎn)。在圓上，若NC43=32。，則NC84的度數(shù)為（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

6.如圖，已知點(diǎn)C,。是以AB為直徑的半圓上的兩個點(diǎn)，且AC=B。，下列結(jié)論中不

一定成立的是（）

A.AC=BDB.ZABC=ZCBD

C.ZABD+ZACD=180°D.CD//AB

7.如圖為二次函數(shù)y=av2+/n+c的圖象，此圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（一1,0）、（3,

0）.下列說法：abc>0；方程℃2+bx+c=o的根為玉=-1,x2=3-當(dāng)x>l時，>隨著

x的增大而增大；4a+2〃+c<0.正確的個數(shù)是（）

8.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械字家萊洛首先進(jìn)行研究的.弧三角形是這樣畫的：先

畫正三角形，然后分別以三個頂點(diǎn)為圓心，【曉觀數(shù)學(xué)】其邊長為半徑畫弧得到的三角形.

在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱為“麥田怪圈'’.圖1中的麥田怪

圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成

員甲先借繩子繞行一周畫出O。，再將。。三等分，得到A，8，C三點(diǎn).接著，成員乙分

別以A，B,C為圓心畫出圖中的弧三角形.研究小組在A,B,C,。四點(diǎn)中的某一點(diǎn)

放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為尸，成員乙所在的位置為Q,若將射線QB繞著

點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x（單位：°,0<x<360）,甲、乙兩

人到檢測儀器的距離分別記為必和乂（單位：加），繪制出兩個函數(shù)的圖象（如圖3）.

結(jié)合以上信息判斷，下列說法中錯誤的是（）

A.QO半徑為6m

C.當(dāng)尤=60時，取得最大值12D.檢測儀器放置在點(diǎn)A處

二、填空題

9.將二次函數(shù)y=d-2x+5化為y=a(x-h)2+k的形式為V=

10.寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點(diǎn)(0,2),這個二次

函數(shù)的解析式可以是.

11.在半徑為2的圓中，圓心角為120。的扇形面積為______.

12.如圖，拋物線^=火2(“工0)與直線尸法+出工。)的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4T1),

8(2,4),則使得關(guān)于x的不等式a?〈法+c成立的x的取值范圍是.

13.如圖,AB為。。的直徑，弦于點(diǎn)E,已知CD=8,EB=2,則。。的半徑為

14.如圖，PA，依是。。的切線，A，B為切點(diǎn),AC是。。的直徑，ZBAC^35°,

則NP的度數(shù)為.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-2）,半徑為I的動圓OA沿y軸正方

向運(yùn)動，若運(yùn)動后0A與X軸相切，則點(diǎn)A的運(yùn)動距離為.

16.如圖，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面內(nèi)的直線1經(jīng)過點(diǎn)A,作

CEL1于點(diǎn)E,連接BE.則當(dāng)直線/繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動時，線段BE長度的最大值是.

三、解答題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：f+4x+3=0.

18.關(guān)于刀的一元二次方程/一2%+加一1=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求加的取值范圍；

（2）請選擇一個符合條件的機(jī)的值，并求此時方程的根.

19.下面是小元設(shè)計的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

己知：如圖，。。及。。上一點(diǎn)P.

求作：過點(diǎn)P的。。的切線.

①作射線0P-,

②在直線。P外任取一點(diǎn)A,以點(diǎn)A為圓心，4P為半徑作。4與射線0P交于另一點(diǎn)B；

③連接并延長BA與交于點(diǎn)C；

④作直線PC；

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：BC是。A的直徑，

ZBPC=90°（）（填推理的依據(jù)）.

OPJ.PC.

又；0P是。。的半徑，

PC是O。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

20.如圖，00的半徑為2,四邊形ABC。內(nèi)接于00,圓心。到AC的距離等于6.

（1）求AC的長；

（2）求/ADC的度數(shù).

B

O.

D

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/：y=x-l與雙曲線），="相交于點(diǎn)A（2,/〃）.

x

（1）求點(diǎn)A坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若直線/與x軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)△OPB的面積為1時，求

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

22.若二次函數(shù)y=a?+/JX+。的x與y的部份對應(yīng)值如下表:

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）畫出此函數(shù)圖象（不用列表）；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)時，直接寫出y的取值范圍.

