第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末素養(yǎng)提升|體系構(gòu)建||核心歸納|1．函數(shù)的傳統(tǒng)定義與近代定義辨析初中所學(xué)習(xí)的函數(shù)傳統(tǒng)定義與高中的近代定義之間的異同點(diǎn)如下：[不同點(diǎn)]

傳統(tǒng)定義從變量變化的角度，刻畫兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；而近代定義，則從集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來刻畫兩個(gè)非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．[相同點(diǎn)]

兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足的條件是相同的，“變量x的每一個(gè)值”及“集合A中的每一個(gè)數(shù)”，都有唯一一個(gè)“y值”與之對(duì)應(yīng)．2．函數(shù)三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)三種表示法的特點(diǎn)(優(yōu)缺點(diǎn))比較如下：解析法優(yōu)點(diǎn)(1)簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；(2)可以通過解析式求定義域內(nèi)的任意自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值缺點(diǎn)不夠形象、直觀，且有些實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系很難用解析式表示或根本不存在解析式圖象法優(yōu)點(diǎn)(1)直觀、形象地反映出函數(shù)關(guān)系變化的趨勢(shì)；(2)便于通過圖象研究函數(shù)的性質(zhì)缺點(diǎn)只能近似地得到自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，有時(shí)誤差較大列表法優(yōu)點(diǎn)查詢方便，不需計(jì)算便可直接得出自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值缺點(diǎn)(1)只能表示有限個(gè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系；(2)數(shù)較多時(shí)使用不方便3．函數(shù)的定義域和值域(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法．①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．4．函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論(1)當(dāng)f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí)，則f(x)＋g(x)為增(減)函數(shù)．(2)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．(3)奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性．(4)f(x)為奇函數(shù)

f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；f(x)為偶函數(shù)

f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(5)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)．(6)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點(diǎn)，即有f(0)＝0．存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)f(x)＝0．(7)f(x)＋f(－x)＝0

f(x)為奇函數(shù)；f(x)－f(－x)＝0

f(x)為偶函數(shù)．|素養(yǎng)提升|1．分段函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用對(duì)于此類問題，要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇表示方法，一般情況下用解析法表示．用解析法表示時(shí)，首先找出自變量x和函數(shù)y以及x在不同范圍上對(duì)應(yīng)的y的不同關(guān)系，然后用x表示y，最后寫出定義域．注意：求實(shí)際問題中函數(shù)的定義域時(shí)，除考慮使函數(shù)解析式有意義外，還要考慮使實(shí)際問題有意義．1．在函數(shù)y＝|x|(x∈[－1，1])的圖象上有一點(diǎn)P(t，|t|)，此函數(shù)的圖象與x軸、直線x＝－1及x＝t圍成的圖形(如圖陰影部分)的面積為S，則S關(guān)于t的函數(shù)圖象為

(

)【答案】B2．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即函數(shù)g(x)與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同時(shí)，y＝f(g(x))是遞增的；單調(diào)性相反時(shí)，y＝f(g(x))是遞減的．【名師點(diǎn)評(píng)】

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：(1)利用“同增異減”判斷；(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)，并且要確定函數(shù)g(x)的值域，否則就無法確定f(g(x))的單調(diào)性(特別是當(dāng)f(g(x))的單調(diào)區(qū)間是由幾個(gè)區(qū)間組成時(shí))．3．與冪函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單不等式問題與冪函數(shù)有關(guān)的不等式是形如(f(x))α＞(g(x))α的不等式，通常利用冪函數(shù)y＝xα的定義域和單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式組來求解．|思想方法|(一)分類與整合思想思想方法解讀：分類與整合思想應(yīng)用非常廣泛，例如，求解含參的二次函數(shù)某區(qū)間的最值時(shí)，一般需要對(duì)拋物線的對(duì)稱軸進(jìn)行討論，分段函數(shù)問題要分段處理．求函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1(a為常數(shù))在[0，2]上的最值．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，對(duì)稱軸為直線x＝a．(1)當(dāng)a＜0時(shí)，由圖1可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a．(2)當(dāng)0≤a＜1時(shí)，由圖2可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a．(3)當(dāng)1≤a≤2時(shí)，由圖3可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1．(4)當(dāng)a＞2時(shí)，由圖4可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1．1．(2023年北京門頭溝區(qū)期末)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋4．(1)若a＝2，求f(x)在[－2，3]上的最值；(2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上單調(diào)單減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若x∈[1，2]，求函數(shù)f(x)的最小值．解：(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x2－2x＋4，x∈[－2，3]，因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為x＝1，所以f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞減，在[1，3]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值為f(1)＝1－2＋4＝3，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取得最大值為f(－2)＝22＋4＋4＝12．(2)二次函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋4的對(duì)稱軸為x＝a－1，f(x)在區(qū)間(－∞，2]單調(diào)遞減，則a－1≥2，解得a≥3．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞)．(3)二次函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋4的對(duì)稱軸為x＝a－1，當(dāng)a－1≤1，則a≤2，此時(shí)f(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝1－2(a－1)＋4＝7－2a．當(dāng)1＜a－1＜2，則2＜a＜3，此時(shí)f(x)在[1，a－1]上單調(diào)遞減，在[a－1，2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(a－1)＝(a－1)2－2(a－1)2＋4＝－a2＋2a＋3．(二)數(shù)形結(jié)合思想思想方法解讀：在畫函數(shù)的圖象時(shí)，借助函數(shù)的性質(zhì)會(huì)更為簡(jiǎn)便，如借助于奇偶性可以畫出圖象，也可以利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．解：(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x．又因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋mx，對(duì)任意x＜0，總有x2＋2x＝x2＋mx，故m＝2．(3)由圖象可知f(x)的圖象在區(qū)間[－2，2]上的最高點(diǎn)是(1，f(1))，最低點(diǎn)是(－1，f(－1))．又因?yàn)閒(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，所以f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值是1，最小值是－1．【答案】2

如圖，分別畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，得到三個(gè)交點(diǎn)A(0，3)，B(1，2)，C(5，8)．觀察圖象可得函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，圖象的最低點(diǎn)是B(1，2)，所以f(x)的最小值是2．(三)轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法解讀：求函數(shù)的定義域需轉(zhuǎn)化為解不等式(組)問題，判斷函數(shù)的單調(diào)性可化歸為比較函數(shù)值大小的問題，等等，轉(zhuǎn)化與化歸思想在本章中無處不在．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞－1．(1)求f(0)的值，并證明f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(1)＝1，解關(guān)于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4．解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝－1．證明如下：在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1．又因?yàn)閒(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以f(x)在R上是增函數(shù)．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5．由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4，得f(x2＋x＋1)＞f(3)．又因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)，所以x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1．故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}．(2)由(1)知f(x)為R上的增函數(shù)．因?yàn)閒(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，解得m≤4．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，4]．|鏈接高考|【答案】(－∞，0)∪(0，1]

函數(shù)的概念與表示【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，求函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，在解不等式(組)求交集時(shí)可借助于數(shù)軸，要特別注意端點(diǎn)值的取舍．【答案】C

函數(shù)的性質(zhì)【點(diǎn)評(píng)】本題是抽象函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．

(2021年北京)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，則“f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增”是“f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值為f(1)”的 (

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的最值以及充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．

(2020年山東新高考)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是 (

)A．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