23.為了在體育中考中取得更好地成績，小明積極訓(xùn)練.在某次試投中，實(shí)心球經(jīng)過的路線是

如圖所示的拋物線的一部份.已知實(shí)心球出手處A距離地面的高度是1米，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)行的

25

水平距離為3米時，達(dá)到最大高度/米的3處，實(shí)心球的落地點(diǎn)為C.

(1)如圖，已知AOL8于。，以。為原點(diǎn)，CO所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

在圖中畫出坐標(biāo)系，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)小明此次投擲的成績是多少米？

24.如圖，在AABC中，BC^AC,以為直徑的0。與邊AB相交于點(diǎn)。，與邊

相交于點(diǎn)/，DE1AC,垂足為點(diǎn)E，連接0Q.

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若AE=2,O。的半徑H=4，求。E的長.

25.已函數(shù)y=/+J■，請結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，探究它的相關(guān)性質(zhì):

X

(1)自變量X的取值范圍是；

(2)x與y的兒組對應(yīng)值如下表，請補(bǔ)全表格:

%...0.20.511.5225

2.521.510.50.2

y...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中m=,n=.

(3)下圖中畫出了函數(shù)一部份圖象，請根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用描點(diǎn)法補(bǔ)全函數(shù)圖象；

(4)請寫出這個函數(shù)一條性質(zhì)：；

(5)結(jié)合圖象，直接寫出方程/一2%+-=0的所有實(shí)根：.

X

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=+/〃的頂點(diǎn)為A

(1)求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(用用表示)；

(2)若點(diǎn)A在第一象限，且QA=0，求拋物線的解析式；

(3)已知點(diǎn)3(“一1,機(jī)—2),C(2,2),若拋物線與線段8C有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直

接寫出的取值范圍

27.已知：過。。上一點(diǎn)A作兩條弦AB、AC,且NA=45°,(AB>AC都不經(jīng)過。)

過A作AC的垂線Ab，交。。于。，直線80,AC交于點(diǎn)E，直線BC,AO交于點(diǎn)F.

(1)請在圖1中，按要求補(bǔ)全圖形；

(2)在圖2中探索線段BE和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)探索線段A3、AE，AR的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.

E

B

D

O.

圖1

圖2

28.平面直角坐標(biāo)系x0y中，任意兩點(diǎn)8(4,%)之間的距離可以利用公式

AB

我們定義點(diǎn)A與8的軸距為：一匐，4，=|9一力|

當(dāng)A3=2么或A3=2dv時，稱點(diǎn)8是點(diǎn)A的倍軸點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)A(l,o),則在點(diǎn)4(2,6)，B2(3,l),(1,2)中，點(diǎn)A的倍軸點(diǎn)

(2)若點(diǎn)”(加,〃)是原點(diǎn)。的倍軸點(diǎn)，當(dāng)初，〃均為非負(fù)數(shù)的時候，所有滿足要求的點(diǎn)〃

組成了圖形“，請你在圖1中畫出圖形”，并描述圖形”的特點(diǎn);

(3)A(f,0),。。的半徑為1點(diǎn)A的倍軸點(diǎn)在。。上，求，的取值范圍；。。上正好存在

四個點(diǎn)A的倍軸點(diǎn)，直接寫出，的取值范圍.

5廣

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1012345x

備用圖

北京三帆中學(xué)2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

初三數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=（x—-3的最小值是（)

A.IB.-1C.—2D.—3

【答案】D

【解析】

【分析】

題中所給的解析式為頂點(diǎn)式，可直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出解答.

【詳解】解：二次函數(shù)y=（x—l>—3的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（I,-3）,

所以最小值為-3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，若題目

給出是-一般式則需進(jìn)行配方化為頂點(diǎn)式或者直接運(yùn)用頂點(diǎn)公式.

2.2020年5月1日起，北京市全面推行生活垃圾分類.下列垃圾分類標(biāo)志分別是可回收物、

廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱的概念求解.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意;

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

c、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

3.將拋物線y=2/平移，得到拋物線y=2（x-4）2+l,下列平移方法正確的是（）

A.先向左平移4個單位，在向上平移1個單位

B.先向左平移4個單位，在向下平移1個單位

C.先向右平移4個單位，在向上平移1個單位

D.先向右平移4個單位，在向下平移1個單位

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用頂點(diǎn)式得到兩拋物線的頂點(diǎn)式，然后通過點(diǎn)平移的規(guī)律得到拋物線平移的情況.

【詳解】解：拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,拋物線y=2（x-4）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,

1）,而點(diǎn)（0,0）先向右平移4個單位，再向上平移1個單位可得到點(diǎn)（4,1）,

所以拋物線y=2x2先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到拋物線y=2（x+4）2+l.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以

求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐

標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

4.反比例函數(shù)y=>優(yōu)>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一2,。），（一1力）,（3,c）,則a,b,。的大小

x

關(guān)系為（）

A.c>a>hB.c>b>aC.a>b>cD.

b>a>c

【答案】A

【解析】

【分析】

此題根據(jù)反比例函數(shù)k值與0的關(guān)系結(jié)合圖像即可判斷大小.

【詳解】Vk>0,

.??在反比例函數(shù)過一三象限，在各象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

V3>0>-l>-2,

.*.c>a>b；

故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)k值與函數(shù)圖像關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可.

5.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。在圓上，若NC4B=32°,則NCBA的度數(shù)為（）

A.32°B.64°C.68°D.58°

【答案】D

【解析】

【分析】

據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得NA與NB互余，問題可解.

【詳解】如圖

是。。的直徑，點(diǎn)C在圓上

ZC=90°

ZCAB+ZCBA=90°

二ZCBA=90°-ZCAB=90°-32°=58°

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查直徑上的圓周角.直徑所對圓周角為直角是經(jīng)常用到的一個性質(zhì).

6.如圖，已知點(diǎn)C,。是以A3為直徑的半圓上的兩個點(diǎn)，且AC=5￡>，下列結(jié)論中不

一定成立的是（

H

A.AC=BDB.ZABC=NCBD

C.NAB。+NACO=180。D.CD//AB

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)，內(nèi)接四邊形和平行線的性質(zhì)對選項逐一判定即可.

【詳解】A、AC=BD,

，AC=BD,故本選項成立；

B、要使NABC=NCBD,則AC=8,即AC=CD,根據(jù)題意無法得出這個條件，故本

選項不成立；

C、???四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，

AZABD+ZACD=180°,故本選項成立；

D、?.”=80，

/CBA=NDCB,

CD//AB；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，內(nèi)接四邊形和平行線的性質(zhì)，掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

7.如圖為二次函數(shù)'=0?+樂+。的圖象，此圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,

0).下列說法：abc>0；方程以2+/zx+c=0的根為玉=-1,々=3；當(dāng)x>”寸，>隨著

x的增大而增大；4a+2b+c<0.正確的個數(shù)是()

【答案】C

【解析】

【分析】

①由拋物線的開口方向、與y軸的交點(diǎn)判定a、c的符號，根據(jù)對稱軸確定b的符號；

②根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)解答；

③利用對稱軸和二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)作出判斷；

④將x=2代入函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象判定y的符號.

【詳解】解：①拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的右邊，與y軸的交點(diǎn)在y的負(fù)半軸上,

b

；.a>0,-->0,c<0,

2a

即b<0,

abc>0,正確；

②二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)是(-1,0)、(3,0),

方程ax2+bx+c=O的根為x1=-1,X2=3

故本選項正確；

③函數(shù)對稱軸是直線x=l,

根據(jù)圖象當(dāng)x>l時，y隨x的增大而增大；

④根據(jù)圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),(3,0),

，當(dāng)x=2時，y<0

...當(dāng)x=l時4a+2b+c<0,正確.

共有四個正確的，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的圖象與系數(shù)

的關(guān)系的理解和運(yùn)用，同時也考查了學(xué)生觀察圖象的能力，本題是一道比較典型的題目，具

有一定的代表性，還是一道比較容易出錯的題目.

8.弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械字家萊洛首先進(jìn)行研究的.弧三角形是這樣畫的：先

畫正三角形，然后分別以三個頂點(diǎn)為圓心，【曉觀數(shù)學(xué)】其邊長為半徑畫弧得到的三角形.

在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱為‘‘麥田怪圈''.圖1中的麥田怪

圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2,成

員甲先借繩子繞行一周畫出。。，再將。。三等分，得到A，B,。三點(diǎn).接著，成員乙分

別以A，B,C為圓心畫出圖中的弧三角形.研究小組在A，B,C,。四點(diǎn)中的某一點(diǎn)

放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為P,成員乙所在的位置為。，若將射線OB繞著

點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量X（單位：°,0<x<360）,甲、乙兩

人到檢測儀器的距離分別記為,和%（單位：加），繪制出兩個函數(shù)的圖象（如圖3）.

結(jié)合以上信息判斷，下列說法中錯誤的是（

圖3

A.Q0的半徑為6mB.圖3中。的值為270

C.當(dāng)x=60時，月取得最大值12D.檢測儀器放置在點(diǎn)A處

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖，根據(jù)題意，找到甲、乙對應(yīng)的圖像，然后求得a=240。，以及AB=6JJ，

4403=1x360。=120。，進(jìn)而求出圓半徑，再對選項逐一分析即可.

3

【詳解】解：???將射線08繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x,且成

員乙所在的位置為Q,

.?.根據(jù)如圖3所示，實(shí)線部分圖像距離先保持不變，再下降至0,然后上升可判斷則實(shí)線部

分為應(yīng)為乙的圖象，（點(diǎn)Q在以A點(diǎn)為圓心畫的上，則AQ距離不變），

...當(dāng)Q點(diǎn)從B點(diǎn)逆時針運(yùn)動時，圖像如圖中實(shí)線所示，檢測儀器應(yīng)該A點(diǎn),

2

???Q從B點(diǎn)到A點(diǎn)時，運(yùn)動的角度為§個圓周，

a=-x360°=240°,

3

結(jié)合圖可得A8=6G，ZAOB=1X360°=120°,

如圖，連接AB、OA、OB,過。作ODLAB于點(diǎn)D,

VOA=OB,OD±AB,

AD=BD=-AB=373,ZAOD=4BOD=-ZAOB=60°

22

/.NQBO=30°

小巫

,,cos30°

2

QO的半徑為6m

如圖，當(dāng)射線OB轉(zhuǎn)至6c中點(diǎn)位置時，即P在0A所在直線上，yi取最大值，長度為。。

的直徑12m,此時轉(zhuǎn)過的圓心角為60。，即尤=60.

:.A、C、D正確，

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查正多邊形和圓、等腰三角形三線合一及弧三角形的相關(guān)問題，根據(jù)題意找

到正確的函數(shù)的圖象是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.將二次函數(shù)y=x1-2x+5化為y=a[x-h)2+k的形式為J=.

【答案】y=(x-l)2+4；

【解析】

【分析】

利用配方法整理即可得解；

【詳解】解：(1)y=x2-2x+5=x2-2x+1+4

=(x-1)2+4,

故答案為:(x-1)2+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的三種形式的轉(zhuǎn)化，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握配方法是解題

的關(guān)鍵.

10.寫出一個二次函數(shù)，其圖象滿足：①開口向下；②與y軸交于點(diǎn)（0,2）,這個二次

函數(shù)的解析式可以是.

【答案】y=_f+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線開口方向得出a的符號，進(jìn)而得出c的值，即可得出二次函數(shù)表達(dá)式.

【詳解】解：?.■圖象為開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)（0,2）,

.*.a<0,c=2,

???二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2（答案不唯一）.

故答案為y=-x2+2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

11.在半徑為2的圓中，圓心角為120。的扇形面積為.

4

【答案】一萬

3

【解析】

【分析】

根據(jù)扇形的面積計算公式計算即可；

【詳解】???半徑為2,圓心角為120。，

.RwgHirr120XX224

.?扇形的面積=-------------——7Tt

3603

_4

故答案是：一兀.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積計算，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，拋物線^=如2（。力0）與直線y=+的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

3（2,4）,則使得關(guān)于x的不等式辦2<bx+c成立的x的取值范圍是.

【答案】-l<x<2

【解析】

【分析】

由OX?〈法+?？傻茫憾魏瘮?shù)值小于一次函數(shù)值，可得二次函數(shù)的圖像在一次函數(shù)圖像的

下方，結(jié)合函數(shù)的圖像與交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得答案.

【詳解】解：由3c2<bx+c可得：

二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，

二次函數(shù)的圖像在一次函數(shù)圖像的下方，

又交點(diǎn)坐標(biāo)分別為47,1),8(2,4),

所以：結(jié)合圖像可得：-l<x<2,

故答案為：—l<x<2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像解一元二次不等式，掌握數(shù)形結(jié)合的

思想是解題的關(guān)鍵.

13.如圖,AB為。。的直徑,弦CDLAB于點(diǎn)E,已知CD=8,￡B=2,則。。的半徑為.

【答案】5

【解析】

【分析】

連接0C,設(shè)。。的半徑為R,根據(jù)垂徑定理求出CE,根據(jù)勾股定理列式計算，得到答案.

【詳解】連接OC,

設(shè)。。的半徑為七則OE=R-2,

'JCDLAB,

：.CE=—CD=4,

2

由勾股定理得，OC=O玲+CE1,即審=(R-2)2+42,

解得，R=5,

則。。的半徑為5,

故答案為5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對

的兩條弧.

14.如圖，PA,是。。的切線，A，B為切點(diǎn)、,AC是。。的直徑，Nfi4c=35°,

則NP的度數(shù)為_______.

【答案】70。

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可以求得/OAP和/OBP的度數(shù)，然后根據(jù)/BAC=35。，即可求得NP的度數(shù).

【詳解】解：連接OB：

；PA、PB是。O的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，AC是。。的直徑，

，/OAP=NOBP=90。，

VZBAC=35°,OA=OB,

.?.ZBAC=ZOBA=35°,

/PAB=NPBA=55°,

，/P=180°-/PAB-/PBA=70°,

即NP的度數(shù)是70。，

故答案為：70。.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件,

利用切線的性質(zhì)解答問題.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2）,半徑為1的動圓0A沿＞軸正方

向運(yùn)動，若運(yùn)動后OA與x軸相切，則點(diǎn)4的運(yùn)動距離為.

【答案】1或3

【解析】

【分析】

利用切線的性質(zhì)得到點(diǎn)A到x軸的距離，再進(jìn)行計算即可;

【詳解】若運(yùn)動后。A與x軸相切，

則點(diǎn)A到x軸的距離為1,此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,-1）或（0』），

所以運(yùn)動距離是一1一（一2）=1或1-（-2）=3,

點(diǎn)A運(yùn)動的距離是1或3.

故答案是1或3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的有關(guān)性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC=4.平面內(nèi)的直線1經(jīng)過點(diǎn)A,作

CEL1于點(diǎn)E,連接BE.則當(dāng)直線/繞著點(diǎn)A轉(zhuǎn)動時，線段BE長度的最大值是.

【答案】2+275

【解析】

【分析】

以AC為直徑作圓O,連接BO,并延長交圓O于點(diǎn)E',可得BO+O￡>BE，從而可得

BO+OE>Br,即BE為最大值，再由勾股定理求出BO的長即可解決問題.

【詳解】解：由題意知，CEJJ于點(diǎn)E,

...以AC為直徑作圓O,

VCE1AE,

.?.點(diǎn)E在圓O上運(yùn)動，

連接BO,并延長交圓O于點(diǎn)如圖，

Z.BO+OE'>BE'，

VOE=O

.,.BO+OE>BE,

，BE的長為最大值，

VAO=OC=OE,且AB=AC=4,

2

又?.，NBAC=90°

BO2=AO2+AB2=4?+2?=20

BO=275

.*.BE=5O+QE=26+2

故答案為：2+2非

【點(diǎn)睛】此題主要考查了求線段的最大值，構(gòu)造出4ACE的外接賀是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：X2+4%+3=0.

【答案】％=-1,x2=一3

【解析】

【分析】

直接因式分解即可求解.

【詳解】x2+4x+3=0

(x+3)(x+l)=0

%——1,%2—3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關(guān)鍵.

18.關(guān)于x的一元二次方程犬―2%+加一1=。有實(shí)數(shù)根.

(1)求用的取值范圍；

(2)請選擇一個符合條件的〃?的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)m<2；(2)答案不唯一.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)△"),解不等式即可求解；

(2)選擇一個符合條件的m的值，解方程即可求解.

【詳解】解：⑴根據(jù)題意,得△=b2-4a*0,

即(-2)2-4(m-1)>0,

解得mW2.

(2)當(dāng)m=l時，方程為x2-2x=0,

解得xi=0,X2=2.

注：m值不唯一.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a和)的根的判別式△=b?-4ac：當(dāng)△>(),

方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：當(dāng)△=()，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實(shí)數(shù)

根.

19.下面是小元設(shè)計的“過圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

己知：如圖，。。及。。上一點(diǎn)P.

求作：過點(diǎn)P的。。的切線.

①作射線OP;

②在直線。P外任取一點(diǎn)4以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作GM,與射線OP交于另一點(diǎn)8；

③連接并延長BA與。A交于點(diǎn)C；

④作直線PC-.

則直線PC即為所求.

根據(jù)小元設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明：

證明：BC是。A的直徑，

ZSPC=90°（）（填推理的依據(jù)）.

OP±PC.

又：OP是。。的半徑，

??.PC是O。的切線（）（填推理的依據(jù)）.

【答案】（1）補(bǔ)全的圖形見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直

于這條半徑的直線是圓的切線.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到NBPC=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：：BC是OA的直徑，

.?.NBPC=90。（圓周角定理），

.,.OP±PC.

又OP是。。的半徑，

...PC是G）0的切線（切線的判定）.

故答案為圓周角定理，切線的判定.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，OO的半徑為2,四邊形ABC。內(nèi)接于。。，圓心。到AC的距離等于6.

（1）求AC的長；

（2）求/ADC的度數(shù).

B

O-

D

【答案】⑴2；（2）150°

【解析】

【分析】

（1）過點(diǎn)。作OEJ_AC于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出CE,即可得出答案；

（2）連接。4,先求出ZAOC=60°，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出/B=30。,

即可得出答案.

【詳解】（1）過點(diǎn)。作OE_LAC于點(diǎn)E，如圖，

B

則在中，OE=0OC=2,

???CE=y/0C2-0E2=,22一(可=1

AC=2CE=2；

(2)連接04,如圖：

B

D

?.?由(1)知，在△AOC中，AC=OA^OC,

：.ZAOC=60°,

?.?弧4。=弧AC,

Z8」NAOC=30°,

2

/.ZADC=180°-ZB=180°-30°=150°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，掌握這些知識點(diǎn)是解題

關(guān)鍵.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：丁=%-1與雙曲線丁=幺相交于點(diǎn)42,，〃).

(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若直線/與x軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)aOPB的面積為1時，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

2

【答案】⑴點(diǎn)42,1),反比例函數(shù)y=『⑵點(diǎn)P(l,2)或(一1,-2)

【解析】

【分析】

(1)代入坐標(biāo)點(diǎn)先求坐標(biāo)，再求反比例函數(shù)表達(dá)式；

(2)作圖，根據(jù)圖像求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)即可求出坐標(biāo).

【詳解】(1)TA在y=x?l上,

當(dāng)x=2時,y=l,即m=l,

點(diǎn)42,1）,

2

再把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解得：丁=一；

x

（2）

由函數(shù)表達(dá)式可求得點(diǎn)3（1,0）,

??q-1

,0AOPB-1，

即:OBlyp1=1,

，Iy"=i,

點(diǎn)P（l,2）或（-1,-2）；

【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)相關(guān)知識，結(jié)合圖像是關(guān)鍵.

22.若二次函數(shù)y=a?+Z?x+c的x與N的部份對應(yīng)值如下表：

X-4-3-2-101

y-503430

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）畫出此函數(shù)圖象（不用列表）；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)時，直接寫出y的取值范圍.

【答案】⑴y=-x2-2x+3；(2)見詳解；(3)-5<y<4.

【解析】

【分析】

(1)利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T,4),則可設(shè)頂點(diǎn)式

y=a(x+1)2+4,然后把(0,3)代入求出a的值即；

(2)利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象；

(3)觀察函數(shù)函數(shù)圖象，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為4,于是可得到y(tǒng)的取值范圍為

-5<y<4.

【詳解】解：(1)由表知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T,4),設(shè)y=a(x+1)2+4,

把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3,

解得a=T,

二拋物線的解析式為y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3；

(2)如圖，

%

(3)如圖：當(dāng)-4Wx<l時，-5Wy*.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式

時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當(dāng)

已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物

線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，

可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

23.為了在體育中考中取得更好地成績，小明積極訓(xùn)練.在某次試投中，實(shí)心球經(jīng)過的路線是

如圖所示的拋物線的一部份.己知實(shí)心球出手處A距離地面的高度是2米，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)行的

25

水平距離為3米時，達(dá)到最大高度一米的B處，實(shí)心球的落地點(diǎn)為C.

9

(1)如圖，已知AOLC。于。，以。為原點(diǎn)，CO所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,

在圖中畫出坐標(biāo)系，點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

(2)小明此次投擲的成績是多少米？

【答案】⑴氣3,互1；(2)8米

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意直接寫出坐標(biāo)即可；

(2)求出二次函數(shù)表達(dá)式，求C點(diǎn)橫坐標(biāo)即可;

【詳解】(1)坐標(biāo)系

(2)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x—3>+§(470)

由拋物線經(jīng)過點(diǎn)

得與=a(-3)2+解得a~~~

y=」(X-3)2+—

-99

y=0時，X[=8,x2=-2(舍)

答：小明此次投擲的成績是8米

【點(diǎn)睛】此題考查利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，理解函數(shù)定義是關(guān)鍵

24.如圖，在AABC中，BC=AC,以為直徑的。。與邊A3相交于點(diǎn)。，與邊AB

相交于點(diǎn)/，DE1AC,垂足為點(diǎn)E，連接OO.

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若A￡=2,的半徑H=4,求OE的長.

【答案】(1)見解析；(2)2G

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)內(nèi)錯角證明兩直線平行，再換算角度即可證明DE與OO相切;

(2)構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定理即可求出DE的長.

【詳解】(1)證明：連接C￡>

VBC為QO的直徑，...ZBDC=90°

：.CD±AB

又：BC=AC：.Z1=Z2

OD=ocN1=N3N2——N3

：.ODUAC

NODE=ZAED

?：DEIAC：.ZAED^90°

：.NODE=90°:.DE1OD

OE與0。相切

(2)過。作ON_LC/于N,

可得四邊形QDEN是矩形，

:.EN=OD=R=4,ON=DE

又：AE=2,AC=CB=4+4=8,

CN=AC-AE-EN=AC-AE—OD=2,

在RSONC中,ON=^/OC2-CN2

；?ON=20，

；?DE=

【點(diǎn)睛】此題考查圓的相關(guān)知識，涉及到切線，平行線的判定，勾股定理等.

,1

25.已函數(shù)y=r+-,請結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)經(jīng)驗，探究它的相關(guān)性質(zhì)：

X

(1)自變量X的取值范圍是；

(2)工與y的幾組對應(yīng)值如下表，請補(bǔ)全表格:

X0.20.511.522.5

2.521.510.50.2

》...5.853.51.5805.04mn2.924.56.65

1.754.96

其中加二,〃二.

(3)下圖中畫出了函數(shù)的一部份圖象，請根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用描點(diǎn)法補(bǔ)全函數(shù)圖象；

(4)請寫出這個函數(shù)的一條性質(zhì)：；

(5)結(jié)合圖象，直接寫出方程/-2》+工=0所有實(shí)根：.

【答案】(1)龍。0;(2)2.25,2；(3)見解析;(4)答案不唯一；(5)%=-0.6,x2=l,

=1.6.

【解析】

【分析】

(1)觀察解析式可直接得出結(jié)果；

(2)分別帶入相應(yīng)自變量的值即可計算出；

(3)先描點(diǎn)，然后用平滑的曲線連接各點(diǎn)；

(4)可根寫增減性，也可寫相應(yīng)取值范圍內(nèi)的最值;

(5)看作兩個函數(shù)交點(diǎn)問題來解決即可.

【詳解】(1)XH0；

(2)分別將x=0.5和x=l帶入解析式，得加=2.25,〃=2；

(3)如圖；

（4）答案不唯一，

如：當(dāng)％<0時，y隨工的增大而減小;

,?,1

（5）對于方程V—2x+-=0,可變形為f+±=2x,求該方程的實(shí)數(shù)根，即為求函數(shù)X

XX

,1

與力交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中x=f+—,%=2x,故在圖中做出％=2x的圖象，如圖，

x

直接可讀出三個交點(diǎn)得橫坐標(biāo)為X1=-0.6,x2=l,x3=1.6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是新函數(shù)探究問題，但本質(zhì)上考查的是對函數(shù)的研究方法和邏輯；掌握

函數(shù)求自變量取值范圍，以及根據(jù)函數(shù)解析式求確定自變量時的函數(shù)值是基礎(chǔ);畫函數(shù)圖象,

并且注意根據(jù)自變量的取值范圍來確定圖象形式是關(guān)鍵;利用作好的圖象解決問題是此類題

型考查的基本核心，注重數(shù)形結(jié)合的思想，將復(fù)雜的方程或不等式簡單化，是本題的目的.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線）=一/+2氏一機(jī)2+機(jī)的頂點(diǎn)為A

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用用表示）；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，且。4=0，求拋物線的解析式；

（3）已知點(diǎn)5（機(jī)一1,加一2）,C（2,2）,若拋物線與線段8。有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直

接寫出用的取值范圍

【答案】(1)(北加)；(2)y=-f+2x或?qū)憺椋簓=-(x-l)2+l；(3)m<2,或〃zN3.

【解析】

【分析】

(1)化拋物線為頂點(diǎn)式，即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)：

(2)求出點(diǎn)A0,列方程求解即可；

(3)考慮點(diǎn)C在拋物線上時m的值，再結(jié)合圖形，分情況進(jìn)行討論.

【詳解】(1)Vy=-x2+2mx-m2+m--(x-m)2+m,

...拋物線的頂點(diǎn)A坐標(biāo)為(m,m).

(2)點(diǎn)A在第一象限,

OA=Om,

"-'0A=O

m=1

拋物線的表達(dá)式為y=—V+2x,或?qū)憺椋簓=-U-l)2+l

(3)把C(2,2)代入了=-%2+2切%-根2+加，得

2=-22+4-m-nr+m>

解得加=2或3,

結(jié)合圖象可得：

當(dāng)加W2時，拋物線與線段8c有公共點(diǎn)，

當(dāng)2<根<3時，拋物線與線段8C無公共點(diǎn)，

當(dāng)加23時，拋物線與線段8C有公共點(diǎn)；

綜上，當(dāng)機(jī)W2或加23時，拋物線與線段有公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

27.已知：過。。上一點(diǎn)A作兩條弦A3、AC,且NA=45°,（A3、AC都不經(jīng)過0）

過A作AC的垂線A/，交。。于。，直線BD，AC交于點(diǎn)E，直線8C，交于點(diǎn)尸.

（1）請在圖1中，按要求補(bǔ)全圖形；

（2）在圖2中探索線段跖和8尸的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）探索線段A3、AE，A尸的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.

【答案】（1）見解析；（2）BE=BF，理由見解析；（3）AE=AF+y[2AB

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）連接EF，CD,取EF中點(diǎn)G連接6G、AG,證明3、E、A、F四點(diǎn)共圓進(jìn)而

可證出結(jié)論；

（3）由（2）知，點(diǎn)A、B、E、F四點(diǎn)共圓，連接CD,交AB于點(diǎn)P,則CD過圓心0,

由證得出△ACBs^APDsCPB,進(jìn)而可證AC+AD=JI43，由等量代換可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形

Bi

（///。.

C\~E

（2）BE=BF

證明：連接族，CD,CD過圓心O,CD為直徑，取Ef中點(diǎn)G連接BG、AG

AF1AE，ZDBF=90°,

ZEBF=ZFAE=90°

；EG^AG

：.EG=BG=AG=GF

:.B、E、A、F在圓G上，

，N1=N2,

：/DAE=90。，NBAD=45。，

Z2=ZBAD=45°,

XVZEBF=90°,

；.NBEF=45°=/1,

???BE=BF，

故答案為：BE=BF；

B

E

(3)由(2)知，點(diǎn)A、B、E、F四點(diǎn)共圓，連接CD,交AB于點(diǎn)P,則CD過圓心O,

NBEA=/BFA,BE=BF，NEBC=/DBF=NDAE=90。，

.".△EBC^AFBD,

；.BC=BD,CE=DF,

在ZkACB和AAPD中，

ZCAB=ZDAB=45°,ZABC=ZADC,ZBCD=45°,

.".△ACB^AAPD^CPB,

.ACABBCAB

??麗—而'版一葭'

AC-AD^AP-AB,BC2=BPAB,

CD為直徑，AC2+